高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）学案设计

第五章  函数的应用（二）

4.5.1 函数零点与方程的解

1、了解函数（结合二次函数）零点的概念；

2、理解函数零点与方程的根以及函数图象与x轴交点的关系；[来源:学科网]

3、掌握零点存在性定理的运用．

重点：零点的概念及存在性的判定；

难点：零点的确定．

1．函数的零点

对于函数y＝f(x)，把使f(x)__＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

2．方程、函数、函数图象之间的关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

3．函数零点的存在性定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(_b)<0.那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)_＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

问题1  求下列方程的根．

（1）；   （2）； （3）；

解方程的历史

探究1：观察函数的图象思考：

1.方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标有什么关系?

1).方程根的个数和对应函数与x轴交点个数相同.

2).方程的根是函数与x轴交点的横坐标.

3).若一元二次方程无实数根，则相应的二次函数图像与x轴无交点.

思考：若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？

一元二次方程的根就是相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标。若一元二次方程无实数根，则相应的二次函数图像与x轴无交点。

推广到更一般的情况，得：

零点：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.

函数的零点是一个点吗？

问题1: 零点不是一个点，零点指的是一个实数.

问题2: 试归纳函数零点的等价说法？

跟踪训练  1．思考辨析

(1)所有的函数都有零点．(　　)

(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1,0)(x2,0)．(　　)

(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)<0.(　　)

2．函数y＝2x－1的零点是(　　)

A.　　　　　　B.      C.             D．2

零点存在性定理的探索．

问题5：结合图像，试用恰当的语言表述如何判断函数在某个区间上是否存在零点？

观察函数的图象：

①在区间(a，b)上___(有/无)零点；f(a)·f(b) ___ 0（“＜”或“＞”）．

②在区间(b，c)上___(有/无)零点；f(b)·f(c) ___ 0（“＜”或“＞”）．

③在区间(c，d)上___(有/无)零点；f(c)·f(d) ___ 0（“＜”或“＞”）．

零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点.即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c就是方程f(x)=0的根.

定理解读

思考1:为什么强调“函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象一条不间断的曲线”？如果函数图象不连续，或者y=f(x)不满足f(a)·f(b) <0，那么零点存在性定理还成立吗？

例１　求方程的实数解的个数．

1．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点个数是(　　)

A．0　　　　　　B．1          C．2            D．3

2．函数f(x)＝2x－3的零点所在的区间是(　　)

A．(0,1)               B．(1,2)           C．(2,3)               D．(3,4)

3．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则(　　)

A．方程f(x)＝0一定有实数解             B．方程f(x)＝0一定无实数解

C．方程f(x)＝0一定有两实根             D．方程f(x)＝0可能无实数解

4．若f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为________．

5．已知函数f(x)＝x2－x－2a.

(1)若a＝1，求函数f(x)的零点；

(2)若f(x)有零点，求实数a的取值范围.

本节课主要讲了函数零点的概念以及零点存在性定理。

方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．

如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，那么，函数在区间内至少有一个零点，即相应的方程在区间内至少有一个实数解．

参考答案：

一、    知识梳理

1.f(x)＝0的实数x;    2. x轴,零点;  3. 连续不断,f(a)·f(b)<0,f(c)＝0

二、学习过程

跟踪训练  1．

2．A　[由2x－1＝0得x＝.]

思考1                                                        

例1分析：可以先借助计算工具画出函数的图象

或列出，的对应值表，为观察、判断零点所在区间提供帮助．

解：设函数，利用计算工具，列出函数的对应值表

并画出图象由表和图可知，，，则．由函数零点存在定理可知，函数在区间（２，３）内至少有一个零点．

容易证明，函数，∈（０，＋∞）是增函数，

所以它只有一个零点，即相应方只有一个实数解．

三、达标检测

1.【答案】C

2．【答案】B　[∵f(1)＝2－3＝－1<0，f(2)＝4－3＝1>0，

∴f(1)·f(2)<0，即f(x)的零点所在的区间为(1,2)．]

3． 【答案】D　[∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1,3)上可能无实数解．]

4．【答案】B(－1,0)　[∵f(x)＝x＋b是增函数，又f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，

∴∴∴－1<b<0.]

5.【答案】(1)当a＝1时，f(x)＝x2－x－2.

令f(x)＝x2－x－2＝0，得x＝－1或x＝2.,即函数f(x)的零点为－1和2.

(2)要使f(x)有零点，则Δ＝1＋8a≥0，解得a≥－，所以a的取值范围是a≥－.