人教A版 (2019) 选择性必修 第二册 第四章数列单元检测题（基础巩固篇）

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第四章数列单元检测题（基础巩固篇） 一、单选题1．已知数列的通项公式为，则33是这个数列的（    ）A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项2．数列1，3，6，10，15，…的递推公式是（    ）A． B． C．D． 3．用数学归纳法证明等式，从到左端需要增乘的代数式为（    ）A． B．C． D．4．在等差数列{an}中，a1＝2，a5＝3a3，则a3等于（    ）A．－2 B．0 C．3 D．65．设等差数列与的前n项和分别为和， 并且对于一切都成立，则（    ）A． B． C． D．6．设数列满足：，，记数列的前项之积为，则的值为（    ）A． B． C． D．7．已知数列中，，则数列的最小项是（    ）A．第1项 B．第3项、第4项 C．第4项 D．第2项、第3项8．一百零八塔位于宁夏青铜峡市，是喇嘛式实心塔群（如图）.该塔群随山势凿石分阶而建，依山势自上而下，第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，第五阶5座，从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计108座，故名一百零八塔.则该塔群最下面三阶的塔数之和为（    ）A．39 B．45 C．48 D．51 二、多选题9．（多选）已知数列的通项公式为，则下列是该数列中的项的是（    ）A．18 B．12 C．25 D．3010．(多选)下列关于数列的说法正确的是（    ）A．按一定次序排列的一列数叫作数列B．若{an}表示数列，则an表示数列的第n项，an=f(n)表示数列的通项公式C．同一个数列的通项公式的形式不一定唯一D．同一个数列的任意两项均不可能相同11．设等差数列的前项和为．若，，则（     ）A． B．C． D．12．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法正确的是（    ）A．此人第六天只走了5里路B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C．此人第二天走的路程比全程的还多1.5里D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍  三、填空题13．已知是数列的前项和.若，则__________.14．在数列中，，，则______．15．已知数列满足若，则________.16．将正奇数桉下表编排： 第1列第2列第3列第4列第5列第1行 1357第2行1513119 第3行 17192123第4行31292725 ………………………………则2015应在第___________列． 四、解答题17．已知数列是公差为2的等差数列，它的前n项和为Sn，且成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和.18．已知数列的通项公式为.（1）20是不是中的一项？（2）当取何值时，.19．已知等比数列中，，且是和的等差中项.数列满足，且..（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.20．已知等比数列的前n项和为.（1）求m的值，并求出数列的通项公式；（2）令，设为数列的前n项和，求.21．已知数列，其前项和为，且满足，．（1）求；（2）求满足的最小整数．22．已知函数，设数列的通项公式为，其中.（1）求证：；（2）判断是递增数列还是递减数列，并说明理由.
参考答案1．C【分析】由已知通项公式，令并求解，即可确定答案.【详解】令，解得．故选：C．2．B【分析】设数列1，3，6，10，15，…为，根据数列中项的关系，由数学归纳法可得，由此即可得到结果.【详解】设数列1，3，6，10，15，…为，所以， ，所以.故选：B.3．B【分析】分别求出当、时等式左端的表达式，再比较即可求解.【详解】当时，左端为当时，左端为因为所以从到左端需要增乘的代数式为，故选：B.4．A【分析】利用已知条件求得，由此求得.【详解】a1＝2，a5＝3a3，得a1＋4d＝3(a1＋2d)，即d＝－a1＝－2，所以a3＝a1＋2d＝－2.故选：A.5．D【分析】利用等差数列的前项和的性质可求的值.【详解】,故选：D.6．B【分析】由的值确定数列是以3为周期的周期数列，利用周期的性质得出.【详解】,可知数列是以3为周期的周期数列 故选：B7．D【分析】根据题意，可知数列的通项公式，根据二次函数的性质可知，当或3时，取得最小值，从而得出答案.【详解】解：由题可知，，由于，所以当或3时，取得最小值，所以数列的最小项是第2项、第3项.故选：D.8．D【分析】先由等差数列的求和公式得出总阶数，再由等差数列的性质得出最下面三阶的塔数之和.【详解】设该塔群共有n阶，自上而下每一阶的塔数所构成的数列为，依题意可知，，…，成等差数列，且公差为2，，则，解得.故最下面三价的塔数之和为.故选：D9．BD【分析】由于为正整数，且越大，越大，求得无整数解，且，， ，，判断选项即可.【详解】因为，所以越大，越大．当时，；当时，；当时，；当时，．故选：BD．10．ABC【分析】根据数列的定义，可判断A、B、C的正误，常数数列各项可相等，可得D错误，即可得答案.【详解】根据数列的定义，我们把按定次序排列的一列数叫作数列，可得A正确；若{an}表示数列，则an表示数列的第n项，an=f(n)表示数列的通项公式，可得B正确；同一个数列的通项公式的形式不一定唯一，例如，也可写成，可得C正确；因为一个数列的每一项的值是可以相同的，比如说常数数列，可得D错误，故选：ABC11．BC【分析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前项和公式【详解】解：设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，所以，，故选：BC12．BCD【分析】设此人第天走里路，则是首项为，公比为 的等比数列，由求得首项，然后逐一分析四个选项得答案.【详解】解:根据题意此人每天行走的路程成等比数列，设此人第天走里路，则是首项为，公比为 的等比数列.所以，解得.选项A:,故A错误,选项B:由，则，又，故B正确.选项C:,而，,故C正确.选项D:,则后3天走的路程为,而且,故D正确.故选：BCD【点睛】本题考查等比数列的性质，考查等比数列的前项和，是基础题.13．【分析】根求出和，由即可求解.【详解】因为是数列的前项和.若，可得，，所以，故答案为：.14．2【分析】由递推关系求前几项的值，易判断是以4为周期的数列，利用周期性求.【详解】由题意，得，，，，，故数列是以4为周期的周期数列，则．故答案为：215．【分析】根据递推公式，可知，，，，…，故数列是以为周期的周期数列，由此即可求出结果.【详解】因为所以，，，…故数列是以为周期的周期数列，又知，所以.故答案为：.16．1【分析】根据表格中的数字规律，判断数字2015所在行列位置即可.【详解】由表格规律：奇数行从第二列到第五列是公差为2数列且依次递增，偶数行从第一列到第四列是公差为-2的数列且依次递减，又所有的数字可构成公差为2的等差数列，∴，由可得，∴，则2015应在第252行的第1列.故答案为：117．（1），（2）【分析】（1）由题意可得，从而可求出，进而可求得的通项公式；（2）由（1）可得，然后利用裂项相消求和法可求得结果【详解】（1）因为数列是公差为2的等差数列，且成等比数列，所以即，解得，所以；（2）由（1）得，所以.18．（1）是；（2）.【分析】（1）令，求得，即可得到结论；（2）令，得到，解得，即可得到答案.【详解】（1）由题意，数列的通项公式为，令，即，解得或（舍去），所以是中的一项，且为数列的第10项.（2）令，即，即，解得或（舍去），所以当时，.19．（1）；（2）.【分析】（1）设等比数列的公比为，由等差中项的性质建立等量关系，求解，从而求出数列的通项公式；（2）由等差中项的性质可知为等差数列，求出通项公式，分组求和即可.【详解】解：（1）设等比数列的公比为因为，所以.因为是和的等差中项，所以，即，解得所以.（2）因为，所以为等差数列.因为，所以公差.故.所以20．（1），；（2）.【分析】（1）法一：由已知求、，根据等比数列的性质确定的值，进而求出，写出通项公式；法二：由与的关系，结合已知求得、，，再根据等比中项的性质求，写出通项公式；（2）由（1）写出通项公式，由奇偶项和为定值，应用并项求和法求.【详解】（1）法一：当时，当时，∵是等比数列，∴，即，解得综上，的值为，数列的通项公式为.法二：∵，，∵是等比数列，∴，即，解得，设的公比为，∴，，则.（2）∵，∴.21．（1）；（2）最小整数.【分析】（1）由可得，结合已知求通项(注意判断是否可以合并)，进而求.（2）由题设有有成立，理解指数函数与幂函数的增长差异，应用枚举的方法写出最小整数．【详解】（1）由题设，，则，即，∴，即，∴，故，∴.（2）有，∴，故满足的最小整数．22．（1）见解析（2）是递增数列，证明见解析【分析】（1）结合反比例函数的单调性以及不等式的性质即可证得；（2）证得，即可得出结论.（1）由题意得，因为为正整数，所以，所以（2）是递增数列证明：，所以是递增数列.