北师大版必修1第三章 指数函数和对数函数1正整数指数函数习题

指数函数及其性质

[A组　学业达标]

1．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝－1.5，则(　　)

A．y1＞y2＞y3  B．y1＞y3＞y2

C．y2＞y1＞y3  D．y3＞y1＞y2

解析：y1＝40.9＝(22)0.9＝21.8，y2＝80.48＝(23)0.48＝21.44，y3＝－1.5＝(2－1)－1.5＝21.5.由于函数y＝2x在R上是增函数，又1.44＜1.5＜1.8，则21.44＜21.5＜21.8，即y1＞y3＞y2.

答案：B

2．函数f(x)＝x在[－1,0]上的最大值是(　　)

A．－1      B．0       C ．1  D．3

解析：函数f(x)＝x在[－1,0]上是减函数，则最大值是f(－1)＝－1＝3.

答案：D

3．函数y＝x2－2的单调递减区间为(　　)

A．(－∞，0]  B．[0，＋∞)

C．(－∞，]  D．[，＋∞)

解析：函数y＝u在R上为减函数，欲求函数y＝x2－2的单调递减区间，只需求函数u＝x2－2的单调递增区间，而函数u＝x2－2的单调递增区间为[0，＋∞)，故所求单调递减区间为[0，＋∞)．

答案：B

4．若0＜a＜1，b＜－1，则函数f(x)＝ax＋b的图像不经过(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：∵b＜－1，∴f(x)＝ax＋b的图像可以看做把y＝ax(0＜a＜1)的图像向下平移－b个单位如图所示：

故f(x)＝ax＋b(0＜a＜1，b＜－1)一定不过第一象限．

答案：A

5．方程4x＋1－4＝0的解是x＝________.

解析：4x＋1－4＝0⇒4x＋1＝4⇒x＋1＝1，∴x＝0.

答案：0

6．当x∈[－1,2)时，y＝3－x－1的值域是________．

解析：∵x∈[－1,2)，且y＝3－x－1＝x－1在[－1,2)上为减函数，∴当x＝－1时，ymax＝3－1＝2；当x＝2时，ymin＞2－1＝－.

∴y＝3－x－1的值域为.

答案：

7．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗________次．

解析：设原来污垢数为1个单位，则经过第一次漂洗，存留量为原来漂洗后的；经过第二次漂洗，存留量为原来的，也就是原来的2；经过第三次漂洗，存留量为原来的3……经过第x次漂洗，存留量为原来的x，故解析式为y＝x.由题意，x≤，4x≥100，

2x≥10，∴x≥4，即至少漂洗4次．

答案：4

8．若函数f(x)＝ax－1(a＞0，且a＝1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值．

解析：当a＞1时，f(x)在[0,2]上单调递增，

∴即∴a＝±.

又a＞1，∴a＝.

当0＜a＜1时，f(x)在[0,2]上单调递减，

∴即a无解．综上所述，a＝.

9．已知函数f(x)＝1－是奇函数．

(1)求a的值，并用定义证明f(x)是R上的增函数；

(2)当x∈[－1,2]时，求函数的值域．

解析：(1)法一：∵函数f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即1－＝－1＋，解得a＝2.

法二：∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，

∴f(0)＝0，即1－＝0，解得a＝2.

证明：∵a＝2，∴f(x)＝1－.

设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1＜x2，

则f(x2)－f(x1)＝1－－

＝.

∵x1＜x2，∴3x2－3x1＞0.又3x1＋1＞0,3x2＋1＞0，

∴f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)．

∴f(x)是R上的增函数．

(2)由(1)知f(x)在[－1,2]上单调递增，∴函数的最大值为f(2)＝，函数的最小值为f(－1)＝－.故函数的值域为.

[B组　能力提升]

10．已知函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有＜0成立，则a的取值范围是(　　)

A.  B．(0,1)  C.  D．(0,3)

解析：由于函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有＜0成立，所以该函数为R上的减函数，所以

答案：A

11．设f(x)是定义在实数集R上的函数，满足条件：y＝f(x＋1)是偶函数，且当x≥1时，f(x)＝5x，则f，f，f的大小关系是(　　)

A．f＜f＜f

B．f＜f＜f

C．f＜f＜f

D．f＜f＜f

解析：∵y＝f(x＋1)是偶函数，∴y＝f(x＋1)的对称轴为x＝0，∴y＝f(x)的对称轴为x＝1.

又x≥1时，f(x)＝5x，

∴f(x)＝5x在[1，＋∞)上是增函数，

∴f(x)在(－∞，1]上是减函数．

∵f＝f，且＞＞，

∴f＜f＜f，

即f＜f＜f.

答案：D

12．已知函数f(x)＝|x－1|，则f(x)的单调递增区间是________．

解析：法一：由指数函数的性质可知f(x)＝x在定义域上为减函数，故要求f(x)的单调递增区间，只需求y＝|x－1|的单调递减区间．

又y＝|x－1|的单调递减区间为(－∞，1]，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，1]．

法二：f(x)＝|x－1|＝

可画出f(x)的图像(图略)求其单调递增区间为(－∞，1]．

答案：(－∞，1]

13．若函数y＝x－1＋m的图像不经过第一象限，则m的取值范围是________．

解析：将函数y＝x图像向右平移1个单位长度得到函数y＝x－1的图像(如图所示过点(0,2))，当m＜0时，再向下平移|m|个单位长度就可以得到函数y＝x－1＋m的图像．要使y＝x－1＋m的图像不经过第一象限，需要有m≤－2.

答案：m≤－2

14．1980年我国人均收入为255美元，到2000年人民生活达到小康水平，人均收入为817美元，则年平均增长率是多少(精确到1%)？若以不低于此增长率的速度递增，则到2020年人均收入至少为多少美元？(精确到1美元)．

解析：设年平均增长率是x.由题意，得y＝255×(1＋x)n，

因为到2 000年人均收入为817美元，

即n＝2 000－1 980＝20时，y＝817，

所以817＝255×(1＋x)20，所以x≈0.06.

到2 020年，即n＝2 020－1 980＝40，

此时y≈255×(1＋0.06)40≈2 623(美元)．

年平均增长率约是6%，若以不低于此增长率的速度递增，则到2 020年人均收入至少约是2 623美元．

15．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．

(1)求实数a的值．

(2)已知不等式f＋f(－1)＞0恒成立，求实数m的取值范围．

解析：(1)因为f(x)是奇函数，且定义域为R，

令x＝0，则f(0)＝0，即＝0，所以a＝1.

所以f(x)＝.

(2)因为f(x)是奇函数，

从而不等式f＋f(－1)＞0.

等价于f＞－f(－1)＝f(1)．

易知f(x)为减函数，由上式推得logm＜1＝logmm.

因此当0＜m＜1时，上式等价于＞m.∴0＜m＜；

当m＞1时，上式等价于＜m，∴m＞1.

综上知m∈∪(1，＋∞)．