高中数学湘教版（2019）必修 第一册2.1 相等关系与不等关系公开课教案

§2.1.3　基本不等式的应用

教学设计

一、目标展示

二、情境导入

某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？

[问题]上述问题的实质是什么？如何求解？

三、合作探究

知识点　基本不等式与最值

已知x，y都为正数，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2；

(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值.

利用基本不等式求最值要牢记：“一正”“二定”“三相等”

(1)“一正”，即所求最值的各项必须都是正值，否则就容易得出错误的结果；

(2)“二定”，即含变量的各项的和或积必须是定值(常数)．如果要求a＋b的最小值，那么ab必须是定值；要求ab的最大值，a＋b必须是定值；

(3)“三相等”，即必须具备不等式中等号成立的条件，才能求得最大值或最小值．　　　　

x＋的最小值是2吗？

四、精讲点拨

[例1]　(1)已知x＜，求y＝4x－2＋的最大值；

(2)已知0＜x＜，求y＝x(1－2x)的最大值；

(3)当x＞0时，求函数y＝的最大值．

[例2]　已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值．

1．(变条件)本例条件变为“x＞0，y＞0，2x＋8y＝xy”，其余不变，求x＋y的最小值．

2．(变条件，变设问)本例条件变为“x＋y＝1，x＞0，y＞0”，试求＋的最小值．

[例3]　(链接教科书第40页例9、例10)某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示)．如果池四周围墙建造单价为400 元/m，中间两道隔墙建造单价为248 元/m，池底建造单价为80 元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计．试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．

五、达标检测

1．(多选)已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则对于＋(　　)

A．取得最值时a＝   B．最大值是5   C．取得最值时b＝  D．最小值是

2．已知实数x，y满足x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋2y的最小值为(　　)

A．2      B．4     C．6  D．8

3.(x＞1)的最小值为________．

4．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N＋)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．

六、课堂小结

   1.构造基本不等式求最值

   2.利用基本不等式求条件最值

   3.利用基本不等式节应用题

课后作业

教后反思