高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示当堂达标检测题

四　空间直角坐标系

(15分钟　30分)

1．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是(　　)

A．向量的坐标与点B的坐标相同

B．向量的坐标与点A的坐标相同

C．向量的坐标与向量的坐标相同

D．向量的坐标与向量－的坐标相同

【解析】选D.因为＝－，所以向量的坐标与向量－的坐标相同．

2．已知三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且PA＝AB＝AC＝1.如图建立空间直角坐标系Axyz.设G为△PBC的重心，则的坐标为(　　)

A．        B．

C．        D．

【解析】选D.由题意，可知B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1).取BC的中点M，则M.连接PM.

因为G为△PBC的重心，设G的坐标为(x，y，z)，

由＝，得(x，y，z－1)＝，从而得G.则＝.

3．设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，则向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k的坐标分别是________．

【解析】因为{i，j，k}是单位正交基底，根据空间向量坐标的概念知a＝(3，2，－1)，b＝(－2，4，2).

答案：(3，2，－1)，(－2，4，2)

4．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，建立如图所示的空间直角坐标系，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1，则的坐标为________．

【解析】因为PA＝AD＝AB＝1，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，所以M，P(0，0，1)，C(－1，1，0)，

则N，所以＝.

答案：

5．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝3，DC＝5，DD1＝4，在如图建立的空间直角坐标系中，求点B1与向量的坐标．

【解析】记x，y，z轴正方向上的单位向量分别为i，j，k，则＝3i，＝5j，＝4k，所以＝＋＋＝＋＋＝3i＋5j＋4k＝(3，5，4)，

即B1的坐标为(3，5，4).

＝＋＋＝－＋

＝5j－3i＋4k＝－3i＋5j＋4k＝(－3，5，4).

(20分钟　40分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．点M(－1，3，－4)在坐标平面Oxy，Oxz，Oyz内的射影的坐标分别是(　　)

A．(－1，3，0)，(－1，0，－4)，(0，3，－4)

B．(0，3，－4)，(－1，0，－4)，(0，3，－4)

C．(－1，3，0)，(－1，3，－4)，(0，3，－4)

D．(0，0，0)，(－1，0，0)，(0，2，30)

【解析】选A.点M在平面Oxy，Oxz，Oyz内的射影的坐标中，分别是竖坐标、纵坐标、横坐标为0(其余的坐标不变).

2．已知在长方体ABCD­A1B1C1D1中，向量a在基底{，， }下的坐标为(2，1，－3)，则向量a在基底{，， }下的坐标为(　　)

A．(2，1，－3)       B．(－1，2，－3)

C．(1，－8，9)       D．(－1，8，－9)

【解析】选B.因为a＝2＋－3＝2－－3＝－＋2－3，所以向量a在基底{，，}下的坐标为(－1，2，－3).

3．设{i，j，k}是单位正交基底，已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基底{i，j，k}下的坐标是

(　　)

A．(12，14，10)       B．(10，12，14)

C．(14，12，10)       D．(4，3，2)

【解析】选A.依题意，知p＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，故向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(12，14，10).

4．已知向量和在基底{a，b，c}下的坐标分别为(3，4，5)和(0，2，1)，若＝，则向量在基底{a，b，c}下的坐标是(　　)

A．       B．

C．        D．

【解析】选A.因为＝－＝(2b＋c)－(3a＋4b＋5c)＝－3a－2b－4c，所以＝＝－a－b－c，所以向量在基底{a，b，c}下的坐标是.

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．若四边形ABCD为平行四边形，且A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C(3，7，－5)，则顶点D的坐标为________．

【解析】由四边形ABCD是平行四边形知＝，

设D(x，y，z)，则＝(x－4，y－1，z－3)，＝(1，12，－6)，所以解得

即D点坐标为(5，13，－3).

答案：(5，13，－3)

6．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2，1，－1)，则p在基底{2a，b，－c}下的坐标为________；在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为________．

【解析】由题意知p＝2a＋b－c，则向量p在基底{2a，b，－c}下的坐标为(1，1，1).

设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，又因为p＝2a＋b－c，

所以解得x＝，y＝，z＝－1，所以p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为.

答案：(1，1，1)　

三、解答题

7．(10分)如图，在正四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，O是AC与BD的交点，PO＝1，M是PC的中点．设＝a，＝b，＝c.

(1)用向量a，b，c表示.

(2)在如图的空间直角坐标系中，求的坐标．

【解析】(1)因为＝＋，＝，＝

，＝－，＝＋，

所以＝＋(－)＝＋－(＋)＝－＋＋＝－a＋b＋c.

(2)设a＝i，b＝j，z轴上的单位向量为k，则c＝i＋j＋k，所以＝－i＋j＋i＋j＋k＝－i＋j＋k＝.