人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线第二课时学案

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[例1] (1)过点P(eq \r(7)，5)且与双曲线eq \f(x2,7)－eq \f(y2,25)＝1有且只有一个公共点的直线有几条？分别求出它们的方程；
(2)已知双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1上存在关于直线l：y＝kx＋4对称的两点A，B，求实数k的取值范围．
[解] (1)若直线的斜率不存在，则直线方程为x＝eq \r(7)，此时仅有一个交点(eq \r(7)，0)，满足条件．
若直线的斜率存在，设直线的方程为y－5＝k(x－eq \r(7))，则y＝kx＋5－eq \r(7)k，代入到双曲线方程，得
eq \f(x2,7)－eq \f(（kx＋5－\r(7)k）2,25)＝1，所以25x2－7(kx＋5－eq \r(7)k)2＝7×25，(25－7k2)x2－7×2kx(5－eq \r(7)k)－7(5－eq \r(7)k)2－7×25＝0.
当k＝eq \f(5\r(7),7)时，方程无解，不满足条件．
当k＝－eq \f(5\r(7),7)时，方程2×5eq \r(7)x×10＝875有一解，满足条件．
当k≠±eq \f(5\r(7),7)时，令Δ＝[14k(5－eq \r(7)k)]2－4(25－7k2)·[－7(5－eq \r(7)k)2－175]＝0，化简后知方程无解，所以不满足条件．
所以满足条件的直线有两条，直线方程分别为x＝eq \r(7)和y＝－eq \f(5\r(7),7)x＋10.
(2)当k＝0时，显然不成立．
当k≠0时，由l⊥AB，可设直线AB的方程为y＝－eq \f(1,k)x＋b，代入3x2－y2＝3中，得(3k2－1)x2＋2kbx－(b2＋3)k2＝0.
∴3k2－1≠0，Δ＝(2kb)2－4(3k2－1)[－(b2＋3)k2]>0，
即k2b2＋3k2－1>0，①
设AB的中点M(x0，y0)，由根与系数的关系，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝\f(－kb,3k2－1)，,y0＝\f(3k2b,3k2－1).))
∵点M(x0，y0)在直线l上，∴eq \f(3k2b,3k2－1)＝eq \f(－k2b,3k2－1)＋4，
即k2b＝3k2－1.②
把②代入①得k2b2＋k2b>0，解得b>0或b0或eq \f(3k2－1,k2)eq \f(\r(3),3)或|k|0，b>0)与直线y＝2x无交点，则离心率e的取值范围是( )
A．(1，2) B．(1，2]
C．(1，eq \r(5)) D．(1，eq \r(5)]
解析：选D 由题意可得，eq \f(b,a)≤2，所以e＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))\s\up12(2))≤eq \r(5).又e>1，所以离心率e的取值范围是(1，eq \r(5)].
[例2] 直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点．
(1)求线段AB的长；
(2)当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？
[解] 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝ax＋1，,3x2－y2＝1，))得(3－a2)x2－2ax－2＝0.
由题意可得3－a2≠0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(2a,3－a2)，x1x2＝eq \f(－2,3－a2).
(1)|AB|＝eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)
＝eq \r(（1＋a2）[（x1＋x2）2－4x1x2])
＝eq \r(（1＋a2）\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a,3－a2)))\s\up12(2)＋\f(8,3－a2))))＝eq \f(2\r(（1＋a2）（6－a2）),|3－a2|).
(2)记坐标原点为O，由题意知，OA⊥OB，则eq \(OA,\s\up6(―→))·eq \(OB,\s\up6(―→))＝0，即x1x2＋y1y2＝0，
∴x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0.
即(1＋a2)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0，
∴(1＋a2)·eq \f(－2,3－a2)＋a·eq \f(2a,3－a2)＋1＝0，
解得a＝±1.
经检验，a＝±1时，以AB为直径的圆经过坐标原点．
eq \a\vs4\al()
处理直线与双曲线交点及弦长的有关问题时，常用到根与系数的关系．直线l：y＝kx＋m(k≠0)与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)相交于两个不同的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB的长为|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq \r(1＋k2)·|x1－x2|或|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))·eq \r(（y1＋y2）2－4y1y2)＝eq \r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|.另外需注意，当直线经过双曲线的焦点且斜率不存在时，不能利用弦长公式求解，此时的弦是双曲线的通径，可以直接利用通径公式求解．
[跟踪训练]
斜率为2的直线l与双曲线eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)＝1相交于A，B两点，且|AB|＝4，则直线l的方程为________．
解析：设直线l的方程为y＝2x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
把y＝2x＋m代入双曲线的方程2x2－3y2－6＝0，
得10x2＋12mx＋3m2＋6＝0.
故x1＋x2＝－eq \f(6,5)m，①
x1x2＝eq \f(3m2＋6,10).②
由已知，得|AB|2＝(1＋4)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝16.③
把①②代入③，解得m＝±eq \f(\r(210),3).
∴直线l的方程为y＝2x±eq \f(\r(210),3).
答案：y＝2x±eq \f(\r(210),3)
[例3] 设双曲线C：eq \f(x2,a2)－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B.
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；
(2)设直线l与y轴的交点为P，且eq \(PA,\s\up6(―→))＝eq \f(5,12)eq \(PB,\s\up6(―→))，求a的值．
[解] (1)将y＝－x＋1代入双曲线方程eq \f(x2,a2)－y2＝1中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，①
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－a2≠0，,4a4＋8a2（1－a2）>0，))解得0\f(\r(6),2)且e≠\r(2))))).
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知P(0，1)．
∵eq \(PA,\s\up6(―→))＝eq \f(5,12)eq \(PB,\s\up6(―→))，∴(x1，y1－1)＝eq \f(5,12)(x2，y2－1)．
由此得x1＝eq \f(5,12)x2，
由于x1，x2都是方程①的根，且1－a2≠0，
∴eq \f(17,12)x2＝－eq \f(2a2,1－a2)，eq \f(5,12)xeq \\al(2,2)＝－eq \f(2a2,1－a2).
消去x2，得－eq \f(2a2,1－a2)＝eq \f(289,60)，由a>0得a＝eq \f(17,13).
eq \a\vs4\al()
双曲线的综合问题最终仍体现在直线与双曲线、轨迹、向量的应用及参数范围的探求上．设而不求，消参是解决这类问题常用的方法，在解题时，应有意识地运用这些方法，达到熟练掌握的程度．
[跟踪训练]
已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(eq \r(3)，0)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．
解：(1)设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．
由已知，得a＝eq \r(3)，c＝2.
由a2＋b2＝c2，得b2＝1.
故双曲线C的方程为eq \f(x2,3)－y2＝1.
(2)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,3)－y2＝1，))得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0.
∵直线与双曲线有两个不同的交点，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－3k2≠0，,Δ＝12（m2＋1－3k2）>0，))
可得m2>3k2－1且k2≠eq \f(1,3).①
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为B(x0，y0)．
则x1＋x2＝eq \f(6km,1－3k2)，x0＝eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(3km,1－3k2)，
y0＝kx0＋m＝eq \f(m,1－3k2).
由题意，知AB⊥MN，
∴kAB＝eq \f(\f(m,1－3k2)＋1,\f(3km,1－3k2))＝－eq \f(1,k)(k≠0，m≠0)，
整理得3k2＝4m＋1.②
将②代入①，得m2－4m>0，∴m4.
又∵3k2＝4m＋1>0(k≠0)，∴m>－eq \f(1,4)，
∴m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0))∪(4，＋∞)
1．已知双曲线方程为x2－eq \f(y2,4)＝1，过点P(1，0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l共有( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
解析：选B 因为双曲线方程为x2－eq \f(y2,4)＝1，则P(1，0)是双曲线的右顶点，所以过P(1，0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外两条就是过P(1，0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的有3条．
2．若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为( )
A．(－2，2) B．[－2，2)
C．(－2，2] D．[－2，2]
解析：选A 易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由Δ>0可得－20.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，
所以线段AB的中点坐标为(m，2m)．
又点(m，2m)在x2＋y2＝5上，
所以m2＋(2m)2＝5，得m＝±1.
答案：±1
直线与双曲线位置关系的判断及求参
交点及弦长问题
直线与双曲线及其他知识的综合问题