数学5.5 三角恒等变换第三课时导学案

这是一份数学5.5 三角恒等变换第三课时导学案，共6页。学案主要包含了学习目标，问题探究等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】 (1)会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．(2)能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用．
【问题探究】 (1)请同学们写出两角和的正弦、余弦、正切公式．
(2)令β＝α，你会得到怎样的结果？
(3)在cs 2α＝cs2α－sin2α中，能否只用sinα或cs α表示cs 2α？
题型 1二倍角公式的简单应用
例1 求下列各式的值：
(1)sin2π－cs2π；
(2)；
(3)cs 20°·cs 40°·cs 80°.
题后师说
利用二倍角公式解决给角求值问题的策略
跟踪训练1 求下列各式的值：
(1)；(2)cs4－sin4；(3)sin18°cs 36°.
题型 2给值求值
例2 (1)已知角α终边在第四象限，且2sin 2α＋1＝cs 2α，则tan α＝( )
A．－ B．－
C．－3 D．－2
(2)已知cs (α＋)＝≤α<，求cs (2α＋)的值．
一题多变 本例(2)中的条件不变，求的值．
学霸笔记：解决给值求值问题的方法
(1)给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：
①有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
②寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．
(2)注意几种公式的灵活应用，如：
①sin 2x＝cs (－2x)＝cs [2(－x)]＝2cs2(－x)－1＝1－2sin2(－x)．
②cs2x＝sin (－2x)＝sin [2(－x)]＝2sin (－x)cs (－x)．
跟踪训练2 (1)设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上一点，且cs α＝，则tan 2α＝________．
(2)已知sin (α－)＝，则sin (2α＋)＝________．
题型 3利用二倍角公式化简、证明
例3 化简：.
学霸笔记：(1)化简的方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂．
(2)证明恒等式，要观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次到低次，复角化单角；如果两端都比较复杂，那么将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．
跟踪训练3 求证：＝tan θ.
随堂练习
1.2sin 75°cs 75° 的值是( )
A． B． C． D．
2．已知cs α＋3sin α＝0，则tan 2α＝( )
A． B．－ C．－ D．－
3．若sin α＝－，则cs 4α＝( )
A．－ B． C．－ D．
4．已知sin (－x)＝，且x∈(0，)，那么sin 2x＝________．
课堂小结
1.二倍角公式的推导．
2．利用二倍角公式的正用、逆用进行求值、化简、证明．
3．求值、化简应从“角”、“函数名”、“幂”、“形”四个方面着手分析，消除差异．
第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
问题探究 提示：(1)sin (α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β
cs (α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β
tan (α＋β)＝
(2)sin 2α＝2sin αcs α
cs 2α＝cs2α－sin2α
tan2α＝
(3)cs2α＝cs2α－(1－cs2α)＝2cs2α－1＝(1－sin2α)－sin2α＝1－2sin2α
例1 解析：(1)原式＝－(cs2π－sin2π)＝－csπ
＝－cs (π－)＝cs ＝.
(2)原式＝＝＝2×＝2．
(3)原式＝
＝＝
＝＝＝.
跟踪训练1 解析：(1)＝
＝tan 150°＝×(－)＝－.
(2)原式＝(cs2－sin2)(cs2＋sin2)
＝cs2－sin2＝cs＝.
(3)sin 18°cs 36°＝cs 72°cs 36°＝
＝＝＝＝.
例2 解析：(1)由题知，角α终边在第四象限，
所以sin α<0，cs α>0，
因为2sin 2α＋1＝cs 2α，
即4sin αcs α＋sin2α＋cs2α＝cs2α－sin2α，
化简可得：2sinαcs α＋sin2α＝0，
即tanα＝－2，故选D.
(2)∵≤α<，∴≤α＋<.
∵cs (α＋)>0，∴<α＋<
∴sin (α＋)＝－
＝－＝－.
∴cs 2α＝sin (2α＋)＝2sin (α＋)cs (α＋)
＝2×＝－，
sin 2α＝－cs (2α＋)＝1－2cs2(α＋)
＝1－2×＝.
∴cs(2α＋)＝cs 2α－sin 2α
＝×(－)＝－.
答案：(1)D (2)见解析
一题多变 解析：原式＝＝(cs α－sin α)＝2cs (α＋)＝.
跟踪训练2 解析：(1)根据题意，cs α＝＝，解得x＝0或3或－3，又α是第二象限角，故x＝－3；
则tan α＝－，则tan 2α＝＝＝.
(2)sin(2α＋)＝cs (－(2α＋))＝cs (－2α)＝cs (2α－)＝1－2sin2(α－)－1＝1－2×＝.
答案：(1) (2)
例3 解析：方法一 原式＝
＝
＝＝＝1.
方法二 原式＝
＝
＝
＝＝1.
跟踪训练3 证明：左边＝
＝
＝tan θ＝右边．
[随堂练习]
1．解析：2sin 75°cs 75°＝sin 150°＝＝.故选A.
答案：A
2．解析：由cs α＋3sin α＝0，可得tan α＝－，则tan 2α＝＝＝－.故选B.
答案：B
3．解析：由sinα＝－得cs 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，因此cs4α＝2cs22α－1＝2×－1＝－.故选A.
答案：A
4．解析：sin2x＝cs (－2x)＝cs 2(－x)＝1－2sin2(－x)＝1－2×＝.
答案：