人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线第一课时导学案及答案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线第一课时导学案及答案，共8页。

凉水塔的纵切面是双曲线，双曲线是非常优美的曲线，也是我们在生产生活中经常用到的曲线，因此，我们有必要探究其有怎样的特性．
[问题] 你能否类比椭圆的几何性质去猜想双曲线有哪些几何性质呢？



知识点一 双曲线的几何性质
知识点二 等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线方程为y＝±x．
1．椭圆与双曲线的离心率都是e，其范围一样吗？
提示：不一样，椭圆的离心率00时，焦点在x轴上，当λ0，b>0)．
由题意知2b＝12，eq \f(c,a)＝eq \f(5,4)且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8，
∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,64)－eq \f(y2,36)＝1或eq \f(y2,64)－eq \f(x2,36)＝1.
(2)∵e＝eq \f(c,a)＝eq \r(2)，∴c＝eq \r(2)a，b2＝c2－a2＝a2.
又∵焦点在x轴上，
∴设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,a2)＝1(a>0)．
把点(－5，3)代入方程，解得a2＝16.
∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,16)＝1.
(3)设以y＝±eq \f(3,2)x为渐近线的双曲线方程为
eq \f(x2,4)－eq \f(y2,9)＝λ(λ≠0)，
当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2eq \r(4λ)＝6⇒λ＝eq \f(9,4).
当λa，所以e＝eq \f(c,a)>2.
答案：(2，＋∞)
2．过双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．
解析：如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为eq \f(b,a)，又直线l过右焦点F(c，0)，则直线l的方程为y＝eq \f(b,a)(x－c)．因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得eq \f(4a2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，化简得y＝－eq \r(3)b或y＝eq \r(3)b(点P在x轴下方，故舍去)，故点P的坐标为(2a，－eq \r(3)b)，代入直线方程得－eq \r(3)b＝eq \f(b,a)(2a－c)，化简可得离心率e＝eq \f(c,a)＝2＋eq \r(3).
答案：2＋eq \r(3)
1．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5，3)，则双曲线方程为( )
A.eq \f(x2,25)－eq \f(y2,25)＝1 B.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,9)＝1
C.eq \f(y2,16)－eq \f(x2,16)＝1 D.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,16)＝1
解析：选D 由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5，3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，即eq \f(x2,16)－eq \f(y2,16)＝1.
2．(2020·全国卷Ⅲ)设双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝eq \r(2)x，则C的离心率为________．
解析：由双曲线的一条渐近线为y＝eq \r(2)x可知，eq \f(b,a)＝eq \r(2)，即b＝eq \r(2)a.在双曲线中，c2＝a2＋b2，所以c2＝3a2，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3).
答案：eq \r(3)
3．求双曲线4y2－9x2＝－4的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的草图．
解：将双曲线方程化成标准方程eq \f(x2,\f(4,9))－eq \f(y2,1)＝1，可知实半轴长a＝eq \r(\f(4,9))＝eq \f(2,3)，虚半轴长b＝eq \r(1)＝1.于是有c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(\f(4,9)＋1)＝eq \f(\r(13),3)，所以焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(13),3)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(13),3)，0))，离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(13),2)，渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，即y＝±eq \f(3,2)x.
为画出双曲线的草图，首先在坐标系中画出渐近线y＝±eq \f(3,2)x，顶点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，0))，结合两渐近线可画出第一、四象限的曲线，再根据对称性可得该双曲线的草图，如图所示．
新课程标准解读
核心素养
1.了解双曲线的几何图形及简单几何性质
数学抽象、直观想象
2.通过双曲线的方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解双曲线的简单应用
直观想象、数学运算
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图形
性质
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≤－a或 x≥a，y∈eq \a\vs4\al(R)
y≤－a或 y≥a，x∈eq \a\vs4\al(R)
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：eq \a\vs4\al(2a)；
虚轴：线段B1B2，长：eq \a\vs4\al(2b)；
实半轴长：eq \a\vs4\al(a)，虚半轴长：eq \a\vs4\al(b)
离心率
e＝eq \a\vs4\al(\f(c,a))∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
双曲线的几何性质
由双曲线的几何性质求标准方程
双曲线的离心率