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    新人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数5.1第三课时两角和与差的正切公式学案

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    高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制第三课时导学案

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制第三课时导学案,共7页。


    第三课时 两角和与差的正切公式

    如图所示每个小正方形的边长为1tan αtan βCODαβ.

    [问题] 能否求出tan(αβ)和tan(αβ)的值?

                                        

                                        

                                        

    知识点 两角和与差的正切公式

    名称

    公式

    简记符号

    条件

    两角和

    的正切

    公式

    tan(αβ)=

    T(αβ)

    αβαβ

    kπ(kZ)

    两角差

    的正切

    公式

    tan(αβ)=

    T(αβ)

    αβαβ

    kπ(kZ)

    1公式的结构特征及符号特征

    (1)公式T(α±β)的右侧为分式形式其中分子为tan αtan β 的和或差分母为1与tan αtan β的差或和;    

    (2)

    符号变化规律可简记为“分子同分母反”.

    2两角和与差的正切公式的变形与特例

    (1)变形公式:tan αtan βtan(αβ)(1-tan α·tan β);tan αtan βtan(αβ)(1+tan αtan β);

    tan αtan β=1-

    (2)公式的特例tan

    tan.    

    1.判断正误.(正确的画“√”错误的画“×”)

    (1)存在αβR,使tan(αβ)=tan αtan β成立.(  )

    (2)对任意的αβR,tan(αβ)=都成立.(  )

    (3)tan能根据公式tan(αβ)直接展开.(  )

    答案:(1)√ (2)× (3)×

    2.已知tan αtan=(  )

    A.        B.7

    C.  D.-7

    答案:B

    3.tan 75°=________.

    答案:2+

    化简求值

    [例1] (链接教科书第219页例4)化简求值:

    (1)

    (2)tantantantan.

    [] (1)

    tan(74°+76°)=tan 150°=-.

    (2)tantan tan tan

    tantan tan

    tantan.

    利用公式T(α±β)化简求值的两点说明

    (1)分析式子结构正确选用公式形式:

    T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发确定是正用、逆用还是变形用并注意整体代换;

    (2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用:

    当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换如“1=tan tan 这样可以构造出利用公式的条件从而可以进行化简和求值.    

    [跟踪训练]

    化简求值:

    (1)

    (2)tan 10°·tan 20°(tan 10°tan 20°).

    解:(1)

    tan(45°-15°)=tan 30°.

    (2)∵tan(10°+20°)

    tan 10°tan 20°(1-tan 10°·tan 20°).

    原式tan 10°·tan 20°×(1-tan 10°·tan 20°)

    tan 10°·tan 20°+1-tan 10°tan 20°=1.

    给值求值问题

    [例2] (链接教科书第218页例3)已知tan,tan=2求:

    (1)tan的值

    (2)tan(αβ)的值

    [] (1)tan

    tan

    =-.

    (2)tan(αβ)=tan

    =2-3.

    给值求值问题的两种变换

    (1)式子的变换:分析已知式子的结构特点结合两角和与差的三角函数公式通过变形建立与待求式子间的联系以实现求值;

    (2)角的变换:首先从已知角间的关系入手分析已知角与待求角间的关系如用αβ-(βα)2α=(αβ)+(αβ)等关系把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等量关系从而求值.    

    [跟踪训练]

    1.已知sin αα,tan(πβ)=tan(αβ)的值为(  )

    A.         B.

    C.  D.

    解析:选A ∵sin αα

    cos α=-=-

    tan α=-.

    tan(πβ)==-tan βtan β=-

    tan(αβ)==-.

    2.tantan α=________.

    解析:tan αtan

    .

    答案:

    给值求角问题

    [例3] 已知sin α,sin βαβ均为钝角.

    αβ.

    [解] ∵αβ均为钝角cos α=-=-cos β=-=-.

    tan α=-tan β=-.

    tan(αβ)=

    =-1

    αβ均为钝角π<αβ<2π

    αβ.

    给值求角问题的解题策略

    (1)解答此类题目的步骤为:第一步求角的某一个三角函数值;第二步,确定角所在的范围;第三步,根据角的取值范围写出所求的角.至于选取角的哪一个三角函数值应根据所求角的取值范围确定最好是角的取值范围在该函数的单调区间内;

    (2)选择求角的三角函数值的方法:若角的取值范围是则选正弦函数、余弦函数均可;若角的取值范围是则选正弦函数;若角的取值范围是(0π),则选余弦函数.    

    [跟踪训练]

    已知tan α,tan βαβ求2αβ的值.

    解:∵tan αtan βαβ

    tan(αβ)=>0

    αβ2αβ∈(0π)

    tan(2αβ)=tan[(αβ)+α]

    =1

    2αβ.

    1.已知tan α=2,tan β=3tan(αβ)=(  )

    A.-7   B.   

    C.   D.

    解析:选D tan(αβ)=

    =-.故选D.

    2.求值tan 15°=________.

    解析:tan 15°tan(60°-45°)=

    =2-.

    答案:2-

    3.已知αβ都是锐角,tan α,tan βαβ的值.

    解:因为tan(αβ)=

    =1αβ都是锐角

    αβ∈(0π)所以αβ.

     

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