2021学年第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制第四课时学案

第四课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式

世间万物，物以类聚，人以群分，如动物界和植物界，带有一般性的事物涵盖一切，而特殊性的事物内涵丰富，种类繁多．在三角恒等变换中，二倍角的正弦、余弦和正切公式又有什么特点呢？

[问题]　在公式C(α＋β)，S(α＋β)和T(α＋β)中，若α＝β，公式还成立吗？

知识点　二倍角的正弦、余弦、正切公式

二倍角公式的变形

(1)逆用：2sin αcos α＝sin 2α，2cos2α－1＝cos 2α，1－2sin2α＝cos 2α；

(2)变形：①cos2α＝，sin2α＝；

②1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.　　　　

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)4α是2α的二倍角，α是的二倍角．(　　)

(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(　　)

(3)存在α，使得sin 2α＝2sin α成立．(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)√

2．已知sin α＝，cos α＝，则sin 2α等于(　　)

A.　　　　　　　　　 B.

C.  D.

答案：D　

3．已知tan α＝，则tan 2α＝________．

答案：－

4．cos215°－sin215°结果等于________．

答案：

[例1]　(链接教科书第223页练习5题)求下列各式的值．

(1)1－2sin2750°；

(2)；

(3)cos 20°·cos 40°·cos 80°.

[解]　(1)原式＝cos(2×750°)

＝cos 1 500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝.

(2)原式＝＝

＝＝2.

(3)原式＝2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°

＝·sin 40°cos 40°cos 80°

＝sin 80°cos 80°

＝·sin 160°

＝＝.

解给角求值问题的方法

(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角；

(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．　　　　

[跟踪训练]

1．cos4－sin4等于(　　)

A．－　　　　　　　　　　 B．－

C.  D.

解析：选D　原式＝＝cos＝.

2．求值＝________．

解析：＝＝tan 60°＝.

答案：

[例2]　(链接教科书第221页例5)已知<α<π，sin α＝.

(1)求tan 2α的值；

(2)求cos的值．

[解]　(1)由题意得cos α＝－，∴tan α＝－，

∴tan 2α＝＝＝.

(2)∵cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝－，

sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，

∴cos＝cos 2αcos ＋sin 2αsin ＝－×＋×＝－.

解决给值求值问题的方法

给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：

(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；

(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系；

(3)注意几种公式的灵活应用，如：

①sin 2x＝cos＝cos

＝2cos2－1＝1－2sin2；

②cos 2x＝sin＝sin

＝2sincos.　　　　

[跟踪训练]

1．已知＝，则sin 2x＝(　　)

A．－  B．－

C.  D.

解析：选A　∵＝，∴＝，∴cos x＋sin x＝，∴1＋sin 2x＝，∴sin 2x＝－.

2．在△ABC中，tan A＝，tan B＝2，则tan(2A＋2B)＝________．

解析：∵tan A＝.

tan B＝2，

∴tan(A＋B)＝＝＝－2.

∴tan(2A＋2B)＝tan[2(A＋B)]

＝＝＝.

答案：

[例3]　(1)化简：－；

(2)求证：cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos 2Acos 2B.

[解]　(1)原式＝＝＝tan 2θ.

(2)证明：左边＝－

＝

＝(cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2A·cos 2B＋sin 2Asin 2B)＝cos 2Acos 2B＝右边，∴原等式成立．

三角函数式的化简与证明

(1)化简的方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂；③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ；

(2)证明三角恒等式的方法：①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，左边/右边＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．　　　　

[跟踪训练]

1．α为第三象限角，则－＝________．

解析：因为α为第三象限角，所以cos α<0，sin α<0，

所以－＝－＝－＝0.

答案：0

2．求证：＝sin 4α.

证明：

＝2cos2α·(－cos 2α)·

＝cos2αcos 2αtan α

＝sin αcos αcos 2α＝sin 2αcos 2α

＝sin 4α，

所以原等式成立．

1．若sin＝，则cos α＝(　　)

A．－　　　　　　　 B．－

C.  D.

解析：选C　因为sin＝，

所以cos α＝1－2sin2 ＝1－2×＝.

2．已知α为第三象限角，且cos α＝－，则tan 2α的值为(　　)

A．－  B.

C．－  D．－2

解析：选A　由题意可得，sin α＝－＝－，∴tan α＝2，∴tan 2α＝＝－，故选A.

3．化简：－tan θtan 2θ.

解：－tan θtan 2θ＝－＝＝＝＝1.