人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）同步测试题

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1．当a＞1时，有下列结论：
①指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快；
②指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快；
③对数函数y＝lgax，当a越大时，其函数值的增长越快；
④对数函数y＝lgax，当a越小时，其函数值的增长越快．
其中正确的结论是( B )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
【解析】 结合指数函数及对数函数的图象可知①④正确，故选B.
2．某公司为了适应市场需求，对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢．若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( D )
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
【解析】 一次函数匀速增长，二次函数和指数型函数都是开始增长慢，以后增长越来越快，只有对数型函数增长先快后慢．
3．函数y＝2x－x2的图象大致是( A )
【解析】 分别画出y＝2x，y＝x2的图象，由图象可知(图略)，有3个交点，∴函数y＝2x－x2的图象与x轴有3个交点，故排除B，C；当x＜－1时，y＜0，故排除D，故选A.
4．某个体企业的一个车间去年有8名工人，每人年薪为10万元，从今年起，计划每人的年薪比上一年增加20%；另外，每年新招3名工人，每名新工人第一年的年薪为8万元，第二年起与老工人的年薪相同．若以今年为第一年，将第n年企业付给工人的工资总额y(单位：十万元)表示成n的函数，则其表达式为( A )
A．y＝(3n＋5)×1.2n＋2.4
B．y＝8×1.2n＋2.4n
C．y＝(3n＋8)×1.2n＋2.4
D．y＝(3n＋5)×1.2n－1＋2.4
【解析】 第一年企业付给工人的工资总额为1×1.2×8＋0.8×3，第二年企业付给工人的工资总额为(8＋3)×1×(1＋20%)2＋3×0.8；依此类推，到第n年企业付给工人的工资总额为[8＋3(n－1)]×1×(1＋20%)n＋3×0.8；即y＝(3n＋5)×1.2n＋2.4.故选A.
5． eq \a\vs4\al(【多选题】) 在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示，现给出的下列说法正确的是( BC )
A．前5 min温度增加越来越快
B．前5 min温度增加越来越慢
C．5 min后温度保持匀速增加
D．5 min后温度保持不变
【解析】 前5 min，温度y随x增加而增加，增长速度越来越慢；5 min后，温度y随x的变化曲线是直线，即温度匀速增加，故BC正确．
6．以下四种说法中，正确的是( D )
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．对任意的x>0，xn>lgax
C．对任意的x>0，ax>lgax
D．不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>lgax
【解析】 对于A，幂函数的增长速度受幂指数的影响，幂指数不确定，而一次函数的增长速度受一次项系数的影响，增长速度不能比较；对于B，C，当01，n>0时，一定存在x0，使得当x>x0时，总有ax>xn>lgax，但若去掉限制条件“a>1，n>0”，则结论不成立．
二、填空题
7．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为__f(x)＞g(x)__．
【解析】 在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图象，如图所示，由于函数f(x)＝3x的图象恒在函数g(x)＝2x图象的上方，则f(x)＞g(x).
8．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用__甲__作为函数模型(填“甲”或“乙”).
【解析】 把x＝1，2，3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现甲模型较好．
9．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是__y＝x2__．
【解析】 当x变大时，x比ln x增长要快，所以x2要比x ln x增长得快．
10．某药品经过两次降价，每瓶的零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率相同，设为x，求两次降价的百分率，则列出的方程为__100(1－x)2＝81__．
11．如图所示，某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系为y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的图象．则函数的解析式y＝__eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(t)__；第__4__个月时，剩留量就会低于 eq \f(1,5) .
【解析】 根据题意，函数的图象经过点(0，1)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(4,9)))，故函数为y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(t) .当t＝3时， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(3) > eq \f(1,5) ，当t＝4时， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(4) < eq \f(1,5) .
[B级 素养养成与评价]
12．有两个相同的桶，由甲桶向乙桶输水，开始时，甲桶有a L水，t min后，剩余的水y L满足函数关系y＝ae－nt，那么乙桶的水就是y＝a－ae－nt，假设经过5 min，甲桶和乙桶的水相等，则再过__10__min，甲桶中的水只有 eq \f(a,8) L.
【解析】 由题意可得，5 min时，ae－5n＝ eq \f(1,2) a，n＝ eq \f(1,5) ln 2，那么ae－eq \f(t,5)ln2＝ eq \f(1,8) a，所以t＝15，从而再经过10 min后，甲桶中的水只有 eq \f(1,8) a L．
13．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应__(4)__；B对应__(1)__；C对应__(3)__；D对应__(2)__．
A B C D
【解析】 A容器下粗上细，水的高度的变化为先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水的高度的变化为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水的高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故C容器水的高度变化快，与(3)对应，D容器水的高度变化慢，与(2)对应．
14．已知函数f(x)＝1.1x(x＞0)和g(x)＝ln x＋1的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.
(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数，并比较f(x)与g(x)的大小(以x1，x2为分界点)；
(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 021)，g(2 021)的大小．
解：(1)C1对应的函数为f(x)＝1.1x，
C2对应的函数为g(x)＝ln x＋1.
当0＜x＜x1时，f(x)＞g(x)；
当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)；
当x＞x2时，f(x)＞g(x)；
当x＝x1或x2时，f(x)＝g(x).
(2)f(2 021)＞g(2 021)＞g(6)＞f(6).
15．复利是把前一期的利息和本金加在一起作本金，再计算下一期利息的一种计算利息的方法．某人向银行贷款10万元，约定按年利率7%复利计算利息．
(1)写出x年后，需要还款总数y(单位：万元)和x(单位：年)之间的函数关系式；
(2)计算5年后的还款总额(精确到元)；
(3)如果该人从贷款的第二年起，每年向银行还款t元，分5次还清，求每年的还款金额(精确到元).
(参考数据：1.073≈1.225 04，1.074≈1.310 80，1.075≈1.402 55，1.076≈1.500 73)
解：(1)y＝10×(1＋7%)x，定义域为{x|x∈N*}．
(2)5年后的还款总额为：
y＝10×(1＋7%)5＝10×1.075≈14.025 5(万元)＝140 255(元).
答：5年后的还款总额为140 255元．
(3)由已知得t(1＋1.07＋1.072＋1.073＋1.074)＝140 255.
解得t≈24 389.
答：每年的还款金额约为24 389元．