湘教版（2019）必修 第一册第2章 一元二次函数、方程和不等式2.2 从函数观点看一元二次方程优质教案

2．2　从函数观点看一元二次方程

教学设计

一、目标展示

二、情境导入

函数与方程有着一定的联系，如一次函数y＝ax＋b与一元一次方程ax＋b＝0之间关系的探究：

发现一次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应方程的解．

[问题]　你能否对二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象与x轴交点的横坐标和对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解建立联系？

三、合作探究

知识点一　方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根与函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点

把使得ax2＋bx＋c＝0(a≠0)成立的实数x叫作该方程的实数根．同时x也叫作y＝ax2＋bx＋c的零点．

即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点也就是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．

函数的零点不是点，而是一个实数，是函数的图象与x轴交点的横坐标，也是函数值为零时自变量x的值，也是函数相应的方程的实数根．　　　　

知识点二　一元二次方程的根、二次函数的图象、

二次函数的零点之间的关系

当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如表所示：

1．从代数角度思考，函数的零点如何求？

2．从函数的图象看，函数的零点如何求？

四、精讲点拨

题型一   二次函数的零点与对应方程的实根

[例1]　(链接教科书第46页例2)(1)二次函数y＝x2－7x＋12的零点为________；

(2)若函数y1＝x2－ax－b的图象如图所示，则函数y2＝bx2－ax－1的零点是________．

题型二   函数的零点个数的判断与证明

[例2]　(链接教科书第45页例1)若a>2，求证： 函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点．

 [母题探究]

(变设问)求函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点的充要条件．

题型三   二次函数的零点的分布探究

 [例3]　(1)判断二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)是否存在零点；

(2)若二次函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4(a≠2)的两个零点均为正数，求实数a的取值范围．

五、达标检测

1．已知某一元二次函数的图象与函数y＝2x2的图象的形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1，3)，则此函数的解析式为(　　)

A．y＝2(x－1)2＋3　　　　　 B．y＝2(x＋1)2＋3

C．y＝－2(x－1)2＋3  D．y＝－2(x＋1)2＋3

2．已知：p：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有两个异号实数根，q：ac<－1，则p是q的________条件．

3．讨论函数y＝(ax－1)(x－2)(a∈R)的零点．

六、课堂小结

1.二次函数零点的概念及求法；

2函数零点个数的判断与证明

课后作业

教后反思