高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式本章综合与测试当堂达标检测题

第二章测评

(时间:120分钟　满分:150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.不等式-x2-5x+6≥0的解集为(　　)

A.{x|-6≤x≤1} B.{x|2≤x≤3}

C.{x|x≥3,或x≤2} D.{x|x≥1,或x≤-6}

解析:不等式-x2-5x+6≥0可化为x2+5x-6≤0,即(x+6)(x-1)≤0,解得-6≤x≤1,故不等式的解集为{x|-6≤x≤1}.

答案:A

2.已知A={x|x2-2x>0},B=,则A∪B=(　　)

A.{x|1<x<2} B.{x|2<x<3}

C.{x|x<0,或x>1} D.{x|x<0,或1<x<2}

解析:∵A={x|x>2,或x<0},B={x|1<x<3},

∴A∪B={x|x<0,或x>1}.

答案:C

3.李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机,他现在已存有60元.计划从现在起以后每个月节省30元,直到他至少有400元.设x个月后他至少有400元,则可以用于计算所需要的月数x的不等式是(　　)

A.30x-60≥400 B.30x+60≥400

C.30x-60≤400 D.30x+40≤400

解析:设x月后所存的钱数为y,则y=30x+60,由于存的钱数不少于400元,故不等式为30x+60≥400.

答案:B

4.若a<1<b,则下列结论正确的是(　　)

A. B.>1 C.a2<b2 D.ab<a+b

解析:对于A,若a=-2,b=2,则不成立,

对于B,若a=-2,b=2,则不成立,

对于C,若a=-2,b=2,则不成立,

对于D,∵a<1<b,∴a-1<0,b-1>0,

∴(a-1)(b-1)<0,即ab-a-b+1<0,

∴ab+1<a+b,∴ab<a+b,故D成立.

答案:D

5.设函数y=4x+-1(x<0),则y(　　)

A.有最大值3 B.有最小值3

C.有最小值-5 D.有最大值-5

解析:∵x<0,∴-x>0.

∴y=4x+-1=--1≤-4-1=-5,当且仅当x=-时,等号成立.∴y有最大值-5.

答案:D

6.如果a∈R,且a2+a<0,那么a,a2,-a的大小关系为 (　　)

A.a2>a>-a B.-a>a2>a

C.-a>a>a2 D.a2>-a>a

解析:因为a2+a<0,即a(a+1)<0,所以-1<a<0,因此-a>a2>0,有-a>a2>a.故选B.

答案:B

7.已知a>0,b>0,且2a+b=2,则ab的最大值为(　　)

A. B. C.1 D.

解析:∵a>0,b>0,且2a+b=2,

∴ab=×(2a·b)≤,

当且仅当2a=b,且2a+b=2,即a=,b=1时,取得最大值.故选A.

答案:A

8.某人从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(a<b),其全程的平均速度为v,则(　　)

A.v= B.v=

C.a<v< D.<v<

解析:设甲、乙两地的距离为S,往返的速度分别为a=,b=(a<b),则其全程的平均速度为v=,又v>a,故a<v<.

答案:C

9.已知正实数a,b满足4a+b=30,使得取最小值时,实数对(a,b)是(　　)

A.(5,10) B.(6,6) C.(10,5) D.(7,2)

解析:∵a,b>0,

∴(4a+b)5+≥(5+2)=,当且仅当时,取“=”.

这时a=5,b=10.

答案:A

10.已知不等式ax2+5x+b>0的解集是{x|2<x<3},则不等式bx2-x-a>0的解集是(　　)

A. B.

C.{x|x<-3,或x>-2} D.{x|-3<x<-2}

解析:因为不等式ax2+5x+b>0的解集是{x|2<x<3},所以a<0,且方程ax2+5x+b=0的实数根为2和3,所以解得a=-1,b=-6.

所以不等式bx2-x-a>0为-6x2-x+1>0,

即6x2+x-1<0,解得-<x<.

所以不等式bx2-x-a>0的解集是x<x<.

答案:A

11.已知函数y=(x<-2),则函数y(　　)

A.有最小值-2 B.有最小值2

C.有最大值-2 D.有最大值-6

解析:∵x<-2,

∴x+2<0,令x+2=t,则t<0.

∵y=,

∴y==t+-4

=--4≤-2-4=-6,

当且仅当t=,且t<0,即t=-1,从而有x=-3时取最大值-6.故选D.

答案:D

12.设a>0,b>0,则下列不等式中不一定成立的是(　　)

A.a+b+≥2 B.

C.≥a+b D.(a+b)≥4

解析:∵a>0,b>0,

∴a+b+≥2≥2,当且仅当a=b,且2,即a=b=时,取等号,故A成立;

∵a+b≥2>0,∴,当且仅当a=b时,取等号,

∴不一定成立,故B不成立;

∵,当且仅当a=b时,取等号,

∴=a+b-≥2,当且仅当a=b时,取等号,

∴,∴≥a+b,故C一定成立;

∵(a+b)=2+≥4,当且仅当a=b时,取等号,故D一定成立.故选B.

答案:B

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)

13.设M=5a2-a+1,N=4a2+a-1,则M,N的大小关系为　　　　　. 

解析:∵M-N=5a2-a+1-(4a2+a-1)=a2-2a+2=(a-1)2+1≥1>0,∴M>N.

答案:M>N

14.已知关于x的不等式x2-x+a-1≥0在R上恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　. 

解析:因为关于x的不等式x2-x+a-1≥0在R上恒成立,所以其对应二次函数的图象与x轴最多有一个交点,所以判别式Δ=(-1)2-4(a-1)≤0,解得a≥.

答案:a≥

15.已知方程ax2+bx+1=0的两个根为-,3,则不等式ax2+bx+1>0的解集为　　　　　. 

解析:根据题意,方程ax2+bx+1=0的两个根为-,3,则有×3=,解得a=-<0,

则ax2+bx+1>0⇒-<x<3,

即不等式的解集为.

答案:

16.下列命题:

①设a,b是非零实数,若a<b,则ab2>a2b;②若a<b<0,则;③函数y=的最小值是2;④若x,y是正数,且=1,则xy的最小值是16.

其中正确的是　　　　　.(填序号) 

解析:①中ab2-a2b=ab(b-a).

由于a,b符号不定,故上式符号无法确定,故①不对.

②中在a<b两边乘正数,得,故②对.

③中y=≥2,但由,得x2+2=1无解,故③不对.

④中,∵=1≥2,∴xy≥16,即④对.

答案:②④

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)已知a>0,b>0,且a≠b,比较与a+b的大小.

解:∵-(a+b)=-b+-a

==(a2-b2)

=(a2-b2),

又a>0,b>0,a≠b,

∴(a-b)2>0,a+b>0,ab>0,

∴-(a+b)>0,∴>a+b.

18.(本小题满分12分)解关于x的不等式56x2+ax-a2<0.

解:原不等式可化为(7x+a)(8x-a)<0,

即<0.

①当-,即a>0时,-<x<;

②当-,即a=0时,原不等式的解集为⌀;

③当-,即a<0时,<x<-.

综上可知,当a>0时,原不等式的解集为;

当a=0时,原不等式的解集为⌀;

当a<0时,原不等式的解集为xx<-.

19.(本小题满分12分)(1)已知式子,

求使式子有意义的x的取值集合;

(2)已知函数y=x2-4ax+a2(a∈R),关于x的不等式y≥x的解集为R,求实数a的取值范围.

解:(1)由≥0,得3+2x-x2>0,解得-1<x<3,故使式子有意义的x的取值集合是{x|-1<x<3}.

(2)∵y≥x的解集为R,

∴当x∈R时,x2-(4a+1)x+a2≥0恒成立.

∴Δ=(4a+1)2-4a2≤0,即12a2+8a+1≤0,

即(2a+1)(6a+1)≤0,∴-≤a≤-,

∴a的取值范围为.

20.(本小题满分12分)已知关于x的不等式<0的解集为M.

(1)若3∈M,且5∉M,求实数a的取值范围.

(2)当a=4时,求集合M.

解:(1)由3∈M,知<0,解得a<或a>9;

若5∈M,则<0,解得a<1或a>25.

则由5∉M,知1≤a≤25,因此所求a的取值范围是1≤a<或9<a≤25.

(2)当a=4时,<0.

<0⇔

⇔

⇔<x<2或x<-2.

故M=.

21.(本小题满分12分)证明不等式:a,b,c∈R,a4+b4+c4≥abc(a+b+c).

证明:∵a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2,

∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2),

即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.

又a2b2+b2c2≥2ab2c,b2c2+c2a2≥2abc2,

c2a2+a2b2≥2a2bc,

∴2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2(ab2c+abc2+a2bc),

即a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).

∴a4+b4+c4≥abc(a+b+c).

22.(本小题满分12分)某商店预备在一个月内分批购买每张价值为20元的书桌共36张,每批都购入x张(x是正整数),且每批均需付运费4元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入4张,则该月需用去运费和保管费共52元,现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费.

(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用y;

(2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.

解:(1)设题中比例系数为k,若每批购入x张,则共需分批,每批价值20x.

由题意,y=·4+k·20x,

由x=4时,y=52,

得k=.

故y=+4x(0<x≤36,x∈N*).

(2)可以使资金够用.理由如下:

由(1)知y=+4x(0<x≤36,x∈N*),

则y≥2=48(元).

当且仅当=4x,即x=6时,上式等号成立.

故只需每批购入6张书桌,可以使资金够用.