数学必修 第一册第五章 三角函数5.2 三角函数的概念学案及答案

简单的三角恒等变换

类似电脑输入法有“半角”和“全角”之分(如图)，三角中也有倍角公式与单角公式，那么单角和半角之间的联系是什么？由两角和与差的正弦公式和余弦公式还可以推导出哪些三角恒等式？

[问题]　由cos 30°的值能否求出sin 15°和cos 15°的值？

知识点　半角公式

1．有了半角公式，只需知道cos α的值及相关的角的范围便可求的正弦、余弦、正切的值．

2．由于tan ＝及tan ＝不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件．

3．辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋θ).　　　　

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)cos ＝ .(　　)

(2)存在α∈R，使得cos ＝cos α.(　　)

(3)对于任意α∈R，sin ＝sin α都不成立．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)×

2．若cos α＝，且α∈(0，π)，则cos ＝________，sin＝________．

答案：　

3．tan＝________．

答案：－1

[例1]　(链接教科书第225页例7)已知sin α＝－，π<α<，求sin，cos，tan的值．

[解]　∵π<α<，sin α＝－，

∴cos α＝－，且<<，

∴sin ＝ ＝，

cos ＝ － ＝－，

tan＝＝－2.

利用半角公式求值的思路

(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解；

(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．

[注意]　已知cos α的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．　　　　

[跟踪训练]

已知cos 2θ＝－，<θ<π，求tan的值．

解：因为cos 2θ＝－，<θ<π，依半角公式得

sin θ＝ ＝ ＝，

cos θ＝－ ＝－ ＝－，

所以tan＝＝＝.

[例2]　化简：

(π<α<2π)．

[解]　原式＝

＝

＝.

又∵π<α<2π，∴<<π，

∴cos<0，

∴原式＝＝cos α.

化简问题中的“三变”

(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式；

(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切；

(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．　　　　

[跟踪训练]

化简：(1)cos－tan·(1＋cos α)；

(2).

解：(1)原式＝－sin α－·(1＋cos α)

＝－2sin α；

(2)原式＝＝＝＝tan 2α.

[例3]　(链接教科书第227页例9)已知函数f(x)＝sin＋2cos2x－1.求函数f(x)的最大值及其相应的x的取值集合．

[解]　f(x)＝sin＋2cos2x－1＝sin 2x·cos－cos 2x·sin＋cos 2x＝·sin 2x＋cos 2x＝sin，故f(x)＝sin，所以当2x＋＝2kπ＋，k∈Z，即 x＝kπ＋，k∈Z时，f(x)max＝1.

其相应的x的取值集合为.

应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤

运用和、差、倍角公式化简

↓

↓

[跟踪训练]

已知函数f(x)＝sin＋2sin2(x∈R)．

求函数f(x)的最小正周期．

解：∵f(x)＝sin＋2sin2

＝sin＋1－cos

＝2＋1

＝2sin＋1

＝2sin＋1，

∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.

[例4]　(链接教科书第227页例10)如图所示，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿由点B到点E的方向前进30 m至点C，测得顶端A的仰角为2θ，再沿刚才的方向继续前进10 m到点D，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高．

[解]　因为∠ACD＝θ＋∠BAC＝2θ，

所以∠BAC＝θ，所以AC＝BC＝30 m.

又∠ADE＝2θ＋∠CAD＝4θ，

所以∠CAD＝2θ，

所以AD＝CD＝10 m.

所以在Rt△ADE中，AE＝AD·sin 4θ＝10sin 4θ(m)，

在Rt△ACE中，AE＝AC·sin 2θ＝30sin 2θ(m)，

所以10sin 4θ＝30sin 2θ，

即20sin 2θcos 2θ＝30sin 2θ，

所以cos 2θ＝，又2θ∈，

所以2θ＝，所以θ＝，

所以AE＝30sin ＝15(m)，

所以θ＝，建筑物AE的高为15 m.

解决此类问题，关键是合理引入自变量，恰当表示题中的有关量，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解．　　　　

[跟踪训练]

如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最长？

解：设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝Rsin α，OB＝Rcos α，

所以l＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsin α＋Rcos α

＝R(sin α＋cos α)＋R

＝Rsin＋R.

因为0<α<，所以<α＋<，

所以l的最大值为R＋R＝(＋1)R，此时，α＋＝，即α＝，即当α＝时，△OAB的周长最长．

1．已知sin 2α＝，则cos2＝(　　)

A．－　　　　　　　　 B．－

C.  D.

解析：选D　cos2＝＝＝.

2．函数y＝sin 2x＋cos2x的最小正周期为________．

解析：y＝sin 2x＋cos2x＝sin 2x＋＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin＋，所以该函数的最小正周期为π.

答案：π

3．已知cos θ＝－，θ∈(π，2π)，求sin ＋cos 的值．

解：因为θ∈(π，2π)，

所以∈，

所以sin ＝ ＝，

cos ＝－＝－，

所以sin ＋cos ＝.