高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线学案，共11页。

如图，取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在拉链的拉手M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这条曲线就是双曲线的其中一支．
[问题] 类比椭圆，你认为该情境中的曲线上的点应满足怎样的几何条件？





知识点一 双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
eq \a\vs4\al()
对双曲线定义中限制条件的理解
(1)当||MF1|－|MF2||＝2a>|F1F2|时，M的轨迹不存在；
(2)当||MF1|－|MF2||＝2a＝|F1F2|时，M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线；
(3)当||MF1|－|MF2||＝0，即|MF1|＝|MF2|时，M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线；
(4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支．
1．已知双曲线的焦点为F1(－4，0)，F2(4，0)，双曲线上一点P满足||PF1|－|PF2||＝2，则双曲线的标准方程是________．
解析：由题知c＝4，a＝1，故b2＝15，所以双曲线的标准方程为x2－eq \f(y2,15)＝1.
答案：x2－eq \f(y2,15)＝1
2．设点P是双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1上任意一点，F1，F2分别是左、右焦点，若|PF1|＝10，则|PF2|＝________．
解析：由双曲线方程，得a＝3，b＝4，c＝5.当点P在双曲线的左支上时，由双曲线定义，得|PF2|－|PF1|＝6，
所以|PF2|＝|PF1|＋6＝10＋6＝16；
当点P在双曲线的右支上时，由双曲线定义，得|PF1|－|PF2|＝6，
所以|PF2|＝|PF1|－6＝10－6＝4.
故|PF2|＝4或|PF2|＝16.
答案：4或16
知识点二 双曲线的标准方程
eq \a\vs4\al()
巧记双曲线焦点位置与方程的关系
焦点跟着正项走，即若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)方程eq \f(x2,a)－eq \f(y2,b)＝1表示双曲线．( )
(2)双曲线两焦点之间的距离称为焦距．( )
(3)若焦点在x轴上的双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，则a2＞b2.( )
(4)双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值为定值．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
2．已知双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1，则双曲线的焦点坐标为( )
A．(－eq \r(7)，0)，(eq \r(7)，0)
B．(－5，0)，(5，0)
C．(0，－5)，(0，5)
D．(0，－eq \r(7))，(0，eq \r(7))
答案：B
3．双曲线的两焦点坐标是F1(0，3)，F2(0，－3)，b＝2，则双曲线的标准方程是________．
答案：eq \f(y2,5)－eq \f(x2,4)＝1
[例1] (链接教科书第121页练习3题)已知方程eq \f(x2,k－5)－eq \f(y2,|k|－2)＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是( )
A．k>5 B．k>5或－2