高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线学案，共9页。

把一根直尺固定在图板上直线l的位置，把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘，再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角顶点C的长(即点A到直线l的距离)，并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F.用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺，然后将三角尺沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线．
[问题] 你能画出该曲线并说明该曲线具有哪些性质吗？



知识点一 抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
eq \a\vs4\al()
1．抛物线的定义实质可以归结为“一动二定一相等”：“一动”即一个动点，设为M；“二定”包括一个定点F，即抛物线的焦点，和一条定直线l，即抛物线的准线；一相等，即|MF|＝d(d为M到准线l的距离)．
2．定义中要注意强调定点F不在定直线l上．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线．
1．若动点P到点(3，0)的距离和它到直线x＝－3的距离相等，则动点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．抛物线
C．直线 D．双曲线
答案：B
2．平面内到点A(2，3)和直线l：x＋2y－8＝0距离相等的点的轨迹是( )
A．直线 B．抛物线
C．椭圆 D．圆
解析：选A A∈l，轨迹为过A且与l垂直的一条直线．
知识点二 抛物线标准方程的几种形式
eq \a\vs4\al()
四个标准方程的区分
焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向．
1．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是( )
A．开口向上，焦点为(0，1)
B．开口向上，焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,16)))
C．开口向右，焦点为(1，0)
D．开口向右，焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,16)))
答案：B
2．若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为( )
A．(8，8) B．(8，－8)
C．(8，±8) D．(－8，±8)
答案：C
3．已知动点P到定点(0，2)的距离和它到直线l：y＝－2的距离相等，则点P的轨迹方程为________．
答案：x2＝8y
[例1] (链接教科书第132页例1)求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点M(－6，6)；
(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．
[解] (1)由于点M(－6，6)在第二象限，
∴过M的抛物线开口向左或开口向上．
若抛物线开口向左，焦点在x轴上，
设其方程为y2＝－2px(p>0)，
将点M(－6，6)代入，可得36＝－2p×(－6)，
∴p＝3.∴抛物线的方程为y2＝－6x.
若抛物线开口向上，焦点在y轴上，
设其方程为x2＝2py(p>0)，
将点M(－6，6)代入可得，36＝2p×6，
∴p＝3，∴抛物线的方程为x2＝6y.
综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y.
(2)①∵直线l与x轴的交点为(2，0)，
∴抛物线的焦点是F(2，0)，∴eq \f(p,2)＝2，∴p＝4，
∴抛物线的标准方程是y2＝8x.
②∵直线l与y轴的交点为(0，－3)，
即抛物线的焦点是F(0，－3)，
∴eq \f(p,2)＝3，∴p＝6，
∴抛物线的标准方程是x2＝－12y.
综上所述，所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y.
eq \a\vs4\al()
求抛物线的标准方程的方法
[注意] 当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程．
[跟踪训练]
1．抛物线2y2－5x＝0的焦点坐标为________，准线方程为________．
解析：将2y2－5x＝0变形为y2＝eq \f(5,2)x，
∴2p＝eq \f(5,2)，p＝eq \f(5,4)，
∴焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8)，0))，
准线方程为x＝－eq \f(5,8).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8)，0)) x＝－eq \f(5,8)
2．抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5，求抛物线的标准方程．
解：设所求焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y2＝2ax(a≠0)，点A(m，－3)．
由抛物线的定义得|AF|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(m＋\f(a,2)))＝5，
又(－3)2＝2am，∴a＝±1或a＝±9.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
[例2] (1)(2020·全国卷Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝( )
A．2 B．3
C．6 D．9
(2)若位于y轴右侧的动点M到Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))的距离比它到y轴的距离大eq \f(1,2).求点M的轨迹方程．
(1)[解析] 法一：因为点A到y轴的距离为9，所以可设点A(9，yA)，所以yeq \\al(2,A)＝18p.又点A到焦点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的距离为12，所以 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(9－\f(p,2)))\s\up12(2)＋yeq \\al(2,A))＝12，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(9－\f(p,2)))eq \s\up12(2)＋18p＝122，即p2＋36p－252＝0，解得p＝－42(舍去)或p＝6.故选C.
法二：根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准线x＝－eq \f(p,2)的距离为12，因为点A到y轴的距离为9，所以eq \f(p,2)＝12－9，解得p＝6.故选C.
[答案] C
(2)[解] 由于位于y轴右侧的动点M到Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))的距离比它到y轴的距离大eq \f(1,2)，
所以动点M到Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))的距离与它到直线l：x＝－eq \f(1,2)的距离相等．
由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，
其方程应为y2＝2px(p>0)的形式，
而eq \f(p,2)＝eq \f(1,2)，所以p＝1，2p＝2，
故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)．
[母题探究]
(变设问)若本例(2)中点M所在轨迹上一点N到点F的距离为2，求点N的坐标．
解：设点N的坐标为(x0，y0)，则|NF|＝2.又点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)，所以由抛物线的定义得x0＋eq \f(1,2)＝2，解得x0＝eq \f(3,2).因为yeq \\al(2,0)＝2x0，所以y0＝±eq \r(3)，故点N的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\r(3)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\r(3))).
eq \a\vs4\al()
抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题；
(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
[例3] (链接教科书第132页例2)某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米．若不考虑水下深度， 问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？
[解] 如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立直角坐标系．
因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以A(10，－2)．
设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p>0)，
则102＝－2p×(－2)，所以p＝25，
所以抛物线方程为x2＝－50y，即y＝－eq \f(1,50)x2.
若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x＝8时，
y＝－eq \f(1,50)×82＝－1.28，
即船体在x＝±8之间通过点B(8，－1.28)，此时B点距水面6＋(－1.28)＝4.72(米)．
而船体高为5米，所以无法通行．
又因为5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7，
150×7＝1 050(吨)，
所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．
eq \a\vs4\al()
求抛物线实际应用的五个步骤

[跟踪训练]
汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线，灯口直径为197 mm，反光曲面的顶点到灯口的距离是69 mm.由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线．为了获得平行光线，应怎样安装灯泡？(精确到1 mm)
解：如图，在车灯的一个轴截面上建立平面直角坐标系，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，灯泡应安装在其焦点F处．在x轴上取一点C，使|OC|＝69 mm，过点C作x轴的垂线，交抛物线于A，B两点，线段AB就是灯口的直径，即|AB|＝197 mm，则点A的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(69，\f(197,2))).
将点A的坐标代入方程y2＝2px(p>0)，解得p≈70，此时焦点F的坐标约为(35，0)．
因此，灯泡应安装在对称轴上距顶点约35 mm处．
圆锥曲线的共性探究
(链接教科书第113页例6)动点M(x，y)与定点F(4，0)的距离和M到定直线l：x＝eq \f(25,4)的距离的比是常数eq \f(4,5)，求动点M的轨迹．
(链接教科书第125页例5)动点M(x，y)与定点F(4，0)的距离和它到定直线l：x＝eq \f(9,4)的距离的比是常数eq \f(4,3)，求动点M的轨迹．
(链接教科书第130页)抛物线的定义．
[问题探究]
由上述教科书中两道典型例题结合抛物线的定义可知，三种曲线都是动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比是一个常数．当这个常数大于0且小于1时，动点轨迹为椭圆；当常数等于1时为抛物线；当常数大于1时为双曲线．
结论：动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为一个常数，即eq \f(|MF|,|MH|)＝e.
(1)当0＜e＜1时，动点M的轨迹是椭圆；
(2)当e＝1时，动点M的轨迹是抛物线；
(3)当e＞1时，动点M的轨迹是双曲线．此时定点F为圆锥曲线的一个焦点，定直线l叫做圆锥曲线对应该焦点F的一条准线x＝eq \f(a2,c)，常数e就是该圆锥曲线的离心率，此结论称为圆锥曲线的统一定义(也称为第二定义)．
[迁移应用]
(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C：eq \f(x2,2)＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0)．
(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
(2)设O为坐标原点，证明∠OMA＝∠OMB.
解：(1)由已知得F(1，0)，直线l的方程为x＝1，点A的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(2),2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(\r(2),2)))，又M(2，0)，∴AM的方程为y＝－eq \f(\r(2),2) x＋eq \r(2)或y＝eq \f(\r(2),2)x－eq \r(2).
(2)证明：由eq \f(x2,2)＋y2＝1结合圆锥曲线的统一定义可知，M点为椭圆的右准线x＝2与x轴的交点，如图所示．
当直线l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°，
当l与x轴不重合时，过点A，B分别作x＝2的垂线，垂足分别是C，D，则有AC∥BD∥x轴．
由结论可知eq \f(|AF|,|AC|)＝e，eq \f(|BF|,|BD|)＝e，
∴eq \f(|AF|,|AC|)＝eq \f(|BF|,|BD|)即eq \f(|AF|,|BF|)＝eq \f(|AC|,|BD|)，
又∵AC∥BD∥x轴，∴eq \f(|AF|,|BF|)＝eq \f(|CM|,|DM|)，∴eq \f(|AC|,|BD|)＝eq \f(|CM|,|DM|)，且∠ACM＝∠BDM＝90°，
∴△ACM∽△BDM，可得∠AMC＝∠BMD，
∴∠OMA＝∠OMB.
1．经过点(2，4)的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝8x B．x2＝y
C．y2＝8x或x2＝y D．无法确定
解析：选C 由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝2py(p＞0)，将(2，4)代入可得p＝4或p＝eq \f(1,2)，所以所求抛物线的标准方程为y2＝8x或x2＝y，故选C.
2．如果抛物线y2＝2px的准线是直线x＝－2，那么它的焦点坐标为________．
解析：因为准线方程为x＝－2＝－eq \f(p,2)，即p＝4，所以焦点为(2，0)．
答案：(2，0)
3．若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，且点M到焦点的距离为10，求点M的坐标．
解：由抛物线方程y2＝－2px(p＞0)，得焦点坐标为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))，准线方程为x＝eq \f(p,2).设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即eq \f(p,2)－(－9)＝10，解得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.设点M的纵坐标为y0，由点M(－9，y0)在抛物线上，得y0＝±6，故点M的坐标为(－9，6)或(－9，－6)．
新课程标准解读
核心素养
1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用
数学抽象
2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程
直观想象
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
x＝－eq \f(p,2)
y2＝－2px(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
x＝eq \f(p,2)
x2＝2py(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
y＝－eq \f(p,2)
x2＝－2py(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
y＝eq \f(p,2)
抛物线的标准方程
定义法
根据定义求p，最后写标准方程
待定系数法
设标准方程，列有关的方程组求系数
直接法
建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程
抛物线定义的应用
抛物线的实际应用