高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线第二课时学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线第二课时学案及答案，共9页。
[例1] 设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系Oxy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))的距离比点P到x轴的距离大eq \f(1,2).
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2eq \r(6)，求实数k的值．
[解] (1)过点P作x轴的垂线垂足为点N，则|PN|＝y，由题意知|PM|－|PN|＝eq \f(1,2)，
∴ eq \r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,2)))\s\up12(2))＝y＋eq \f(1,2)，化简得x2＝2y.故点P的轨迹方程为x2＝2y.
(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,x2＝2y，))消去y化简得x2－2kx－2＝0，
∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.
∵|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq \r(1＋k2)·eq \r(4k2＋8)＝2eq \r(6)，
∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.
eq \a\vs4\al()
求与抛物线有关的轨迹的方法及步骤
(1)方法：直接法、定义法、代入法(相关点法)及参数法；
(2)步骤：①建系——建立适当的坐标系；
②设点——设轨迹上的任一点P(x，y)；
③列式——列出动点P所满足的关系式；
④代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简；
⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．
[跟踪训练]
1．若动点P与定点F(1，1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．直线
解析：选D 法一：设动点P的坐标为(x，y)．则eq \r(（x－1）2＋（y－1）2)＝eq \f(|3x＋y－4|,\r(10)).整理，得x2＋9y2＋4x－12y－6xy＋4＝0，
即(x－3y＋2)2＝0，∴x－3y＋2＝0.
所以动点P的轨迹为直线．
法二：显然定点F(1，1)在直线l：3x＋y－4＝0上，则与定点F和直线l距离相等的动点P的轨迹是过F点且与直线l垂直的一条直线．
2．若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程．
解：设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得定圆圆心为C(2，0)，半径r＝1.
因为两圆外切，所以|MC|＝R＋1.
又动圆M与已知直线x＋1＝0相切，
所以圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R.
所以|MC|＝d＋1.
即动点M到定点C(2，0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离．
由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x＋2＝0为准线的抛物线，且eq \f(p,2)＝2，p＝4，
故其方程为y2＝8x.
角度一 定点问题
[例2] 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(1，0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线OA，OB的斜率之积为－eq \f(1,2)，求证：直线AB过定点．
[解] (1)因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1，0)，所以eq \f(p,2)＝1，所以p＝2.
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)证明：①当直线AB的斜率不存在时，
设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t2,4)，t))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t2,4)，－t))，
因为直线OA，OB的斜率之积为－eq \f(1,2)，
所以eq \f(t,\f(t2,4))·eq \f(－t,\f(t2,4))＝－eq \f(1,2)，化简得t2＝32.
所以A(8，t)，B(8，－t)，此时直线AB的方程为x＝8.
②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋b(k≠0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，
联立方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,y＝kx＋b，))消去x化简得ky2－4y＋4b＝0.
根据根与系数的关系得yAyB＝eq \f(4b,k)，
因为直线OA，OB的斜率之积为－eq \f(1,2)，
所以eq \f(yA,xA)·eq \f(yB,xB)＝－eq \f(1,2)，
即xAxB＋2yAyB＝0，
即eq \f(yeq \\al(2,A),4)·eq \f(yeq \\al(2,B),4)＋2yAyB＝0，
解得yAyB＝0(舍去)或yAyB＝－32，
所以yAyB＝eq \f(4b,k)＝－32，即b＝－8k，
所以y＝kx－8k，即y＝k(x－8)，
综上所述，直线AB过x轴上一定点(8，0)．
eq \a\vs4\al()
求与抛物线有关的定点问题的步骤

角度二 定值问题
[例3] 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，过点(2，0)的直线l与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点，且eq \(OA,\s\up6(―→))·eq \(OB,\s\up6(―→))＝2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)点M坐标为(－2，0)，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，求证：eq \f(1,k1)＋eq \f(1,k2)为定值．
[解] (1)设l的方程为x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝my＋2，,y2＝2px，))得eq \f(y2,2p)－my－2＝0.
所以y1＋y2＝2pm，y1y2＝－4p.
所以eq \(OA,\s\up6(―→))·eq \(OB,\s\up6(―→))＝x1x2＋y1y2＝eq \f(yeq \\al(2,1),2p)·eq \f(yeq \\al(2,2),2p)＋y1y2＝4－4p＝2，
所以p＝eq \f(1,2)，
所以抛物线C的方程为y2＝x.
(2)证明：因为M坐标为(－2，0)，
所以eq \f(1,k1)＋eq \f(1,k2)＝eq \f(x1＋2,y1)＋eq \f(x2＋2,y2)
＝eq \f(x1y2＋x2y1＋2（y1＋y2）,y1y2)
＝eq \f(yeq \\al(2,1)y2＋yeq \\al(2,2)y1＋2（y1＋y2）,y1y2)
＝eq \f(（y1y2＋2）（y1＋y2）,y1y2)，
由(1)可得y1＋y2＝m，y1y2＝－2，
所以eq \f(1,k1)＋eq \f(1,k2)＝0为定值．
eq \a\vs4\al()
求与抛物线有关的定值问题的步骤

[跟踪训练]
1．已知抛物线y2＝－8x的顶点为O，点A，B在抛物线上，且OA⊥OB，求证：直线AB经过一个定点．
证明：设直线OA的斜率为k，则直线OB的斜率为－eq \f(1,k)，直线OA的方程为y＝kx，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx，,y2＝－8x，))得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,k2)，－\f(8,k)))，
同理可得B(－8k2，8k)，于是直线AB的方程为y－8k＝eq \f(\f(8,k)＋8k,\f(8,k2)－8k2)·(x＋8k2)，整理可得y＝eq \f(k,1－k2)(x＋8)，因此直线AB经过定点(－8，0)．
2.如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点P(2，0)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N.
(1)求y1y2的值；
(2)连接MN，记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，证明：eq \f(k1,k2)为定值．
解：(1)依题意，设AB的方程为x＝my＋2，
代入y2＝4x，得y2－4my－8＝0，从而y1y2＝－8.
(2)证明：设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
eq \f(k1,k2)＝eq \f(y3－y4,x3－x4)×eq \f(x1－x2,y1－y2)＝eq \f(y3－y4,\f(yeq \\al(2,3),4)－\f(yeq \\al(2,4),4))×eq \f(\f(yeq \\al(2,1),4)－\f(yeq \\al(2,2),4),y1－y2)＝eq \f(y1＋y2,y3＋y4)，
设直线AM的方程为x＝ny＋1，
代入y2＝4x，消去x得y2－4ny－4＝0，
所以y1y3＝－4，同理y2y4＝－4，
eq \f(k1,k2)＝eq \f(y1＋y2,y3＋y4)＝eq \f(y1＋y2,\f(－4,y1)＋\f(－4,y2))＝eq \f(y1y2,－4)，
由(1)知y1y2＝－8，所以eq \f(k1,k2)＝2为定值.
角度一 最值问题
[例4] 如图，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积．
[解] 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2x－4，,y2＝4x，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝4))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－2.))
由题图可知，A(4，4)，B(1，－2)，则|AB|＝3eq \r(5).
设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，则d＝eq \f(|2x0－y0－4|,\r(5))＝eq \f(1,\r(5))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(yeq \\al(2,0),2)－y0－4))＝eq \f(1,2\r(5))|(y0－1)2－9|.
∵－2