高中数学湘教版（2019）必修 第一册2.3 一元二次不等式学案

第2课时　一元二次不等式及其解法(2)

教材要点

要点一　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

状元随笔　一元二次不等式的解法：

(1)图象法：一般地，当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：

①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；③由图象得出不等式的解集．

对于a＜0的一元二次不等式，可以直接采取类似a＞0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．

(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p＜q时，若(x －p)(x －q)＞0，则x＞q或x＜p；若(x －p)(x －q)＜0，则p＜x＜q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间\”．

要点二　分式不等式的解法

(1)≥0⇔________；

(2)>0⇔________．

基础自测

1.不等式<0的解集是(　　)

A．{x|x>0}          B．{x|x<2}

C．{x|x>2或x<0}    D．{x|0<x<2}

2．不等式>1的解集为(　　)

A．{x|x<1}    B．{x|0<x<1}

C．{x|x>1}    D．{x|x>0}

3．关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0的解集是空集的条件是(　　)

A．    B．

C．    D．

4．若不等式x2－ax＋1＞0对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．

题型1　解分式不等式

例1　解下列不等式：

(1)≥0；

(2)>1.

方法归纳

(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意分母不为零．

(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．

跟踪训练1　(1)不等式≥0的解集为(　　)

A．{x|－6≤x≤1}      B．{x|x≥1或x≤－6}

C．{x|－6≤x＜1}      D．{x|x＞1或x≤－6}

(2)不等式≤2的解集为________．

题型2　不等式恒成问题

角度1　在R上恒成立问题

例2　一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　)

A．{k|－3＜k≤0}      B．{k|－3≤k＜0}

C．{k|－3≤k≤0}      D．{k|－3＜k＜0}

角度2　在给定范围内的恒成立问题

例3　设函数y＝mx2－mx－1.

(1)若对于一切实数x，y＜0恒成立，求m的取值范围；

(2)对于x∈{x|1≤x≤3}，y＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．

方法归纳

一元二次不等式恒成立问题的常见类型及解法

(1)在R上恒成立问题．

ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立⇔

ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔

(2)在给定区间上的恒成立问题．

方法一：①a＞0时，ax2＋bx＋c＜0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0.

②a＜0时，ax2＋bx＋c＞0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0.

方法二：分离参数，转化为函数的最值问题．

跟踪训练2　(1)设a为常数，∀x∈R，ax2＋ax＋1＞0，则a的取值范围是(　　)

A．{x|0＜a＜4}      B．{x|0≤a＜4}

C．{x|a＞0}         D．{x|a＜4}

(2)若对于任意x∈[m，m＋1]，都有x2＋mx－1＜0成立，则实数m的取值范围是________．

题型3　简单的高次不等式的解法

例4　(1)不等式≥0的解集为(　　)

A．(1，2]

C．[－3，1)

(2)不等式≤0的解集为(　　)

A．{x|－3<x≤1或x≥2}

B．{x|x<－3或1≤x≤2}

C．{x|x＝4或－3<x≤1或x≥2}

D．{x|x＝4或x<－3或1≤x≤2}

方法归纳

简单高次不等式a(x－b1)(x－b2)…(x－bn)>0的解法：穿线法．

注意：系数化正，右上往左下，奇穿偶不穿，单独考虑孤立点．

跟踪训练3　(1)不等式x>的解集是(　　)

A．(1，＋∞)    

B．(－∞，－1)

C．(－1，0)

D．(－∞，－1)

(2)不等式＜0的解集为________．

易错辨析　解分式不等式时忽略“分母不等于0”致误

例5　不等式≥0的解集为(　　)

A．{x|x≥－1}             B．{x|－1≤x≤1}

C．{x|x≥－1且x≠1}      D．{x|x≥1或x≤－1}

解析：∵(x－1)2≥0，

∴原不等式等价于，

解得x≥－1且x≠1.故选C.

答案：C

易错警示

课堂十分钟

1．不等式＞0的解集为(　　)

A．{x|x<－2或x>1}    B．{x|x<－1或x>2}

C．{x|－2<x<1}        D．{x|－1<x<2}

2．已知集合A＝，集合B＝{x|x>0}，则A＝(　　)

A．{x|x≥－2}    B．{x|x>－2}

C．{x|x≥0}      D．{x|x>0}

3．不等式≤1的解集为(　　)

A．       B．

C．    D．

4．不等式2x2－kx－k>0对于一切实数恒成立，则k的取值范围为(　　)

A．(－8，0)               B．(0，8)

C．(－∞，－8)

5．若不等式(1－a)x2－4x＋6＞0的解集为{x|－3＜x＜1}．

(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a＞0；

(2)ax2＋bx＋3＞0的解集为R，求b的取值范围．

第2课时　一元二次不等式及其解法(2)

新知初探·课前预习

要点一

{x|x<x1或x>x2}　{x|x1<x<x2}　∅

要点二

　f(x)·g(x)>0

[基础自测]

1．解析：不等式<0等价于x(x－2)<0，0<x<2，

则不等式<0的解集是{x|0<x<2}．

答案：D

2．解析：依题意>1⇒－1>0⇒>0⇔x(1－x)>0⇔x(x－1)<0⇔0<x<1，所以原不等式的解集为{x|0<x<1}．

答案：B

3．解析：要使ax2＋bx＋c≤0的解集是空集，则需满足

答案：B

4．解析：因为不等式x2－ax＋1>0对任意实数x恒成立，

所以Δ＝a2－4<0，解得－2<a<2，即实数a的取值范围是(－2，2)．

答案：(－2，2)

题型探究·课堂解透

例1　解析：(1)原不等式可化为≤0，

∴

∴，即－3<x≤1.

故原不等式的解集为{x|－3<x≤1}．

(2)原不等式可化为－1>0.

∴>0，∴>0，则x<－2.

故原不等式的解集为{x|x<－2}．

跟踪训练1　解析：(1)原不等式变为：≤0⇔(x＋6)(x－1)≤0且x－1≠0.解得－6≤x<1，故原不等式的解集为{x|－6≤x<1}．故选C.

(2)移项得－2≤0，即≥0，

此不等式等价于(x－5)(x－2)≥0且x－2≠0，

解得x<2或x≥5.

故原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}．

答案：(1)C　(2){x|x<2或x≥5}

例2　解析：∵2kx2＋kx－<0为一元二次不等式，∴k≠0，

又2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，

则必有

解得－3<k<0.

答案：D

例3　解析：(1)若m＝0，显然－1<0恒成立；

若m≠0，则⇒－4<m<0.

∴m的取值范围为{m|－4<m≤0}．

(2)y<－m＋5恒成立，

即m(x2－x＋1)－6<0恒成立，

∵x2－x＋1＝＋>0，

又m(x2－x＋1)－6<0，

∴m<.

∵函数y＝＝在1≤x≤3时的最小值为.

∴只需m<即可．

∴m的取值范围为.

跟踪训练2　解析：(1)①当a＝0时，1>0恒成立，即a＝0时满足题意；

②当a≠0时，则有，解得0<a<4，

综上得a的取值范围是{x|0≤a<4}．故选B.

(2)作出二次函数y＝x2＋mx－1的草图，对于任意x∈{x|m≤x≤m＋1}，都有x2＋mx－1<0，

则

解得－<m<0.

答案：(1)B　(2)

例4　解析：(1)由≥0，

解得x≥－6且x≠1，

所以不等式的解集为[－6，1)

(2)∵≤0，

即，即，

当x＝4时不等式成立，又∵(x－4)2≥0恒成立，

不等式，

利用穿针引线画出y＝(x＋3)(x－1)(x－2)的简图如图所示：

解得此不等式的解集为{x|x<－3或1≤x≤2}，

故原不等式的解集为：{x|x＝4或x<－3或1≤x≤2} .

答案：(1)B　(2)D

跟踪训练3　解析：(1)因为x>，所以x－＝>0，

所以x(x2－1)＝x(x－1)(x＋1)>0.

画出示意图如图．

所以解集为(－1，0)故选C.

(2)∵(x－1)2≥0，

所以不等式<0，等价于，即，

解得：－<x<1或1<x<.

所以不等式的解集为：.

答案：(1)C　(2)

[课堂十分钟]

1．解析：因为>0等价于(x－2)(x＋1)>0，解得x>2或x<－1，

即不等式>0的解集为{x|x<－1或x>2}．

答案：B

2．解析：≤0⇔⇒－2<x≤0，

∵A＝{x|－2<x≤0}，B＝{x|x>0}，∴A＝{x|x>－2}．

答案：B

3．解析：不等式≤1可化为≤0，

即

解得：x≤或x>2，

故不等式的解集为.

答案：D

4．解析：∵2x2－kx－k>0对于一切实数恒成立，

∴Δ＝(－k)2－4×2×(－k)＝k2＋8k<0，

得－8<k<0，

即k∈(－8，0)．

答案：A

5．解析：若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集为{x|－3<x<1}，

则(1－a)x2－4x＋6＝0的根为－3，1，

∴＝－3×1，解得a＝3，

(1)代入a＝3，不等式2x2＋(2－a)x－a>0为2x2－x－3>0，

解得x<－1或x>，

即不等式2x2＋(2－a)x－a>0的解集为；

(2)代入a＝3，不等式ax2＋bx＋3>0为3x2＋bx＋3>0，

∵3x2＋bx＋3>0的解集为R，

∴Δ＝b2－4×3×3<0，

解得－6<b<6.