高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆第一课时导学案

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“天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的，椭圆在我们的生活中经常出现．
[问题] 你知道椭圆有什么样的性质吗？




知识点 椭圆的简单几何性质
1．能用a，b表示椭圆离心率e吗？
提示：能．e＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))\s\up12(2)).
2．椭圆的离心率e越小，椭圆越圆吗？
提示：越圆．
3．椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？
提示：短轴端点B1和B2到中心O的距离最近；长轴端点A1和A2到中心O的距离最远．
1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A．5，3，eq \f(4,5) B．10，6，eq \f(4,5)
C．5，3，eq \f(3,5) D．10，6，eq \f(3,5)
答案：B
2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于eq \f(1,2)，则C的方程是( )
A.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,\r(3))＝1
C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
答案：D
3．若焦点在y轴上的椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,2)＝1的离心率为eq \f(1,2)，则m的值为________．
答案：eq \f(3,2)
[例1] (链接教科书第112页例4)求椭圆x2＋9y2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．
[解] 把已知方程化成标准方程为eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,9)＝1，于是a＝9，b＝3，c＝eq \r(81－9)＝6eq \r(2)，
所以椭圆的长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2\r(2),3).
两个焦点的坐标分别为F1(－6eq \r(2)，0)，F2(6eq \r(2)，0)，四个顶点的坐标分别为A1(－9，0)，A2(9，0)，B1(0，－3)，B2(0，3)．
eq \a\vs4\al()
用标准方程研究几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式；
(2)确定焦点位置；
(3)求出a，b，c；
(4)写出椭圆的几何性质．
[注意] 长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．
[跟踪训练]
已知椭圆C1：eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．
解：(1)由椭圆C1：eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6，0)，(－6，0)，离心率e＝eq \f(3,5).
(2)椭圆C2：eq \f(y2,100)＋eq \f(x2,64)＝1，
性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；
②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；
③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)；
④焦点：(0，6)，(0，－6)；
⑤离心率：e＝eq \f(3,5).
[例2] (链接教科书第112页练习3题)求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长是10，离心率是eq \f(4,5)；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
[解] (1)设椭圆的方程为
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)或eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．
由已知得2a＝10，a＝5.
又∵e＝eq \f(c,a)＝eq \f(4,5)，∴c＝4.
∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1.
(2)依题意可设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
则c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的方程为eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1.
eq \a\vs4\al()
利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
(1)确定焦点位置；
(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝eq \f(c,a)等．
[跟踪训练]
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)过点(3，0)，离心率e＝eq \f(\r(6),3)；
(2)过点M(1，2)，且与椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝1有相同离心率．
解：(1)当椭圆的焦点在x轴上时，
设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
由题意，得a＝3，
因为e＝eq \f(\r(6),3)，所以c＝eq \r(6)，从而b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，
设椭圆的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)，
由题意，得b＝3，
因为e＝eq \f(\r(6),3)，所以eq \f(\r(a2－b2),a)＝eq \f(\r(6),3)，
把b＝3代入，得a2＝27，
所以椭圆的标准方程为eq \f(y2,27)＋eq \f(x2,9)＝1.
综上可知，所求椭圆的标准方程为
eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1或eq \f(y2,27)＋eq \f(x2,9)＝1.
(2)设所求椭圆方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝k1(k1>0)或eq \f(y2,12)＋eq \f(x2,6)＝k2(k2>0)，
将点M的坐标代入可得eq \f(1,12)＋eq \f(4,6)＝k1或eq \f(4,12)＋eq \f(1,6)＝k2，
解得k1＝eq \f(3,4)，k2＝eq \f(1,2)，故eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝eq \f(3,4)或eq \f(y2,12)＋eq \f(x2,6)＝eq \f(1,2)，
即所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,\f(9,2))＝1或eq \f(y2,6)＋eq \f(x2,3)＝1.
[例3] (1)若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(\r(3),4) D.eq \f(\r(6),4)
(2)已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为________．
[解析] (1)如图，△BF1F2是正三角形，
∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，
∴cs 60°＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，即椭圆的离心率e＝eq \f(1,2)，故选A.
(2)依题意可得2c≥2b，即c≥b.
所以c2≥b2，从而c2≥a2－c2，
即2c2≥a2，e2＝eq \f(c2,a2)≥eq \f(1,2)，所以e≥eq \f(\r(2),2).
又因为0所以椭圆离心率的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)).
[答案] (1)A (2)eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
eq \a\vs4\al()
求椭圆离心率及范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq \f(c,a)求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝eq \f(c,a)求解；
(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
[跟踪训练]
1．若椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2)，0))分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为( )
A.eq \f(16,17) B.eq \f(4\r(17),17)
C.eq \f(4,5) D.eq \f(2\r(5),5)
解析：选D 依题意得eq \f(c＋\f(b,2),c－\f(b,2))＝eq \f(5,3)，∴c＝2b，∴a＝eq \r(b2＋c2)＝eq \r(5)b，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2b,\r(5)b)＝eq \f(2\r(5),5).故选D.
2．若一个椭圆长轴的长度与焦距的和等于短轴长的2倍，则该椭圆的离心率是( )
A.eq \f(4,5) B.eq \f(3,5)
C.eq \f(2,5) D.eq \f(1,5)
解析：选B 由题意可得4b＝2a＋2c，平方得4b2＝(a＋c)2，∴4(a2－c2)＝a2＋2ac＋c2，3a2－2ac－5c2＝0，5e2＋2e－3＝0，解得e＝eq \f(3,5)(负值舍去)．
1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为( )
A．(±10，0) B．(±eq \r(69)，0)
C．(0，±13) D．(0，±eq \r(69))
解析：选D 由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(69)，故焦点坐标为(0，±eq \r(69))．
2．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P，若eq \(AP,\s\up6(―→))＝2eq \(PB,\s\up6(―→))，则椭圆的离心率是( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,2)
解析：选D 如图，∵eq \(AP,\s\up6(―→))＝2eq \(PB,\s\up6(―→))，∴OA＝2OF，∴a＝2c，
∴e＝eq \f(1,2).
3．已知椭圆eq \f(x2,k＋8)＋eq \f(y2,9)＝1的离心率e＝eq \f(1,2).求k的值．
解：分两种情况进行讨论．
(1)当椭圆的焦点在x轴上时，由a2＝k＋8，b2＝9，得
c2＝k－1.
∵e＝eq \f(1,2)，∴eq \f(k－1,k＋8)＝eq \f(1,4)，解得k＝4.
(2)当椭圆的焦点在y轴上时，
由a2＝9，b2＝k＋8，得c2＝1－k.
∵e＝eq \f(1,2)，∴eq \f(1－k,9)＝eq \f(1,4).解得k＝－eq \f(5,4).
综上可得，k＝4或k＝－eq \f(5,4).新课程标准解读
核心素养
1.掌握椭圆的简单几何性质
直观想象
2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，进一步体会数形结合的思想
直观想象、数学运算
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0),_ B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a),_ B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长
长轴长＝eq \a\vs4\al(2a)，短轴长＝eq \a\vs4\al(2b)
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝eq \a\vs4\al(2c)
对称性
对称轴x轴和y轴，对称中心(0，0)
离心率
e＝eq \f(c,a)(0由标准方程研究几何性质
利用几何性质求标准方程
求椭圆的离心率