人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用课后测评

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用课后测评，文件包含人教A版高中数学必修第二册同步讲义第11讲平面几何的向量方法原卷版doc、人教A版高中数学必修第二册同步讲义第11讲平面几何的向量方法含解析doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。

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知识精讲
知识点 向量方法解决平面几何问题的步骤
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．

【即学即练1】 已知点A(－2，－3)，B(19,4)，C(－1，－6)，则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
答案 C
解析 eq \(AB,\s\up6(→))＝(19,4)－(－2，－3)＝(21,7)，
eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1，－6)－(－2，－3)＝(1，－3)，
eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝21－21＝0，∴eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→)).
则∠A＝90°，又|eq \(AB,\s\up6(→))|≠|eq \(AC,\s\up6(→))|，
∴△ABC为直角三角形．
反思感悟
用向量证明平面几何问题的两种基本思路
(1)向量的线性运算法的四个步骤：
①选取基底；
②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；
④把计算所得结果转化为几何问题．
(2)向量的坐标运算法的四个步骤：
①建立适当的平面直角坐标系；
②把相关向量坐标化；
③利用向量的坐标运算找到相应关系；
④利用向量关系回答几何问题．
能力拓展
考法01 利用向量证明平面几何问题
【典例1】 如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于点E，求BE∶EC.
解析 方法一 设eq \(BA,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，|a|＝1，|b|＝2，
则a·b＝|a||b|cs 60°＝1，eq \(BD,\s\up6(→))＝a＋b.
设eq \(BE,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))＝λb，
则eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(BE,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→))＝λb－a.
由AE⊥BD，得eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝0，
即(λb－a)·(a＋b)＝0，
解得λ＝eq \f(2,5)，
所以BE∶EC＝eq \f(2,5)∶eq \f(3,5)＝2∶3.
方法二 以B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设B(0,0)，C(2,0)，
则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(\r(3),2))).
设E(m,0)，则eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(\r(3),2)))，eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，
由AE⊥BD，得eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝0，
即eq \f(5,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－\f(1,2)))－eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),2)＝0，
解得m＝eq \f(4,5)，
所以BE∶EC＝eq \f(4,5)∶eq \f(6,5)＝2∶3.
【变式训练】在四边形ABCD中，若eq \(AC,\s\up6(→))＝(1,3)，eq \(BD,\s\up6(→))＝(－6,2)，则该四边形的面积为( )
A.eq \r(5) B．2eq \r(5) C．5 D．10
答案 D
解析 ∵eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝0，∴AC⊥BD.
∴四边形ABCD的面积
S＝eq \f(1,2)|eq \(AC,\s\up6(→))||eq \(BD,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)×eq \r(10)×2eq \r(10)＝10.
考法02 利用平面向量求几何中的长度问题
【典例2】在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
解析 设eq \(AD,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，则eq \(BD,\s\up6(→))＝a－b，eq \(AC,\s\up6(→))＝a＋b，
而|eq \(BD,\s\up6(→))|＝|a－b|＝eq \r( a2－2a·b＋b2)＝eq \r(1＋4－2a·b)
＝eq \r(5－2a·b)＝2，
∴5－2a·b＝4，∴a·b＝eq \f(1,2)，
又|eq \(AC,\s\up6(→))|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，
∴|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(6)，即AC＝eq \r(6).
反思感悟 用向量法求长度的策略
(1)根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解．
(2)建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(x2＋y2).
【变式训练】在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边上的中线AD的长是( )
A．2eq \r(5) B.eq \f(5\r(5),2)
C．3eq \r(5) D.eq \f(7\r(5),2)
答案 B
解析 ∵BC的中点为Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，6))，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，5))，
∴|eq \(AD,\s\up6(→))|＝eq \f(5\r(5),2).
考法03 平面几何中的平行(或共线)问题
【典例3】如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且eq \f(CE,ED)＝eq \f(AF,FB)＝eq \f(1,2).
求证：点E，O，F在同一直线上．
证明 设eq \(AB,\s\up6(→))＝m，eq \(AD,\s\up6(→))＝n，由eq \f(CE,ED)＝eq \f(AF,FB)＝eq \f(1,2)，知E，F分别是CD，AB的三等分点，
∴eq \(FO,\s\up6(→))＝eq \(FA,\s\up6(→))＋eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)m＋eq \f(1,2)(m＋n)＝eq \f(1,6)m＋eq \f(1,2)n，
eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(m＋n)－eq \f(1,3)m＝eq \f(1,6)m＋eq \f(1,2)n.
∴eq \(FO,\s\up6(→))＝eq \(OE,\s\up6(→)).
又O为eq \(FO,\s\up6(→))和eq \(OE,\s\up6(→))的公共点，
故点E，O，F在同一直线上．
反思感悟
(1)利用向量方法可以解决平面几何中的平行(共线)等问题，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标．
(2)通过用向量方法解决平面几何问题，培养数学建模、逻辑推理素养．
分层提分
题组A 基础过关练
1．在平面四边形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则该四边形的面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．13D．26
【答案】C
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴AC⊥BD，
所以四边形ABCD面积为： SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
2．在 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的形状是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 为钝角的三角形
B． SKIPIF 1 < 0 为直角的直角三角形
C．锐角三角形
D． SKIPIF 1 < 0 为直角的直角三角形
【答案】D
【详解】在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，
故选：D．
3．在 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的形状是（ ）
A．∠C为钝角的三角形B．∠B为直角的直角三角形
C．锐角三角形D．∠A为直角的直角三角形
【答案】D
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，∠A=90°，
则△ABC的形状是∠A为直角的直角三角形．
故选：D．
4． SKIPIF 1 < 0 中,设 SKIPIF 1 < 0 ,若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的形状是
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法确定
【答案】C
【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴角 SKIPIF 1 < 0 为钝角，
故选：C．
5．已知 SKIPIF 1 < 0 的面积为2,在 SKIPIF 1 < 0 所在的平面内有两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,满足 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
【答案】B
【详解】解:由题意 SKIPIF 1 < 0 可知, SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点,
SKIPIF 1 < 0 ,可知 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的一个三等分点,如图：
因为 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选:B.
6．若 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,则四边形 SKIPIF 1 < 0 是
A．平行四边形B．菱形C．等腰梯形D．非等腰梯形
【答案】C
【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 是等腰梯形，
故选：C．
7．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的形状为( )
A．等腰直角三角形B．等边三角形C．直角非等腰三角形D．等腰非直角三角形
【答案】A
【详解】由题意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形．
故选：A．
8．已知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 内的一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 和
SKIPIF 1 < 0 的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】试题分析：利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，进而把 SKIPIF 1 < 0 转化为利用基本不等式求得 SKIPIF 1 < 0 的最小值即可．
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 故选B．
9．已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角为钝角，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
【详解】由于 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角为钝角，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
10．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不共线（平行），则有 SKIPIF 1 < 0 ，所以解得： SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
11．向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角为钝角，则 SKIPIF 1 < 0 的取值集合为__.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：∵向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 夹角为钝角，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不共线，
即 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
12．已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为钝角，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是_____;
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为钝角，即数量积小于0.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为钝角，
所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量积小于0且不平行.
SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
13．如图，正六边形 SKIPIF 1 < 0 的边长为1， SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】-1
【详解】由正六边形性质， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：-1.
14．已知位置向量 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的终点分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,试判断 SKIPIF 1 < 0 的形状.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形.
题组B 能力提升练
1．若函数 SKIPIF 1 < 0 的图像按向量 SKIPIF 1 < 0 平移后，得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图像，则向量 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】因为函数 SKIPIF 1 < 0 的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图像，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
2．已知 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是平面内两个单位向量，且 SKIPIF 1 < 0 ，若向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】如图所示：
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上.
设 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是平面内两个单位向量，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
3．已知点 SKIPIF 1 < 0 在单位圆上运动，且 SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【详解】因为点 SKIPIF 1 < 0 在单位圆上且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 是单位圆直径两端，
故O为 SKIPIF 1 < 0 中点，所以 SKIPIF 1 < 0
而当B点在PO连线的延长线上时 SKIPIF 1 < 0 取得最大值，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
4．以 SKIPIF 1 < 0 为顶点的三角形是（ ）
A．锐角三角形B．以 SKIPIF 1 < 0 为直角顶点的直角三角形
C．以 SKIPIF 1 < 0 为直角顶点的直角三角形D．钝角三角形
【答案】C
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
满足 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为直角顶点的直角三角形.
故选：C
5．在空间四边形ABCD中， M，G分别是BC， CD的中点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2 SKIPIF 1 < 0 C．3 SKIPIF 1 < 0 D．3 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】因为M，G分别是BC， CD的中点，由三角形中位线的性质可得： SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 .
6．在 SKIPIF 1 < 0 中，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，若 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，
以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴和 SKIPIF 1 < 0 轴建立直角坐标系，
如图所示，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，
SKIPIF 1 < 0 可设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C．
7．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ##2.5
【详解】由题意， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
由向量模长的三角不等式， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
8．数学中处处存在着美，机械学家菜洛发现的菜洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形是以正三角形 SKIPIF 1 < 0 的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的.已知 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______
.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，如图所示，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
9．边长为4的正三角形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为边 SKIPIF 1 < 0 的中点，若 SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上运动（点 SKIPIF 1 < 0 可与 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 重合），则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ##5.75
【详解】由于 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最小值，且最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
10．已知O是 SKIPIF 1 < 0 内部一点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 得
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，且O在 SKIPIF 1 < 0 内，
所以O为 SKIPIF 1 < 0 的重心，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
11．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为中线 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是_____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 或3时， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
12．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________；若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为钝角，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为_________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【详解】由题， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为钝角，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
题组C 培优拔尖练
1．在梯形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若EF在线段AB上运动，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．5B． SKIPIF 1 < 0 C．4D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】建立如图所示的坐标系,
则 SKIPIF 1 < 0 ,设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ,
故选：D.
2．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】建立如图所示直角坐标系，由题意可设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，故C在以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，半径为1的圆上，
取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在AD上，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
3．（多选）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【详解】根据题意， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 成立，A正确；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
对于C， SKIPIF 1 < 0 不成立，C错误；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，D正确；
故选：ABD.
4．（多选）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为1，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 能构成一组基底B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 向量上的投影向量的模为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【详解】连接AF，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
以 SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立平面直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行，不能构成一组基底，A错误；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 向量上的投影向量的模长为 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得： SKIPIF 1 < 0 ，
当点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 重合时， SKIPIF 1 < 0 最大，
最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：BCD
5．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由题意， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 均在圆心为原点，半径为2的圆上.
①当 SKIPIF 1 < 0 为直径时， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 在直径 SKIPIF 1 < 0 上的投影，故 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 不为直径时， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
数形结合可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 有最小值 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 .
综上可得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
6．已知 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 为相反向量，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦的最小值为______．
【答案】-1
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 两边平方得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦的最小值为-1.
故答案为：-1
7．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】不妨设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
8．向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值是__；向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所张成的平行四边形的面积是__．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0 3
【详解】如图所示，建立直角坐标系，不妨取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ．
向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所张成的平行四边形的面积
SKIPIF 1 < 0 ．
故答案分别为： SKIPIF 1 < 0 ，3．
9．在△ SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 为边 SKIPIF 1 < 0 上一点，点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 延长线上的一点，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 上的中点时，设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点时，则 SKIPIF 1 < 0 是△ SKIPIF 1 < 0 的重心，
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取到等号，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
课程标准
课标解读
1.能用向量方法解决简单的几何问题.
2.能用向量方法解决简单的几何应用类问题和其他实际问题.
3.体会向量在解决几何在生活中的实际问题中的作用，培养学生的运算、分析和解决实际问题的能力．
1.在系统学习向量知识的基础上，能用向量方法解决简单的几何问题.
2.提升学生实际问题中的知识抽象，能用向量方法解决简单的几何应用类问题和其他实际问题.
3.体会向量在解决几何问题在生活中的实际问题中的作用，培养学生的运算、分析和解决实际问题的能力．