高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第二课时导学案及答案

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第2课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式[课程目标] 1.能由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式、两角和与差的正弦公式，能由两角和与差的正余弦公式推导出两角和与差的正切公式，了解它们之间的内在联系；2.能够利用两角和与差的正弦公式、余弦公式、正切公式进行计算与求值． 知识点一　两角和的余弦公式、两角和与差的正弦公式 名称公式简记符号使用条件两角和的余弦公式cos (α＋β)＝__cos__αcos__β－sin____αsin____β__C(α＋β)α，β是任意角两角和的正弦公式sin (α＋β)＝__sin__αcos__β＋cos____αsin____β__S(α＋β)α，β是任意角两角差的正弦公式sin (α－β)＝__sin__αcos__β－cos____αsin____β__S(α－β)α，β是任意角　　[研读]这三组公式都是从两角差的余弦公式推导得到的，注意公式之间的联系，记忆才会深刻牢固． 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.(　√　)(2)存在α，β∈R，使得sin (α－β)＝sin α－sin β成立.(　√　)(3)对于任意α，β∈R，sin (α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．(　×　)(4)sin 78°cos 18°－cos 78°sin 18°＝.(　√　)【解析】 (2)如取α∈R，β＝0，等式成立．(3)存在α，β∈R，使得sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立，如取α∈R，β＝0.(4)sin 78°cos 18°－cos 78°sin 18°＝sin (78°－18°)＝sin 60°＝.  知识点二　两角和与差的正切公式 名称公式简记符号使用条件两角和的正切公式tan (α＋β)＝____T(α＋β)α，β，α＋β ≠kπ＋(k∈Z)，且tan α·tan β≠1两角差的正切公式tan (α－β)＝____T(α－β)α，β，α－β ≠kπ＋(k∈Z)，且tan α·tan β ≠－1　　[研读]在两角和与差的正切公式中，角α，β，α＋β，α－β 均不等于kπ＋(k∈Z)，这是由正切函数的定义域决定的． 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)存在α，β∈R，使tan (α＋β)＝tan α＋tan β成立．(　√　)(2)对任意α，β∈R，tan (α＋β)＝都成立.(　×　)(3)tan 可以使用公式tan (α＋β)＝ 求值．(　×　)(4)＝tan 128°.(　√　)【解析】 (2)α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)，tan αtan β≠1.(3)tan 没有意义． 求下列各式的值．(1)sin 50°cos 170°－cos 50°sin 170°；(2)sin 20°sin 40°－cos 20°cos 40°；(3)tan 105°.解： (1)sin 50°cos 170°－cos 50°sin 170°＝sin (50°－170°)＝－sin 120°＝－.(2)sin 20°sin 40°－cos 20°cos 40°＝－(cos 20°cos 40°－sin 20°·sin 40°)＝－cos (20°＋40°)＝－cos 60°＝－.(3)tan 105°＝tan (60°＋45°)＝＝＝－2－. 活学活用求下列各式的值．(1)cos 345°；(2)tan 15°＋tan 75°.解：(1)cos 345°＝cos (360°－15°)＝cos 15°＝cos (45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝.(2)tan 15°＋tan 75°＝tan (45°－30°)＋tan (45°＋30°)＝＋＝＋＝4. 已知sin α＝，cos β＝－，且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin (α＋β)和sin (α－β)的值．解：因为α为第一象限角，β为第二象限角，sin α＝，cos β＝－，所以cos α＝，sin β＝，所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝，sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－. 活学活用已知<β<α<，cos (α－β)＝，sin (α＋β)＝－，求cos 2α与cos 2β的值．解：因为<β<α<，所以0<α－β<，π<α＋β<.又cos (α－β)＝，sin (α＋β)＝－，所以sin (α－β)＝＝，cos(α＋β)＝－＝－.所以cos2α＝cos [(α＋β)＋(α－β)]＝cos (α＋β)cos (α－β)－sin (α＋β)sin (α－β)＝×－×＝－，cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]＝cos (α＋β)cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β)＝×＋×＝－. 已知＝3，tan (α－β)＝2，则tan (β－2α)＝____．【解析】 由题意知＝＝3，则tan α＝2.因为tan (α－β)＝2，所以tan (β－α)＝－2，故tan (β－2α)＝tan [(β－α)－α]＝＝＝. 活学活用化简：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于__1__．【解析】 原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°(tan 20°＋tan 10°)＝tan 10°tan 20°＋tan (20°＋10°)(1－tan 20°tan 10°)＝tan 10°tan 20°＋1－tan 20°tan 10°＝1.[规律方法]将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式，像这样的代换方法就是角的代换．常见的有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]＝[(α＋β)－(β－α)]，＝－，α＋β＝(2α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)等． 已知sin α＝，sin β＝，且α和β均为钝角，求α＋β的值．解：因为α和β均为钝角，sin α＝，sin β＝，所以cos α＝－＝－，cosβ＝－＝－.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－×－×＝.由α和β均为钝角，得π＜α＋β＜2π，所以α＋β＝. 活学活用如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.求：(1)tan (α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．解：由条件得cos α＝，cos β＝.∵α，β为锐角，∴sin α＝＝，sinβ＝＝.因此tanα＝＝7，tan β＝＝.(1)tan (α＋β)＝＝＝－3.(2)tan (α＋2β)＝tan [β＋(α＋β)]＝＝＝－1.∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜，∴α＋2β＝.[规律方法]给值求角问题的解题策略：(1)解答此类题目的步骤：第一步，确定角所在的范围；第二步，求角的某一个三角函数值；第三步，根据角的取值范围写出所求的角．至于选取角的哪一个三角函数值，应根据所求角的取值范围确定，最好是角的取值范围在该函数的单调区间内．(2)选择求角的三角函数值的方法：若角的取值范围是，则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围是，则选正弦函数；若角的取值范围是(0，π)，则选余弦函数．1．在△ABC中，A＝ ，cos B＝ ，则sin C等于(　A　)　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．     B．－ C．     D．－ 【解析】 由题意得，sin A＝cos A＝ ，sin B＝ ，所以sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝ × ＋ × ＝ .2．的值等于(　A　)A．tan 42°    B．tan 3°C．1    D．tan 24°【解析】 ∵tan 60°＝，∴原式＝＝tan (60°－18°)＝tan 42°.3． 下列式子结果为的有(　ABC　)A．tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35° B．2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)C．D．【解析】 对于A，利用正切的变形公式可得原式＝；对于B，原式＝2sin 60°＝；对于C，原式＝＝tan 60°＝；对于D，原式＝＝tan 30°＝，故选ABC.4．若cos α＝－，sin β＝－，α∈，β∈，则sin (α＋β)的值为____，cos (α＋β)的值为____．【解析】 ∵cos α＝－，α∈，∴sin α＝＝.∵sinβ＝－，β∈，∴cos β＝＝，∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝，cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.5．在△ABC中，若tan A，tan B是方程6x2－5x＋1＝0的两根，则C＝____．【解析】 由题意得tan A＋tan B＝，tan A tan B＝，∴tan (A＋B)＝＝＝1.又A＋B＋C＝π，∴tan C＝－tan (A＋B)＝－1，∴C＝.