高中数学4.5 函数的应用（二）巩固练习

不同函数增长的差异

(25分钟　50分)

一、选择题(每小题5分,共30分)

1.幂函数,指数函数,对数函数是生活中三类常见基本的初等函数,可以刻画客观世界不同的变化规律.已知函数y=xa,y=bx,y=logcx的图象如图所示,则(　　)

A.a<b<c B.b<a<c

C.a<c<b D.b<c<a

【解析】选A.由图象可得曲线①为对数函数y=logcx,在定义域内为增函数,则c>1,

曲线②为指数函数y=bx,为减函数,则0<b<1,曲线③为幂函数y=xa,在(0,+∞)上为减函数,则a<0,

所以a<0<b<1<c.

2.某新品牌电视投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好反映销量y与投放市场的月数x之间的关系的是(　　)

A.y=100x  B.y=50x2-50x+100

C.y=50×2x  D.y=100log2x+100

【解析】选C.把x=1,2,3,4分别代入计算,x=1时,A为100,B为100,C为100,D为100; x=2时,A为200,B为200,C为200,D为200;x=3时,A为300,B为400,C为400,D约为258;x=4时,A为400,B为700,C为800,D为300,比较知只有C中x=4时偏差很小,所以C较好.

3.今有一组实验数据如下:

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是(　　)

A.v=log2t B.v=lot

C.v= D.v=2t-2

【解析】选C.特值检验,如:当t=4时,v==7.5.

4.(多选题)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数解析式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),有以下结论:

①当x>1时,甲走在最前面;

②当x>1时,乙走在最前面;

③当0<x<1时,丁走在最前面,当x>1时,丁走在最后面;

④丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面;(　　)

A.①正确 B.②正确 C.③正确 D.④正确

【解析】选C、D.路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数解析式是f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),

它们相应的函数模型分别是指数型函数、二次函数、一次函数和对数函数.

当x=2时,f1(2)=3,f2(2)=4,命题①不正确;

x=5时,f1(5)=31,f2(5)=25,命题②不正确.

对数型函数的变化是先快后慢,当x=1时,甲、乙、丙、丁四个物体重合,从而可知当0<x<1时,丁走在最前面,当x>1时,丁走在最后面,命题③正确;

结合对数型和指数型函数的图象变化情况,可知丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面,命题④正确.故选CD.

5.面对函数f(x)=lox,g(x)=与h(x)=在区间(0,+∞)上的衰减情况说法正确的是(　　)

A.f(x)衰减速度越来越慢,g(x)衰减速度越来越快,h(x)衰减速度越来越慢

B.f(x)衰减速度越来越快,g(x)衰减速度越来越慢,h(x)衰减速度越来越快

C.f(x)衰减速度越来越慢,g(x)衰减速度越来越慢,h(x)衰减速度越来越慢

D.f(x)衰减速度越来越快,g(x)衰减速度越来越快,h(x)衰减速度越来越快

【解析】选C.函数f(x)=lox,g(x)=与h(x)=在区间(0,+∞)上的图象如图所示.

观察图象可知,函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快,但递减速度逐渐变慢,在区间(1,+∞)上,递减较慢,且越来越慢;同样,函数g(x)的图象在区间(0,+∞)上,递减较慢,且递减速度越来越慢;函数h(x)的图象在区间(0,1)上递减较快,但递减速度逐渐变慢;在区间(1,+∞)上,递减较慢,且越来越慢,故选C.

6.西部某地区实施退耕还林,森林面积在20年内增加了5%,若按此规律,设2019年的森林面积为m,从2019年起,经过x年后森林面积y与x的函数解析式为(　　)

A.y=  B.y=m

C.y=m(1+5% D.y=[1+(5%)x]m

【解析】选C.设平均每年增加a%,则(1+a%)20=1+5%,所以1+a%=(1+5%,可知经过x年后森林面积y与x的函数解析式为y=m(1+5%.

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.果蔬批发市场批发某种水果,不少于100千克时,批发价为每千克2.5元,小王携带现金3 000元到市场采购这种水果,并以此批发价买进,如果购买的水果为x千克,小王付款后剩余现金为y元,则x与y之间的函数关系为　　　　;x的取值范围是　　　　. 

【解析】由题意可知函数关系式是y=3 000-2.5x,

由题意可知最少买100千克,最多买=1 200千克,

所以函数的定义域是[100,1 200].

答案:y=3 000-2.5x　[100,1 200]

8.某商场2016年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势,现有三种模型:①f(x)=p·qx(q>0,且q≠1);②f(x)=logpx+q(p>0,且p≠1);③f(x)=x2+px+q.

能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为　　　　(填序号).若所选函数满足f(1)=10,f(3)=2,则f(x)=　　　　.  

【解析】因为f(x)=p·qx,f(x)=logpx+q都是单调函数,函数f(x)=x2+px+q的图象先下降后上升.

所以选择函数f(x)=x2+px+q.

又f(1)=10,f(3)=2,

所以所以p=-8,q=17,

所以f(x)=x2-8x+17.

答案:③　x2-8x+17

三、解答题

9.(10分)某校甲、乙两食堂2019年1月份的营业额相等,甲食堂的营业额逐月增加,并且每月增加值相同;乙食堂的营业额也逐月增加,且每月增加的百分率相同.已知2019年9月份两食堂的营业额又相等,求2019年5月份营业额较高的是哪个食堂?

【解析】设甲以后每个月比前一个月增加相同的营业额a,乙每个月比前一个月增加营业额的百分比为x,1月份的营业额设为1,由题意得1+8a=1×(1+x)8,5月份甲的营业额为1+4a,5月份乙的营业额为1×(1+x)4,即.

因为(1+4a)2-(1+8a)=16a2>0,所以1+4a>,所以2019年5月份营业额较高的是甲.

(25分钟　50分)

一、选择题(每小题5分,共10分)

1.某地区植被被破坏,土地沙漠化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为接近的是(　　)

A.y=0.2x B.y=(x2+2x)

C.y=  D.y=0.2+log16x

【解析】选C.用排除法,当x=1时,排除B项;当x=2时,排除D项;当x=3时,排除A项.

2.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系:y=at,有以下叙述:①这个指数函数的底数是2;②第5个月时,浮萍的面积就会超过30 m2;③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月;④浮萍每个月增加的面积都相等.

其中正确的是(　　)

A.①③  B.①②  C.②③④  D.①②④

【解析】选B.由题意知图象单调递增,底数大于1,又过点(2,4),故①对;令t=5,得y=25=32>30,故②对;若浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过的时间是1.5个月,则有12=23.5,因为23.5=8≠12,故③错;由指数函数模型的图象上升特征,可知④错.

二、填空题(每小题5分,共20分)

3.函数y=x2与函数y=xln x在区间(1,+∞)上增长较快的一个是　　　　. 

【解析】当x变大时,x比ln x增长要快,所以x2要比xln x增长得要快.

答案:y=x2

4.计算机的价格大约每3年下降,那么今年花8 100元买的一台计算机,9年后的价格大约是　　　　元. 

【解析】设计算机价格平均每年下降p%,由题意可得=,所以p%=1-,所以9年后的价格约为y=8 100× =8 100×=300(元).

答案:300

5.某工厂生产某种产品的月产量y与月份x之间满足关系y=a·1.5x+b.现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为3万件、5万件.则此工厂3月份该产品的产量为　　　万件. 

【解析】由已知得解得

所以y=×1.5x-1.

当x=3时,y=8.

答案:8

6.麋鹿是国家一级保护动物,位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区,成立于1985年,最初一年年底只有麋鹿100头,由于科学的人工培育,这种当初快要灭绝的动物的数量y(头)与时间x(年)的关系可以近似地由关系式y=alog2(x+1)给出,则2000年年底它们的数量约为　　　头. 

【解析】由题意,x=1时y=100,代入求得a=100.2000年年底时,x=15,代入得y=400.

答案:400

三、解答题(每小题10分,共20分)

7.树林中有一种树木栽植五年后可成材.在栽植后的五年内,年增长率为20%,如果不砍伐,从第六年到第十年,年增长率为10%,现有两种砍伐方案:

甲方案:栽植五年后不砍伐,等到十年后砍伐.

乙方案:栽植五年后砍伐重栽,再过五年再砍伐一次.

请计算后回答:十年内哪一种方案可以得到较多的木材?(不考虑最初的树苗成本,只按成材的树木计算)

【解析】设树林中这种树木的最初栽植量为a(a>0),甲方案在10年后树木产量为y1=a(1+20%)5(1+10%)5=a(1.2×1.1)5≈4a.

乙方案在10年后树木产量为

y2=2a(1+20%)5=2a×1.25≈4.98a.

y1-y2=4a-4.98a<0,因此,乙方案能获得更多的木材.

8.某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件.为了估计以后每个月的产量,以这3个月的产品数量为依据,用一个函数来模拟该产品的月产量y与月份x的关系.模拟函数可以选用二次函数或函数y=a·bx+c(a,b,c为常数).已知4月份该产品的产量为1.37万件,试问:用以上哪个函数作为模拟函数较好?请说明理由.

【解析】设两个函数:y1=f(x)=px2+qx+r(p≠0),y2=g(x)=a·bx+c.

依题意,解得

所以y1=f(x)=-0.05x2+0.35x+0.7,

所以f(4)=1.3(万件).

依题意,得

解得

所以y2=g(x)=-0.8×0.5x+1.4.

所以g(4)=-0.8×0.54+1.4=1.35(万件).

经比较,g(4)=1.35(万件)比f(4)=1.3(万件)更接近于4月份的产量1.37万件.

所以选y2=g(x)=-0.8×0.5x+1.4作为模拟函数较好.