数学必修 第一册5.5 三角恒等变换第一课时导学案及答案

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第1课时　两角差的余弦公式 [课程目标] 1.了解两角差的余弦公式的推导过程；2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算． 知识点　两角差的余弦公式 公式cos (α－β)＝__cos__αcos__β＋sin__αsin__β__简记符号C(α－β)使用条件α，β是任意角　　[研读]由C(α－β)可知，只要知道cos α，cos β，sin α，sin β 的值，就可以求得cos (α－β)的值． 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)cos (60°－20°)＝cos  60°－cos 20°.(　×　) (2)存在某些实数α，β，能使cos (α－β)＝cos α－cos β成立.(　√　)(3)对任意α，β∈R，cos (α－β)＝cos αcos β＋sin α·sin β 都成立．(　√　)(4)cos 136°cos 16°＋sin 136°sin 16°＝－.(　√　)【解析】 (1)cos (60°－20°)＝cos  60°cos 20°＋sin 60°sin 20°.(2)取α＝0，β＝时，等式成立． cos 165°等于(　C　)A．－B．－C．－D．－【解析】 cos 165°＝cos (180°－15°)＝－cos 15°＝－cos (60°－45°)＝－cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45°＝－×－×＝－. 活学活用sin 4°cos 20°＋sin 86°cos 70°等于(　B　)A．cos 16°　　　　　　　B．cos 66°C．    D．【解析】 sin 4°cos 20°＋sin 86°cos 70°＝cos 86°cos 20°＋sin 86°·sin 20°＝cos  (86°－20°)＝cos 66°.[规律方法]利用公式C(α－β)求值的方法技巧：在利用两角差的余弦公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差)，再用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地使用公式或逆用公式求值． 若sin (π＋α)＝－，α是第二象限角，sin ＝－，β是第三象限角，则cos (α－β)的值是____．【解析】 因为sin (π＋α)＝－sin α＝－，所以sin α＝.又α是第二象限角，所以cos α＝－.因为sin ＝cos β＝－，且β为第三象限角，所以sin β＝－，所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝. 活学活用设cos ＝－，sin ＝，其中α∈，β∈，则cos ＝____．【解析】 因为α∈，β∈，所以α－∈，－β∈.又因为cos ＝－，sin ＝，所以sin ＝＝，cos＝＝＝，所以cos＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝－×＋×＝.[规律方法]给值求值的解题策略：(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①α＝(α－β)＋β；②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β). 已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，则α－β的值是__－__．【解析】 因为α，β均为锐角，所以sin α＝，sin β＝，所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.又因为sin α<sin β，所以0<α<β<，所以－<α－β<0，所以α－β＝－. 活学活用已知cos (α－β)＝－，cos (α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，则角β的值是____．【解析】 由α－β∈，且cos (α－β)＝－，得sin (α－β)＝.由α＋β∈，且cos (α＋β)＝，得sin (α＋β)＝－.cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]＝cos (α＋β)cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β)＝×＋×＝－1.又因为α＋β∈，α－β∈，所以2β∈，所以2β＝π，则β＝.[规律方法]解答已知三角函数值求角这类题目，关键在于合理运用公式并结合角的范围，对所求的解进行取舍，其关键环节有两个：一是求出所求角的某种三角函数值，二是确定角的范围，然后结合三角函数图象易求出角的值． 1．cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°等于(　B　)A．cos 100°　　　　　　B．C．    D．【解析】 cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos (80°－20°)＝.2．若α，β都是锐角，且cos α＝，sin β＝，则cos (α－β)＝(　A　)A．    B．C．或－    D．或【解析】 由α，β都是锐角，且cos α＝， sin β＝，得sin α＝，cos β＝，∴cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝.3．已知sin －cos sin ＝cos cos ，则锐角θ等于(　B　)A．    B．C．    D．【解析】 sin ＝cos cos ＋cos sin ＝cos cos ＋sin sin ＝cos ＝，因为θ为锐角，所以θ－＝，得θ＝.4．若sin αsin β＝1，则cos (α－β)的值为(　B　)A．0    B．1C．±1    D．－1【解析】 因为sin αsin β＝1，－1≤sin α≤1，－1≤sin β≤1，所以或解得于是cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1.5．已知cos ＝，则cos α＋sin α的值为____．【解析】 由cos ＝cos cos α＋sin sin α＝⇒cos α＋sin α＝.