人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直一课一练

第八章 立体几何初步

8.6.1直线与直线垂直(提升练）

一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）

1.若a是空间中的一条直线,则在平面α内一定存在直线b与直线a (　　)

A.平行            B.相交        C.垂直        D.异面

【答案】C

【解析】如图所示的正方体中,取平面α为平面ABCD,

直线a与平面α的位置关系有三种,

(1)取直线AB为a,在平面α内,显然存在直线BC⊥a,但不存在直线与a异面;

(2)取直线A1B1为a,在平面α内,显然存在直线BC⊥a,但不存在直线与a相交;

(3)取直线AA1为a,在平面α内,显然存在直线BC⊥a,但不存在直线与a平行.    故选:C.

2．如图，、分别是三棱锥的棱、的中点，，，，则异面直线与所成的角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】如图所示：取中点，连接，

因为、分别是棱、的中点，且为中点，所以且，所以且；所以异面直线与所成的角即为或其补角，则，所以，所以异面直线与所成的角即为的补角：.

3．如图，在正方体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】延长至点，使得，连接，

，四边形为平行四边形，

异面直线与所成角即为与所成角，即，

设正方体的棱长为，

，，

，

，

，

异面直线与所成角的余弦值为.故选：.

4．如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于 (　　)

A.30°          B.45°           C.60°           D.90°

【答案】C

【解析】如图,延长B1A1到E,使A1E=A1B1,连接AE,EC1,则AE∥A1B,

所以∠EAC1是异面直线BA1与AC1所成的角或其补角,

由已知条件可得△AEC1为正三角形,所以∠EAC1为60°,    故选:C.

5.已知四面体D-ABC中,AB,BC,BD两两垂直,且AB=BC=1,点E是AC的中点,异面直线AD与BE所成的角为θ,且cos θ=,则该四面体的体积为 (　　)

A.          B.          C.          D.

【答案】A

【解析】如图,取CD的中点F,连接BF、EF,

∵AB,BC,BD两两垂直,且AB=BC=1,∴CD=AD,又E、F分别为AC、CD的中点,

∴BF=DC,EF=DA,且EF∥AD,

∴∠FEB(或其补角)为异面直线AD与BE所成的角.

由题意得BE=,设BF=EF=a,在△BEF中,由余弦定理得a2=+a2-2××a×,解得a=,

∴DA=,在Rt△ADB中,可得DB=2,

∴四面体D-ABC的体积V=××1×1×2=.     故选:A.

二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）

6．如图所示,已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,l⊂平面A1B1C1D1,且l与B1C1不平行,则下列一定成立的是 (　　)

A.l与AD平行                            B.l与AB异面

C.l与CD所成的角为30°                   D.l与BD垂直

【答案】BCD

【解析】假设l∥AD,则由AD∥BC∥B1C1,可得l∥B1C1,这与“l与B1C1不平行”矛盾,所以l与AD不平行.易证B、C、D成立,   故选:BCD.

7．已知正方体中，E为的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值不可能为 (　　)

A.             B.             C.            D.

【答案】BCD

【解析】

连接DE，设AD=2，易知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，

在△RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3，∴cos∠DAE==．故选:BCD.

8.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点,则下列结论中成立的是 (　　)

A.EF与BB1垂直                  B.EF与BD垂直

C.EF与CD异面                  D.EF与A1C1异面

【答案】ABC

【解析】如图所示,连接A1B,易知点E为A1B的中点,由三角形中位线定理可得EF∥A1C1,所以EF,A1C1确定一个平面;显然EF与CD异面;连接B1D1,则A1C1⊥B1D1,易知BD∥B1D1,所以A1C1⊥BD,又知EF∥A1C1,所以EF⊥BD.故只有选项D中的结论不成立.故选:ABC.

三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）

9．已知长方体的高为，两个底面均为边长为的正方形．

则异面直线与所成角的大小为___________；

【答案】

【解析】由长方体的性质得：，  或其补角是异面直线与所成角．

连结，平面，   ，

在中，，，

，     ，即异面直线与所成角为.故答案为:

10．如图，已知三棱柱的各条棱长都相等，且底面，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角为________________

【答案】

【解析】

设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B2C2（如图）．
平移AB1至A2B，连接A2M，∠MBA2即为AB1与BM所成的角，
在△A2BM中， 

故答案为:

11.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，AB与CD成角大小为_______;AB与EF成角大小为____________

【答案】60°   90°

【解析】又，所以是与所成角，

又是等边三角形，则，所以与成60°角，

因为，又，所以与成90°角

故答案为：60°   90°．

四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

12．空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝，

EF＝3.

求证：AC⊥BD．

【解析】　∵点G，E分别是CD，BC的中点，

∴GE∥BD，同理GF∥AC．

∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角．

在△EFG中，∵FG＝2，GE＝，EF＝3，

满足FG2＋GE2＝EF2，

∴∠FGE＝90°.

即异面直线AC与BD所成的角是90°.∴AC⊥BD．

13．已知在底面为菱形的直四棱柱中， ，若，则求异面直线与所成的角

【答案】

【解析】连接，

四边形为菱形， ，.又为直角三角形， ，得，四边形为正方形.连接交于点 ，（或其补角)为异面直线与所成的角，由于为正方形， ，故异面直线与所成的角为.

14．如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D为AB的中点,点E在侧棱CC1上,DE∥平面AB1C1,

(1)证明:E是CC1的中点;

(2)设∠BAC=90°,四边形ABB1A1是边长为4的正方形,四边形ACC1A1为矩形,且异面直线DE与B1C1所成的角为30°,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.

【答案】(1)证明见解析；（2）32

【解析】　(1)证明:连接A1D、A1E,分别交AB1、AC1于M、N,连接MN.

∵DE∥平面AB1C1,DE⊂平面A1DE,平面A1DE∩平面AB1C1=MN,∴DE∥MN,

∵D为AB的中点,∴A1B1=AB=2AD.

由AD∥A1B1可得∠MAD=∠MB1A1,∠MDA=∠MA1B1,∴△ADM∽△B1A1M,

故A1M=2MD,∵DE∥MN,∴A1N=2NE.

同理可证得△A1NA∽△ENC1,∴CC1=AA1=2EC1,∴E是CC1的中点.

(2)取BB1的中点F,连接EF、DF,可知EF∥B1C1,

∴∠DEF即为异面直线DE与B1C1所成的角或其补角.

设AC=x,则DE=,DF=,EF=BC=,

在△DEF中,由余弦定理可得cos∠DEF==,解得x=4,

故=×4×4×4=32.