课题

《平面向量的应用》

教学目标

1.  知识目标

综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量距离有关的实际问题; 了解常用的测量相关术语和测量工具

2.   能力目标

通过综合运用正弦定理、余弦定理等知识，培养学生数形结合能力，发展学生数学运算和直观想象素养

3.   情感目标

经历建立数学模型解决实际问题的过程，体会数学的应用价值.

教学重点

运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量距离有关的实际问题;

教学难点

建立数学模型解决实际问题的过程.

教学准备

教师准备：直观教具准备、多媒体课件、学情分析

学生准备：构建余弦定理与正弦定理知识体系

教学过程

一、复习导入

1.余弦定理：

c^2 =a^2 +b^2 - 2abcosC

a^2 =b^2 +c^2 – 2bccosA

b^2 =a^2 +c^2 - 2accosB

三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍

推论：

2.正弦定理：
 

作用一:已知两边及一边所对的角，求角

作用二:已知两角及一边，求边.

3.综合应用余弦定理、正弦定理可解决:
(1)已知三角形的两边和其中一边所对的角时，应用正弦定理求出另一边所对的角.应用三角形内角和定理求第三个角，再用正弦定理求出第三条边;
(2)已知三角形的两个角和其中一个角所对的边时，可应用三角形内角和定理求出三角形的第三个角，再应用正弦定理，求出另两边;
(3)巳知两边和它们的夹角时，可以应用余弦定理求出第三条边.并把问题转化到前面的类型.
(4)已知三角形的三条边时,应用余弦定理的推论求出一个角，并把问题转化到前面的类型.
余弦定理、正弦定理在实际测量中有许多应用:

二、新课学习

余弦定理、正弦定理应用举例：距离问题、高度问题、角度问题

距离的测量是实际问题，具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案.
需要注意的是,题目中给出的已知条件往往隐含着相应测量问题在某种特定条件限制下的测量方案,而且是这种情景与条件限制下的恰当方案.

在测量问题中，对于可到达的两点之间的距离，一般直接测量，对于不可到达的两点间的距离，该如何测量呢?
测量工具
测量距离的工具:卷尺等;

测量角度的工具:经纬仪等.

例1如图，设A, B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m,∠BAC=51°，∠ACB=75°.求A，B两点的距离(精确到0.1m)
解:根据正弦定理，得
 

答:A，B两点间的距离为65.7米.

在测量过程中，我们把根据测量的需要确定的线段叫基线，

如例1中的AC.一般来说，基线越长,测量的精确度越高.

思考:若改变点C的位置，哪些相关数据可能会发生变化?对计算A, B两点的距离是否有影响?

例2如图，设A,B两点在河的两岸(A为可到达点，B为不可到达点)，设计一种测量A, B两点间距离的方法，并求出A，B间的距离.

选定一个可到达点C;→测量AC的距离及∠BAC，∠ACB的大小;→先求出∠ABC再利用正弦定理求AB的距离.

在点A所在的岸边选定一个可到达点C,测得AC=d,∠ACB=α，∠BAC=β.则在ΔABC中，根据正弦定理，得
 

实际问题(测量点A，B间的距离)
建立数学模型(构造ΔABC)

数学问题的解(解ΔABC)
实际问题的解
(检验所求的解是否符合实际意义)

例3如图，A, B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A, B两点间距离的方法,并求出A，B间的距离.
分析:若测量者在A，B两点的对岸取定一点C (称作测量基点)，则在点C处只能测出∠ACB的大小，因而无法解决问题.为此，可以再取一点D，测出线段CD的长，以及∠ACD，∠CDB，2 _BDA,这样就可借助正弦定理和余弦定理算出距离了.

解:如图，在A, B两点的对岸选定两点C，D，测得CD=a，并且在C，D两点分别测得∠BCA=a, CACD=β,∠CDB=y，∠BDA =δ.
在△ADC中，由正弦定理，得

 

在△BDC中，由正弦定理，得
 

于是，在△ABC中，由余弦定理可得A, B两点间的距离

 

三、数学史

在1671年，两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离，利用几乎位于同一经线上的柏林(点A)与好望角(点B)为基点，测量出a, β的大小，并计算出两地之间的距离AB，进而算出了地球与月球之间的距离约为385 400 km.我们在地球上所能用的最长的基线是地球椭圆轨道的长轴.

四、课堂小结

1.综合运用正弦定理、余弦定理解决了一些与测量距离有关的实际问题;

测量距离的工具:卷尺等;
测量角度的工具:经纬仪等.

实际问题(测量点A，B间的距离)
建立数学模型(构造ΔABC)

数学问题的解(解ΔABC)
实际问题的解
(检验所求的解是否符合实际意义)

课后作业

自主学习检测

板书设计

平面向量的应用

复习导入

新课学习

新课学习

新课学习

课堂小结