2020-2021学年8.5 空间直线、平面的平行综合训练题

第八章 立体几何初步

8.5.1直线与直线平行(提升练）

一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）

1.给出下列命题：

①若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；

②若两条直线与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行；

③若两条直线与第三条直线平行，这两条直线互相平行；

④若两条直线均与一个平面平行，则这两条直线互相平行.

其中正确的命题的个数是(　 　)

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【解析】在空间中，若两条直线和第三条直线所成的角相等，可能这三条直线构成等腰三角形，可得这两条直线不一定互相平行，故①错;在空间中，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行或相交或异面，故②错;

若两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线互相平行或相交或异面，故③错;在空间中，若两条直线都与第三条直线平行，由公理4可得这两条直线互相平行，故④对.  故选：A

2．空间中有三条线段AB，BC，CD，且，那么直线AB与CD的位置关系是(　 　)

A．平行 B．异面

C．相交或平行 D．平行或异面或相交均有可能

【答案】D

【解析】

如图可知AB，CD有相交，平行，异面三种情况．  故选：D

3．下列命题中,正确的结论有(　 　)

①若果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,则这两个角相等;

②若两条相交直线和另两条相交直线分别平行,则这两组直线所成的锐角(或直角)相等;

③若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行.

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

【答案】B

【解析】　①中,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补,故①错误;②中,如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等,故②正确;③中,两条直线和第三条直线所成的角相等,这两条直线不一定平行,故③错.   故选:B.

4．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(　 　)

A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3

B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3

C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面

D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面

【答案】B

【解析】若l1⊥l2，l2⊥l3，则l1，l3有三种位置关系，可能平行、相交或异面，故A不对.虽然l1∥l2∥l3，或l1，l2，l3共点，但l1，l2，l3可能共面，也可能不共面，故C、D也不正确.  故选：B

5.已知直线a，b，c，下列三个命题：

①若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；

③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.其中，正确命题的个数是(　 　)

A．0　　 B．1　　

C．2　　 D．3

【答案】A

【解析】对于①，c与a可以相交；对于②，b和c可以异面；对于③，b与c可以相交，也可以异面.   故选：A

二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）

6．下列命题中,错误的结论有(　 　)

A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等

B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等

C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补

D.如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行

【答案】AC

【解析】这两个角相等或互补,选项A错误;由等角定理知选项B正确;在空间中,这样的两个角大小关系不确定,选项C错误;由基本事实4知选项D正确.   故选：AC

7．已知，，是空间中的三条相互不重合的直线，下列说法不正确是(　 　)

1. 若，，则；

B.若与相交，与相交，则与相交；

C.若平面，平面，则，一定是异面直线；

D.若，与成等角，则．

【答案】BCD

【解析】由公理4知A正确；当与相交，与相交时，与可能相交、平行，也可能异面，故B不正确；

当平面，平面时，与可能平行、相交或异面，故C不正确；当，与成等角时，与可能相交、平行，也可能异面，故D不正确． 故选：BCD

8．如图，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上除端点外的点，且＝＝λ，＝＝μ，则下列结论正确的是(　 　)

A.当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形；     B.当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形；

C.当λ＝μ＝时，四边形EFGH是平行四边形；   D.当λ＝μ≠时，四边形EFGH是梯形.

【答案】ABC

【解析】如图所示，连接BD.∵＝＝λ，∴EH∥BD，且EH＝λBD.同理，FG∥BD，且FG＝μBD.

∴EH∥FG.∴当λ＝μ时，EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形．∴AC正确，D错误．当λ≠μ时，EH≠FG，

∴四边形EFGH是梯形，∴B正确． 故选：ABC

三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）

9．已知，，，则　　　　　. 

【答案】或

【解析】的两边与的两边分别平行，根据等角定理易知或故答案为：或

10．已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，若＝＝，＝＝，则四边形EFGH形状为____.

【答案】梯形

【解析】如右图在△ABD中，∵＝＝，

∴EH∥BD且EH＝BD.

在△BCD中，∵＝＝，

∴FG∥BD且FG＝BD，∴EH∥FG且EH>FG，

∴四边形EFGH为梯形.   故答案为：梯形

11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若过A，C，B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与A1C1的位置关系是___.

【答案】l∥A1C1

【解析】∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，AC⊂平面ABCD，

∴AC∥平面A1B1C1D1．

又平面ACB1经过直线AC与平面A1B1C1D1相交于直线l，

∴AC∥l，又∵AC∥A1C1，∴l∥A1C1．    故答案为：l∥A1C1

四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

12．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AD，AB的中点，M，N分别为B1C1，C1D1的中点．

求证：(1)MC∥A1E，A1F∥CN；

(2)∠EA1F＝∠NCM.

【答案】答案见解析

【解析】 (1) 证明　如图，取A1D1的中点I，连接DI，MI，又M为B1C1的中点，

几何体ABCD－A1B1C1D1为正方体，

∴C1D1CD，MIC1D1，

根据基本事实4知CDMI，故四边形IDCM为平行四边形，∴MC∥ID，

又I，E分别为A1D1，AD的中点，∴A1IED，

∴四边形A1IDE为平行四边形，∴A1E∥ID.

故MC∥A1E.

同理可证A1F∥CN.

(2)由(1)知A1F∥CN，MC∥A1E，

又∠EA1F与∠NCM两边的方向均相反，

∴∠EA1F＝∠NCM.

13．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点.

求证：∠NMP＝∠BA1D.

【答案】答案见解析

【解析】如图，连接CB1、CD1，∵CDA1B1，

∴四边形A1B1CD是平行四边形，

∴A1D∥B1C.

∵M、N分别是CC1、B1C1的中点，∴MN∥B1C，

∴MN∥A1D.

∵BCA1D1，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1．

∵M、P分别是CC1、C1D1的中点，∴MP∥CD1，

∴MP∥A1B，

∴∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反，

∴∠NMP＝∠BA1D.

14．长方体AC1中，底面ABCD为边长为2的正方形，高AA1为1，M，N分别是边C1D1与A1D1的中点．

(1)求证：四边形MNAC是等腰梯形；

(2)求梯形MNAC的面积．

【答案】答案见解析

【解析】(1)证明：连接A1C1，则MN是△A1C1D1的中位线，

如图所示，则有MNA1C1.

又A1C1AC，∴MNAC.

∴M，N，A，C共面，且四边形MNAC为梯形．

∵Rt△AA1N≌Rt△CC1M，∴AN＝CM.

∴梯形MNAC为等腰梯形．

(2)由题意，得AN2＝A1A2＋A1N2＝1＋1＝2，

AC＝2，MN＝，

则梯形MNAC的高h＝ ＝，

∴S梯形MNAC＝(AC＋MN)×h＝.