高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列优秀巩固练习

绝密★启用前

4.2等差数列同步练习

人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知在数列中，且，设为的前项和，若，则

A.  B.  C.  D.

2. 已知数列的前项和为，，且，，则当取得最大值时，   

A.  B.  C.  D.

3. 数列中，，且，则这个数列的前项的绝对值之和为 

A.  B.  C.  D.

4. 一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一．一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为，，，，，，，该数列从第项开始成等差数列，则该塔群最下面三层的塔数之和为   

A.  B.  C.  D.

5. 已知数列的前项和为，，若，，则     

A.  B.  C.  D.

6. 莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把个面包分给个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为   

A.  B.  C.  D.

7. 记为数列的前项和，数列对任意的，满足若，则当取最小值时，等于 

A.  B.  C.  D.

8. 设等差数列的前项和，首项，公差，，则最大时，的值为   

A.  B.  C.  D.

9. 设等差数列的前项和为，且，则    

A.  B.  C.  D.

10. 数列是等差数列，若，且它的前项和有最大值，那么当取得最小正值时，等于  

A.  B.  C.  D.

11. 若数列的前项和为，则“”是“数列是等差数列”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

12. 已知数列的前项和为，且，，则数列的最小项为

A.  B.  C.  D.

二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）

13. 已知等差数列的前三项依次为，前项和为，且则          ，数列的前项的和为          ．
14. 九章算术“竹九节”问题；现有一根节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面节的容积共升，下面节的容积共升，则自上而下的第节的容积为          ，这节竹子的总容积为          ．
15. 已知数列满足，则          ；设数列的前项和为，对任意的，当时，都有，则的取值范围为          ．
16. 张丘建算经卷上有一题：今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．意思就是说：有一位善于纺织的女子，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织了尺布，现有一个月共织了尺布按天计，记该女子第天织布的量为，则          ，每天比前一天多织布          尺．
17. 我国古代九章算术一书中记载关于“竹九”问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问五、六两节欲均容各多少？意思是下三节容量和为升，上四节容量和为升，且每一节容量变化均匀，问第五、六两节容量分别是多少在这个问题中，最下面一节容量是          ，九节总容量是          ．

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

18. 已知数列中，，且对任意正整数都成立，数列的前项和为．
    若，且，求；
    是否存在实数，使数列是公比不为的等比数列，且任意相邻三项按某顺序排列后成等差数列，若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由；
    若，求
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知首项为的数列满足．
    证明：数列是等差数列；
    令，求数列的前项和．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知，求前项和．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知等差数列的前三项依次为，，，前项和为，且．
    求及的值；
    设数列的通项，证明数列是等差数列，并求其前项和．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知等差数列中，公差，，求：
    、的值；   
    该数列的前项和．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知等差数列的所有项和为，且该数列前项和为，最后项的和为．
    求数列的项数；
    求的值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查等差数列的判定，等差数列的性质，通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
由题意可得数列是以公差为的等差数列，由可得，然后根据即可得解．

【解答】

解：在数列中，且，
且，
数列是以为公差的等差数列．

为的前项和，，
，解得．
又，．
故选B．

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查等差数列的判定，考查数列的通项公式和求和公式，属于中档题．
由题意可得，即数列为等差数列，设等差数列的公差为，进而求出的通项公式，令，即，可得，即当时，，当，时，，所以数列中前项的和最大，进而求解．
【解答】
解：由题意，数列满足，
即，
所以数列为等差数列，
设等差数列的公差为，
则，
所以数列的通项公式为 
令，即，解得，
所以当时，，
当，时，，所以数列中前项的和最大，
故选C．  

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了数列的递推关系，等差数列的概念，等差数列的通项公式和等差数列的求和，考查了学生的计算能力，属于中档题．
利用数列的递推关系，等差数列的概念得数列是首项为，公差为的等差数列，再利用等差数列的通项公式得，再利用等差数列的求和得，再利用等差数列的通项公式得当时，；当时，，从而得，最后计算得结论．
【解答】
解：因为在数列中，，且，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
因此，
数列的前项和．
由得，
因此当时，；当时，，
所以这个数列前项的绝对值之和为：



．
故选B．  

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查等差数列的应用，属于基础题．
由题已知，该塔群从上而下各层的塔数组成一个数列，该数列从第五项起为首项为，公差为的等差数数列，所有项的和为，令该数列共有项，结合等差数列前项和公式容易得到关于的方程，对方程进行求解结合等差数列的通项公式容易得到答案．
【解答】
解：设塔群共有层，
由题意知，该塔群从上而下各层的塔数组成一个数列，不妨记为，其中前项依次为，，，，从第五项起为首项为，公差为的等差数列，且所有项的和为．
故有 ，
即，
解得或舍．
故最下面层的塔数之和为．
故选D．  

5.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查等差数列的判定、等差数列的通项公式、前项和公式的简单应用，属于中档题．
根据题意判断数列是等差数列，从而得的值，联立方程组求解即可．

【解答】

解：数列中，，
，
数列是等差数列，设公差为，
，
，
又，

解得．
故选C．

6.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题是等差数列模型的实际应用
设五个人所分得的面包为，，，，，其中，则由条件求得和的值，可得最少的一份为的值．

【解答】

解：设五个人所分得的面包为，，，，，
其中，
则有，
，
由，
得；
，
．
最少的一份为，
故选B．

7.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查数列的递推关系，考查等差数列的通项公式，属于拔高题．
根据题意可求的，再由条件可得，对任意，可得，则可得是等差数列，，要使最小由计算求出的取值范围，取整即可．

【解答】

解：由
，
所以，
由条件可得，对任意，
，
所以是以为公差，为首项的等差数列，
所以，且是递增数列，
要使最小，由
解得，
则．
故选A．

8.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力．
，根据首项，公差，，可得，进而得解．

【解答】

解：．
首项，公差，，
，．
则最大时，的值为．
故选B．

9.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了等差数列的通项公式及前项和公式，考查了等差数列的性质，属于基础题．
设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式结合已知条件，可推出，即可得解．

【解答】

解：设等差数列的公差为，
，
，
即，
，
．
故选C．

10.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了等差数列的通项公式及其前项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
等差数列的前项和有最大值，可得：，，由于，可得，可得，，，再利用前项和公式即可得出．

【解答】

解：等差数列的前项和有最大值，
，．
，
，
，，，
，
，
故当时，取得最小正值，
故选C．

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了函数的性质、等差数列的通项公式及其前项和公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由题必要性显然成立，再利用与的关系，证明充分性即可．
【解答】
解：当数列是等差数列，则，
必要性显然成立；
若，所以当时，，
所以，
化简得，，
所以当时，，，
由得，
所以，
即数列是等差数列．
充分性成立．
故“”是“数列是等差数列”的充要条件．
故选C  

12.【答案】
 

【解析】

【试题解析】

【分析】
本题主要考查数列的递推公式，等差数列的判定，等差数列的通项公式以及求和公式，数列的函数特征，利用导数研究函数的单调性，属于难题．
根据递推公式求出数列的通项公式，利用等差数列的定义证明其为等差数列，利用求和公式求出，即可求出数列的通项公式，
利用导数研究其最小项．
【解答】
解：，
，，
，
整理得，
，
，
数列是首项为，公差为的等差数列，
，
，
设，
则，
令解得，
令解得，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
又，
则，
故数列的最小项为．
故选A．
 

13.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查等差数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
由等差中项解得，得到数列的首项和公差，再由求和公式解得；运用等差数列的定义和通项公式、求和公式，即可得到所求结论．

【解答】

解：依题意得，
由，得，即，所以公差，
．
由，得，解得或 舍去，故．
由，得，
数列是首项为，公差为的等差数列，
所以数列的前项的和．
故答案为 ；

14.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查等差数列的应用，属于中档题．

由题意可知，，解得，，再由计算可得解．

【解答】

解：将自上而下各节竹子的容积分别记为，，，，设数列的公差为，

依题意可得，，

即，，
由，解得，，

故升
故答案为．

15.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查的是数列的递推公式及等差数列求和问题，属于中档题．
对，令求，再由得，结合等差数列的性质及求和公式求解即可．
【解答】
解：因为，当时，得，

由得，

故为等差数列，设公差为．

又，对任意的，当时，都有，故，

即，又，
可得，，所以的取值范围为，
故答案为；．

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查等差数列通项公式，前项和公式，属于基础题．
设从第天开始，每天比前一天多织尺布，由等差数列前项和公式求出，由此利用等差数列通项公式能求出的值．

【解答】

解：设从第天开始，每天比前一天多织尺布，
则，
解得，
．
故答案为；．

17.【答案】

【解析】

【分析】

由题分析设由下到上九节容量分别记为，则成等差数列，设公差为，且，，进而求得等差数列基本量，最后带入前项和求和公式求得九节总容量．

本题考查在数学文化中的等差数列求通项公式的基本量与前项和，属于中档题．

【解答】

解：设由下到上九节容量分别记为，则成等差数列，设公差为，
且，，
即，，
所以，，
故．

故答案为：；

18.【答案】解：时，，，
所以数列是等差数列，此时首项，公差，
数列的前项和是，
故，得；
设数列是等比数列，则它的公比，所以，，，   
    若为等差中项，则，即，解得，不合题意；                                     
若为等差中项，则，即，化简得：，解得，舍去；；
若为等差中项，则，即，化简得：，解得；；         
    综上可得，满足要求的实数有且仅有一个，；          
  则，
，，
当是偶数时，
    
       ，
当是奇数时，
    
 ，
也适合上式，     
综上可得，
 

【解析】本题考查数列的递推关系、等差数列的判定、等差数列的前项和、等差数列的定义，考查等比数列的通项公式、分组转化化求和，属于较难题．
时，，进而判定得到数列是等差数列，通过等差数列求和公式得到，根据，得到的方程，解得的值；
先求出等比数列的公比，再对三个数的顺序分类讨论，根据等差中项的定义，得到的方程，解得的值，进而求出的值；
分为奇、偶数，运用求和法即可得到 
 

19.【答案】证明：因为，
所以，
所以，
从而．
因为，所以，
故数列是首项为，公差为的等差数列．
由可知，则，
则，
所以


．
 

【解析】本题主要考查由数列递推公式求出通项公式，等差数列判定，通项公式以及前项和，考查了转化思想的应用，逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
依题意可将递推式转化为，即可得到数列是等差数列．
通过求出数列的通项公式，进一步计算出数列的通项公式，即可得到数列的通项公式，即可求解．
 

20.【答案】解：，依题意，，，
数列，，，构成等差数列，首项为，公差为，
数列，，，构成等差数列，首项为，公差为，
则当为正偶数时，




，
当为正奇数时，
n
,
综上知
．
 

【解析】本题考查数列的求和，涉及到奇偶性分析，属于中档题．
依题意，，，数列，，，构成等差数列，首项为，公差为，数列，，，构成等差数列，首项为，公差为，则当为偶数时，，当为奇数时，，即可求解．
 

21.【答案】解：设该等差数列为，则，，，
所以，即，
解得，公差，
所以．
由得，解得或舍去，
因此，．

证明：由得，
则，

而，
又，
因此数列是首项为，公差为的等差数列，
所以．

【解析】本题考查了等差数列的判定，等差数列的通项公式，等差数列的性质和等差数列的求和，考查了学生的计算能力，属于中档题．
利用等差数列的性质得，解得，公差，再利用等差数列的求和，结合题目条件得，计算得的值； 
利用的结论得，再利用等差数列的概念得是首项为，公差为的等差数列，再利用等差数列的求和，计算得结论．
 

22.【答案】解：等差数列中，公差，，
，
；
，即，
，
是等差数列，
．
 

【解析】本题考查等差数列的通项公式及求和，属于基础题．熟练掌握等差数列的通项公式及求和公式是解决此题的关键．
根据等差数列定义和通项公式即可求解；
求出，根据等差数列的求和公式可得．
 

23.【答案】解：据题意，得，，
，
又据等差数列性质知，，
，
，
又，
，即数列的项数为．
据求解知，，即，
，
．
 

【解析】推导出，由等差数列性质知，，从而，由此能求出数列的项数．
推导出，由此能求出，从而能求出结果．
本题考查数列的项数的求法，考查数列的第项至项的和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．