人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）导学案，共12页。

学习目标 1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系.2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数．
知识点一 函数的零点
1．概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
2．函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
思考 函数的零点是函数与x轴的交点吗？
答案 不是．函数的零点不是一个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标．
知识点二 函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
思考1 函数零点存在定理的条件有哪些？
答案 定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0.
思考2 在函数零点存在定理中，若f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在(a，b)内存在零点．则满足什么条件时f(x)在(a，b)上有唯一零点？
答案 满足f(x)在(a，b)内连续且单调，且f(a)·f(b)<0.
1．函数f(x)＝3x－2的零点为eq \f(2,3).( √ )
2．若f(a)·f(b)>0，则f(x)在[a，b]内无零点．( × )
3．若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．( √ )
4．若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)·f(b)<0.( × )
5．若函数f(x)满足f(a)·f(b)<0，则函数在区间[a，b]上至少有一个零点．( × )
一、求函数的零点
例1 (1)求函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋ln x，x>0))的零点；
(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．
解 (1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3(x＝1舍)；
当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.
所以函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋ln x，x>0))的零点为－3和e2.
(2)由已知得f(3)＝0即3a－b＝0，即b＝3a.
故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．
令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，解得x＝0或x＝－eq \f(1,3).
所以函数g(x)的零点为0和－eq \f(1,3).
反思感悟 探究函数零点的两种求法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点．
(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
跟踪训练1 求下列函数的零点：
(1)f(x)＝(lg x)2－lg x；
(2)f(x)＝x3－2x2－x＋2.
解 (1)令(lg x)2－lg x＝0，则lg x(lg x－1)＝0，
∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10，
因此函数f(x)的零点是1,10.
(2)令x3－2x2－x＋2＝0，
得x2(x－2)－(x－2)＝(x－2)(x2－1)
＝(x－2)(x＋1)(x－1)＝0，
解得x＝－1或x＝1或x＝2，
∴函数f(x)有3个零点，分别为－1,1,2.
二、零点的个数问题
例2 判断下列函数零点的个数．
(1)f(x)＝x2－eq \f(3,4)x＋eq \f(5,8)；
(2)f(x)＝ln x＋x2－3.
解 (1)由f(x)＝0，即x2－eq \f(3,4)x＋eq \f(5,8)＝0，
得Δ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))2－4×eq \f(5,8)＝－eq \f(31,16)<0，
所以方程x2－eq \f(3,4)x＋eq \f(5,8)＝0没有实数根，
即f(x)零点的个数为0.
(2)方法一 函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，
所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数．
在同一直角坐标系下，作出两函数的图象(如图)．
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点．
从而方程ln x＋x2－3＝0有一个根，
即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点．
方法二 由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，
f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，
所以f(1)·f(2)<0，
又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是连续的，
所以f(x)在(1,2)上必有一个零点，
又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．
反思感悟 判断函数零点个数的四种常用方法
(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点．
(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．
(3)结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数．
(4)转化成两个函数图象的交点个数问题．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－4，01))和函数g(x)＝lg2x，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数是________．
答案 3
解析 作出g(x)与f(x)的图象如图，
由图知f(x)与g(x)的图象有3个交点，即h(x)有3个零点．
三、判断零点所在的区间
例3 (1)f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
答案 C
解析 方法一 ∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，f(x)为R上的连续函数，
∴f(x)在(0,1)内有零点．
方法二 ex＋x－2＝0，即ex＝2－x，
∴原函数的零点所在区间即为函数y＝ex和y＝2－x的图象交点的横坐标所在的区间．
如图，
由图象可得函数y＝ex和y＝2－x的图象交点所在的区间为(0,1)．
(2)由表格中的数据，可以断定方程ex－3x－2＝0的一个根所在的区间是( )
A.(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
答案 C
解析 设f(x)＝ex－3x－2，f(x)为R上的连续函数，由题表知，f(0)，f(1)，f(2)均为负值，f(3)，f(4)均为正值，因此方程ex－3x－2＝0的一个根所在的区间为(2,3)．
反思感悟 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上．
(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
跟踪训练3 若方程xlg(x＋2)＝1的实根在区间(k，k＋1)(k∈Z)上，则k等于( )
A．－2 B．1
C．－2或1 D．0
答案 C
解析 由题意知，x≠0，则原方程即为lg(x＋2)＝eq \f(1,x)，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝lg(x＋2)与y＝eq \f(1,x)的图象，如图所示，
由图象可知，原方程有两个根，一个在区间(－2，－1)上，一个在区间(1,2)上eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(由lg 3<1，lg 4>lg\r(10)＝\f(1,2)可得))，
所以k＝－2或k＝1.
根据零点情况求参数范围
典例 函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，求实数a的取值范围．
解 由f(x)＝0得a－1＝2|x|－x2，
因为函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，
所以函数y＝a－1与y＝2|x|－x2的图象有四个交点，
画出函数y＝2|x|－x2的图象，如图所示，
观察图象可知，0[素养提升] 函数的零点即函数图象与x轴交点的横坐标，也可转化成两函数交点的横坐标，这样就建立了数与形的联系，利用函数图象描述问题，充分体现直观想象的数学核心素养．
1．函数f(x)＝lg2x的零点是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 令f(x)＝lg2x＝0，解得x＝1.
2．函数f(x)＝2x－eq \f(1,x)的零点所在的区间是( )
A．(1，＋∞) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,3)))
答案 B
解析 易知f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
由f(x)＝2x－eq \f(1,x)，得f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－2<0，
f(1)＝2－1＝1>0，∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))·f(1)<0.
∴零点所在区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
3．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则( )
A．方程f(x)＝0一定有一实数解
B．方程f(x)＝0一定无实数解
C．方程f(x)＝0一定有两实根
D．方程f(x)＝0可能无实数解
答案 D
解析 ∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1,3)上可能无实数解．
4．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有________个．
答案 3
解析 ∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)
＝(x－1)(x＋5)(x－2)，
∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.
5．若eq \f(3,2)是函数f(x)＝2x2－ax＋3的一个零点，则f(x)的另一个零点是________．
答案 1
解析 由f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝2×eq \f(9,4)－eq \f(3,2)a＋3＝0得a＝5，
则f(x)＝2x2－5x＋3.
令f(x)＝0，即2x2－5x＋3＝0，
解得x1＝eq \f(3,2)，x2＝1，所以f(x)的另一个零点是1.
1．知识清单：
(1)函数的零点定义．
(2)函数零点存在定理．
2．方法归纳：转化法、数形结合法．
3．常见误区：
(1)忽视函数零点存在定理的应用条件．
(2)不能把函数、方程问题相互灵活转化．
1．下列函数不存在零点的是( )
A．y＝x－eq \f(1,x)
B．y＝eq \r(2x2－x－1)
C．y＝lgax2(a>0且a≠1)
D．y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x≥0，,x－1，x<0))
答案 D
解析 令y＝0，得选项A和C中的函数的零点均为1和－1；
B中函数的零点为－eq \f(1,2)和1；
只有D中函数无零点．
2．函数f(x)＝lg3x－8＋2x的零点一定位于区间( )
A．(5,6) B．(3,4) C．(2,3) D．(1,2)
答案 B
解析 f(3)＝lg33－8＋2×3＝－1<0，
f(4)＝lg34－8＋2×4＝lg34>0.
又因为f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
所以其零点一定位于区间(3,4)．
3．已知f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于( )
A．0 B．1 C．－1 D．不能确定
答案 A
解析 因为奇函数的图象关于原点对称，
所以若f(x)有三个零点，则其和必为0.
4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1，x≤1，,1＋lg2x，x>1，))则函数f(x)的零点为( )
A.eq \f(1,2)，0 B．－2,0
C.eq \f(1,2) D．0
答案 D
解析 当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.
当x>1时，令1＋lg2x＝0，得x＝eq \f(1,2)(舍)．
综上所述，函数f(x)的零点为0.
5．方程x＋lg3x＝3的解为x0，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则n等于( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 设f(x)＝x＋lg3x－3，
则f(1)＝1＋lg31－3＝－2<0，
f(2)＝2＋lg32－3＝lg32－1<0，
f(3)＝3＋lg33－3＝1>0，
又易知f(x)为单调增函数，
所以方程x＋lg3x＝3的解在(2,3)内，因此n＝2.
6．已知函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．
答案 －eq \f(1,2)，－eq \f(1,3)
解析 由题意知，方程x2－ax－b＝0的两根为2,3，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＋3＝a，,2×3＝－b，))即a＝5，b＝－6，
∴方程bx2－ax－1＝－6x2－5x－1＝0的根为－eq \f(1,2)，－eq \f(1,3)，
即为函数g(x)的零点．
7．函数f(x)＝x2－2x在R上的零点个数是________．
答案 3
解析 函数f(x)＝x2－2x的零点个数，等价于函数y＝2x，y＝x2的图象交点个数．如图，画出函数y＝2x，y＝x2的大致图象．
由图象可知有3个交点，即f(x)＝x2－2x有3个零点．
8．若abc≠0，且b2＝ac，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点的个数是________．
答案 0
解析 ∵ax2＋bx＋c＝0的根的判别式Δ＝b2－4ac，b2＝ac，且abc≠0，
∴Δ＝－3b2<0，∴方程ax2＋bx＋c＝0无实根．
∴函数f(x)＝ax2＋bx＋c无零点．
9．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出其零点．
(1)f(x)＝－x2＋2x－1；(2)f(x)＝x4－x2；
(3)f(x)＝4x＋5；(4)f(x)＝lg3(x＋1)．
解 (1)令－x2＋2x－1＝0，解得x1＝x2＝1，
所以函数f(x)＝－x2＋2x－1的零点为1.
(2)令f(x)＝x2(x－1)(x＋1)＝0，
解得x＝0或x＝1或x＝－1，
故函数f(x)＝x4－x2的零点为0，－1和1.
(3)令4x＋5＝0，则4x＝－5，
因为4x>0，－5<0，所以方程4x＋5＝0无实数解．
所以函数f(x)＝4x＋5不存在零点．
(4)令lg3(x＋1)＝0，解得x＝0，
所以函数f(x)＝lg3(x＋1)的零点为0.
10．已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的零点；
(2)若f(x)有零点，求a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1.
令f(x)＝0，即2·(2x)2－2x－1＝0，
解得2x＝1或2x＝－eq \f(1,2)(舍去)．
∴x＝0，∴函数f(x)的零点为0.
(2)若f(x)有零点，则方程2a·4x－2x－1＝0有解，
于是2a＝eq \f(2x＋1,4x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x，
令eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＝t，则g(t)＝t＋t2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,2)))2－eq \f(1,4).
∵t>0，
∴g(t)在(0，＋∞)上单调递增，其值域为(0，＋∞)，
∴2a>0，即a的取值范围是(0，＋∞)．
11．若函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))|x－1|＋m有零点，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．[－1，＋∞)
C．[－1,0) D．(0，＋∞)
答案 C
解析 因为函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))|x－1|＋m有零点，
所以方程eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))|x－1|＋m＝0有解，
即方程eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))|x－1|＝－m有解，
因为|x－1|≥0，
所以0因此－1≤m<0.
12．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为( )
A．至多有一个 B．有两个
C．有且仅有一个 D．一个也没有
答案 C
解析 若a＝0，则f(x)＝bx＋c是一次函数，
由f(1)·f(2)<0得零点只有一个；
若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，
若f(x)在(1,2)上有两个零点，
则必有f(1)·f(2)>0，与已知矛盾．
若f(x)在(1,2)上没有零点，
则必有f(1)·f(2)≥0，与已知矛盾．
故f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点．
13．若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是________．
答案 (0,4)
解析 由|x2－4x|－a＝0，得a＝|x2－4x|，
作出函数y＝|x2－4x|的图象，
则由图象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则014．已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝lg3x＋2，h(x)＝lg3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是________．
答案 a解析 画出函数y＝3x，y＝lg3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示，
观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝lg3x＋2，h(x)＝lg3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a15．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(9,4)，－2)) B．[－1,0]
C．(－∞，－2] D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,4)，＋∞))
答案 A
解析 由题意可得函数y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0,3]上有两个不同的零点，函数图象的对称轴为直线x＝eq \f(5,2)，
所以函数的最小值为－eq \f(9,4)－m.
当x＝0时，y＝4－m，当x＝3时，y＝－2－m<4－m，
所以－eq \f(9,4)－m<0≤－2－m，
解得－eq \f(9,4)16．已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1.
(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；
(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值；
(3)若f(x)＝0有两个根，且一个根大于2，一个根小于2，求实数m的取值范围．
解 (1)函数有两个零点，
则对应方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个不相等的实数根，
易知Δ>0，即4＋12(1－m)>0，可解得m由Δ＝0，可解得m＝eq \f(4,3)；由Δ<0，可解得m>eq \f(4,3).
故当m当m＝eq \f(4,3)时，函数有一个零点；
当m>eq \f(4,3)时，函数无零点．
(2)由题意知0是对应方程的根，
故有1－m＝0，可解得m＝1.
(3)由题意可得f(2)>0，即－7－m>0，则m<－7.
故实数m的取值范围为(－∞，－7)．x
0
1
2
3
4
ex
1
2.72
7.39
20.09
54.60
3x＋2
2
5
8
11
14