高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.1 导数的概念及其意义练习

专题5.1导数的概念及其集合意义检测题（综合提升篇）

一、单选题

1．已知函数的导函数为，且，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

2．曲线在点处的切线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

3．一个物体做直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，且这一物体在这段时间内的平均速度为，则实数的值为（    ）

A．2 B．1 C． D．6

4．已知y＝f（x）的图象如图所示，则f'（xA）与f'（xB）的大小关系是（　　）

A．f'（xA）＞f'（xB）

B．f'（xA）＝f'（xB）

C．f'（xA）＜f'（xB）

D．f'（xA）与f'（xB）大小不能确定

5．对于以下四个函数：①；②；③；④．在区间上函数的平均变化率最大的是（    ）

A．① B．② C．③ D．④

6．函数，当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率为（    ）

A．2.1 B．1.1 C．2 D．1

7．某公司的盈利（元）与时间（天）的函数关系是，假设（）恒成立，且，，则说明后10天与前10天比（    ）

A．公司亏损且亏损幅度变大

B．公司的盈利增加，增加的幅度变大

C．公司亏损且亏损幅度变小

D．公司的盈利增加，增加的幅度变小

8．设曲线在点处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则的面积等于（    ）

A．1 B．2 C．4 D．6

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．若不存在，则曲线在点处也可能有切线

B．若曲线在点处有切线，则必存在

C．若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在

D．若曲线在点处没有切线，则有可能存在

10．甲､乙两个学校同时开展节能活动，活动开始后两学校的用电量（单位：），（单位：）与时间（单位：）的关系如图所示，则一定有（    ）

A．甲校比乙校节能效果好

B．甲校的用电量在上的平均变化率比乙校的用电量在上的平均变化率小

C．两学校节能效果一样好

D．甲校与乙校在活动期间的用电量总是一样大

11．（多选）设在处可导，下列式子中与相等的是（    ）

A． B．

C． D．

12．函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列不等式正确是（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题

13．函数在区间上的平均变化率为___________.

14．已知曲线y＝f（x）在点M（2，f（2））处的切线方程是y＝2x+3，则f（2）+f′（2）的值为____．

15．若抛物线f(x)＝4x2在点(x0，f(x0))处切线的斜率为8，则x0＝________.

16．如图所示，函数的图象在点P处的切线方程为，则_____．

四、解答题

17．求圆的面积在半径为2时的瞬时变化率，并指出这一瞬时变化率的实际意义.

18．已知函数，求曲线在处切线的斜率与方程.

19．已知函数与在区间上都有定义，且，那么与在区间的平均变化率一定不相等吗？为什么？

20．已知某物体运动的位移是时间的函数，而且时，；时，.

（1）求这个物体在时间段内的平均速度；

（2）估计出时物体的位移.

21．分别求出下列函数的导数：

（1），其中C是常数；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）.

22．已知曲线C：与直线相切，

（1）求a的值；

（2）已知点及点，从点A观察点B，若观察的视线不被曲线C挡住，求实数b的取值范围．

参考答案

1．D

【分析】

根据导数的定义，即可求解.

【详解】

解:，

解得

故选：D

2．C

【分析】

利用导数定义求的导函数，进而求，根据导数的几何意义即知点处的切线的倾斜角.

【详解】

∵，

∴．又切线的倾斜角的范围为，

∴所求倾斜角为．

故选：C

3．B

【分析】

根据平均速度的定义有，结合已知函数模型求参数m即可.

【详解】

由已知，得，

∴，解得，

故选：B．

4．A

【分析】

根据题意，由图象可得f（x）在x＝xA处切线的斜率大于在x＝xB处切线的斜率，由导数的几何意义分析可得答案．

【详解】

根据题意，由图象可得f（x）在x＝xA处切线的斜率大于在x＝xB处切线的斜率，

则有f'（xA）＞f'（xB）；

故选：A

5．C

【分析】

分析求出四个函数的平均变化率，然后比较即可.

【详解】

①，②，③，④．

故选：C．

6．A

【分析】

根据函数平均变化率的求法即可得到答案.

【详解】

由题意，函数的平均变化率为：.

故选：A.

7．D

【分析】

根据函数的单调性及平均变化率的意义进行判断.

【详解】

由（）恒成立，可知单增，即盈利增加，

又平均变化率说明盈利增加的幅度变小，

故选:D．

8．B

【分析】

根据导数的定义求出曲线在点处的切线的斜率，写出切线方程，求出直线在坐标轴上的截距，即可得解.

【详解】

，

所以，故在点处的切线的斜率为，

切线方程为，即．令，得，令，得，

所以，

故选：B

9．AC

【分析】

由的意义判断各个选项即可.

【详解】

，不存在只能说明曲线在该点处的切线斜率不存在；

当斜率不存在时，切线也可能存在，其切线方程为，故AC正确.

故选：AC.

10．AB

【分析】

根据切线斜率的实际意义判断AC选项的正确性.根据平均变化率的知识确定B选项的正确性.根据图象判断用电量是否“总是一样大”，由此判断D选项的正确性.

【详解】

由图可知，对任意的，曲线在处的切线斜率的绝对值比曲线在处的切线斜率的绝对值大，所以甲校比乙校节能效果好，A正确，C错误；

由图可知，，则甲校的用电量在上的平均变化率比乙校的用电量在上的平均变化率小，B正确；

由于曲线和曲线不重合，故D错误.

故选：AB.

11．AC

【分析】

利用导数的定义对各选项逐一分析计算并判断作答.

【详解】

对于A，，A满足；

对于B，，B不满足；

对于C，，C满足；

对于D，，D不满足.

故选：AC

12．AB

【分析】

根据导数的几何意义可对比切线斜率得到，将看作过和的割线的斜率，由图象可得斜率的大小关系，进而得到结果.

【详解】

由图象可知，在x=2处的切线斜率大于在x=3处的切线斜率，且斜率为正，

，

，

可看作过和的割线的斜率，

由图象可知，

，

故选：AB

13．

【分析】

根据函数平均变化率求法即可求得答案.

【详解】

由题意，函数的平均变化率为：.

故答案为：.

14．9

【分析】

根据导数的几何意义，进行求解即可．

【详解】

y＝f（x）在点M（2，f（2））处的切线方程是y＝2x+3，

∴f（2）＝2×2+3＝4+3＝7，

切线的斜率k＝2，即f′（2）＝2，

则f（2）+f′（2）＝7+2＝9，

故答案为：9

15．1

【分析】

由题意，先求出函数在处的导数，进而根据导数的几何意义得到答案.

【详解】

k＝

.

故答案为：1.

16．

【分析】

由切线方程及导数的几何意义知，由在切线上求，即可求.

【详解】

函数的图象在点处的切线方程是，

，，

．

故答案为：．

17．，这一瞬时变化率的实际意义为圆的周长.

【分析】

利用瞬时变化率的定义计算即可.

【详解】

圆的面积公式为，当半径r从2变到时的平均变化率为

，

当趋于0时，趋于，

所以时S的瞬时变化率为，这一瞬时变化率的实际意义为圆的周长.

18．2，.

【分析】

利用导数的定义及其几何意义计算即可.

【详解】

因为

2，

因此所求切线的斜率为2.

又因为，所以切线的方程为

，

即.

19．不一定不相等

【分析】

直接根据平均变化率的定义求出，，即可说明.

【详解】

设在区间的平均变化率为，在区间的平均变化率为，

则（1），

（1），若，则，

反之则不相等，所以平均变化率不一定不相等.

20．

（1）

（2）

【分析】

（1）直接利用平均速度公式计算得到答案.

（2）将x在上的图像看成直线，x与t的关系可近似地表示为，带入数据计算得到答案.

（1）

平均速度为.

（2）

将x在上的图像看成直线，则由（1）可知，直线的斜率为5，且直线通过点，因此，x与t的关系可近似地表示为.

在上式中令，可求得0.75，即物体的位移可以估计为.

21．

（1）0

（2）1

（3）

（4）

（5）

【分析】

利用导数的定义求解.

（1）

解：根据定义可知

.

（2）

解：根据定义可知

1.

（3）

解：根据定义可知

.

（4）

解：根据定义可知

=.

（5）

解：根据定义可知

=.

22．（1）；（2）．

【分析】

（1）设切点为，利用导数求出切线斜率，根据斜率相等求解即可；

（2）设过A与曲线相切的直线切点为,根据导数的几何意义求出切线斜率，再由两点求切线斜率，解方程求出切点坐标，得到切线方程即可.

【详解】

（1）设切点为，

∵当时，

，

∴．①

又点在曲线C与直线上，∴，②

由①②得．

（2）在曲线C：上取一点，

由（1）知，当时，．

当以D为切点的切线过点A时，令，解得，此时，，直线AD的方程为．

若观察的视线不被曲线C挡住，则点B在直线AD的右下方，

∴，即实数b的取值范围是．