第二课时　抛物线的标准方程与几何性质的应用(习题课)[例1]　(链接教科书第106页例2)某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米．若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？[解]　如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立直角坐标系．因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以A(10，－2)．设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p>0)，则102＝－2p×(－2)，所以p＝25，所以抛物线方程为x2＝－50y，即y＝－eq \f(1,50)x2.若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x＝8时，y＝－eq \f(1,50)×82＝－1.28，即船体在x＝±8之间通过点B(8，－1.28)，此时B点距水面6＋(－1.28)＝4.72(米)．而船体高为5米，所以无法通行．又因为5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7，150×7＝1 050(吨)，所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．eq \a\vs4\al()求抛物线实际应用的五个步骤　　　　 [跟踪训练]　如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________ m.解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2eq \r(6) m.答案：2eq \r(6)[例2]　过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为－4，求抛物线C的方程．[解]　由于抛物线的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，故可设直线AB的方程为x＝my＋eq \f(p,2).由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝my＋\f(p,2)，,y2＝2px，))得y2－2pmy－p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－p2，∴－p2＝－4，由p>0，可得p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x.eq \a\vs4\al()1．已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4)；(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2θ)(θ为直线AB的倾斜角)；(3)S△ABO＝eq \f(p2,2sin θ)(θ为直线AB的倾斜角)；(4)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)；(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．2．当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p.　　　　 [跟踪训练]已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为eq \f(π,4)的直线被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．解：当抛物线焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y2＝2px(p>0)，则焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，直线l的方程为y＝x－eq \f(p,2).设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A1，点B1，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(p,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(p,2)))＝x1＋x2＋p＝6，∴x1＋x2＝6－p.　①由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x－\f(p,2)，,y2＝2px))消去y，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))eq \s\up12(2)＝2px，即x2－3px＋eq \f(p2,4)＝0.∴x1＋x2＝3p，代入①式得3p＝6－p，∴p＝eq \f(3,2).∴所求抛物线的标准方程是y2＝3x.当抛物线焦点在x轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y2＝－3x.[例3]　已知直线l：y＝x＋eq \f(3,2)与抛物线C：x2＝－8y，判断直线l与抛物线C是否有公共点？若有求出公共点坐标并求出弦长；若没有请说明理由．[解]　由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋\f(3,2)，,x2＝－8y，))得x2＝－8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))，即x2＋8x＋12＝0，解得x1＝－2，x2＝－6，所以y1＝－2＋eq \f(3,2)＝－eq \f(1,2)，y2＝－6＋eq \f(3,2)＝－eq \f(9,2).所以直线l与抛物线C有公共点，且公共点坐标为Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6，－\f(9,2))).∴|AB|＝ eq \r(（－2＋6）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(9,2)))\s\up12(2))＝4eq \r(2).eq \a\vs4\al()直线与抛物线交点问题的解题思路(1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数；(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：①直线与抛物线的对称轴重合或平行；②直线与抛物线相切．　　　　 [跟踪训练]1．若抛物线y2＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证OA⊥OB.证明：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝x－4))消去y，得x2－12x＋16＝0.∵直线y＝x－4与抛物线相交于不同两点A，B，∴可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝12，x1x2＝16.∵eq \o(OA,\s\up6(―→))·eq \o(OB,\s\up6(―→))＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－4)·(x2－4)＝x1x2＋x1x2－4(x1＋x2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0，∴eq \o(OA,\s\up6(―→))⊥eq \o(OB,\s\up6(―→))，即OA⊥OB.2．过点(－3，2)的直线与抛物线y2＝4x只有一个公共点，求此直线方程．解：显然直线斜率k存在，设其方程为y－2＝k(x＋3)，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－2＝k（x＋3），,y2＝4x))消去x，整理得ky2－4y＋8＋12k＝0.①(1)当k＝0时，方程①化为－4y＋8＝0，即y＝2，此时过(－3，2)的直线方程为y＝2，满足条件．(2)当k≠0时，方程①应有两个相等实根．由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k≠0，,Δ＝0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k≠0，,16－4k（8＋12k）＝0，))得k＝eq \f(1,3)或k＝－1.所以直线方程为y－2＝eq \f(1,3)(x＋3)或y－2＝－(x＋3)，即x－3y＋9＝0或x＋y＋1＝0.故所求直线有三条，其方程分别为：y＝2，x－3y＋9＝0，x＋y＋1＝0.1．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝3p，则|PQ|等于(　　)A．4p　　　　　　　　　 B．5pC．6p D．8p解析：选A　因为PQ过焦点，所以|PQ|＝x1＋x2＋p＝4p.2．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－eq \r(3)，那么|PF|等于(　　)A．4eq \r(3) B．8C．8eq \r(3) D．16解析：选B　由抛物线方程y2＝8x，可得准线l：x＝－2，焦点F(2，0)，设点A(－2，n)，∴－eq \r(3)＝eq \f(n－0,－2－2)，∴n＝4eq \r(3).∴P点纵坐标为4eq \r(3).由(4eq \r(3))2＝8x，得x＝6，∴P点坐标为(6，4eq \r(3))，∴|PF|＝|PA|＝|6－(－2)|＝8，故选B.3．河上有一座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高eq \f(3,4)米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？解：如图，建立平面直角坐标系，设拱桥抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0)．由题意，将B(4，－5)的坐标代入方程得p＝eq \f(8,5)，∴抛物线的标准方程为x2＝－eq \f(16,5)y.当船的两侧和拱桥接触时船不能通航．设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，由22＝－eq \f(16,5)yA，得yA＝－eq \f(5,4).又知船露出水面上的部分高eq \f(3,4)米，设水面与抛物线拱顶相距为h，则h＝|yA|＋eq \f(3,4)＝2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船开始不能通航．新课程标准解读核心素养1.了解抛物线的简单应用逻辑推理2.运用抛物线的方程及简单几何性质，解决与抛物线有关的问题数学运算抛物线标准方程的实际应用焦点弦问题直线与抛物线的公共点问题