北师大版必修15.3对数函数的图像和性质测试题

习题课—对数函数的图像及其性质的应用

[A组　学业达标]

1．如果那么(　　)

A．y＜x＜1  B．x＜y＜1

C．1＜x＜y  D．1＜y＜x

解析∵0＜＜1，∴x＞y＞1.

答案：D

2．函数f(x)＝的定义域为(　　)

A．(3,5]  B．[－3,5]

C．[－5,3)  D．[－5，－3]

解析：要使函数有意义，则3－log2(3－x)≥0，

即log2(3－x)≤3，∴0＜3－x≤8，∴－5≤x＜3.

答案：C

3．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝则f(3)的值为(　　)

A．－1  B．－2

C．1  D．2

解析：f(3)＝f(2)－f(1)＝[f(1)－f(0)]－f(1)＝－f(0)＝－log24＝－2.

答案：B

4．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若f(α)＝1，则α＝(　　)

A．0  B．1  C．2  D．3

解析：log2(α＋1)＝1，∴α＋1＝2，∴α＝1.

答案：B

5．函数f(x)＝log(5－4x－x2)的值域为(　　)

A．[2，＋∞)  B．(－∞，－2]

C．[－2，＋∞)  D．(－∞，2]

解析：u＝5－4x－x2＝－(x＋2)2＋9∈(0,9]，

而y＝logu在(0,9]上为减函数，∴y≥log9＝－2.

答案：C

6．设函数f(x)＝f·lg x＋1，则f(10)＝________.

解析：令x＝10，得f(10)＝f＋1①，令x＝，

得f＝f(10)·(－1)＋1②，由①②得f(10)＝1.

答案：1

7．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a＝________.

解析：当a＞1时，f(x)单调递增；当0＜a＜1时，f(x)单调递减，∴最大值与最小值的和均为f(0)＋f(1)＝a0＋loga1＋a＋loga2＝1＋a＋loga2.∴1＋a＋loga2＝a，即loga2＝－1，a＝.

答案：

8．若f(x)＝log3(3x＋1)＋ax是偶函数，则a的值为________．

解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－1)＝f(1)，

即log3－a＝log34＋a.解得a＝－1.

答案：－1

9．已知函数f(x)＝loga(x＋1)(a＞0，且a≠1)，g(x)＝loga(4－2x)(a＞0，且a≠1)．

(1)求函数f(x)－g(x)的定义域；

(2)求使函数f(x)－g(x)的值为正数时x的取值范围．

解析：(1)由题意可知，f(x)－g(x)＝loga(x＋1)－loga(4－2x)，要使函数f(x)－g(x)有意义，

则解得－1＜x＜2.

故函数f(x)－g(x)的定义域是(－1,2)．

(2)令f(x)－g(x)＞0，得f(x)＞g(x)，

即loga(x＋1)＞loga(4－2x)．

当a＞1时，可得x＋1＞4－2x，解得x＞1.

由(1)知－1＜x＜2，∴1＜x＜2；

当0＜a＜1时，可得x＋1＜4－2x，解得x＜1，

由(1)知－1＜x＜2，∴－1＜x＜1.

综上所述，当a＞1时，x的取值范围是(1,2)；

当0＜a＜1时，x的取值范围是(－1,1)．

10．若－3≤≤－，求f(x)＝·的最值．

解析：f(x)＝·

＝(log2x－1)(log2x－2)

＝(log2x)2－3log2x＋2.

令log2x＝t，∵－3≤logx≤－，

∴－3≤－log2x≤－，

∴≤log2x≤3.∴t∈.

∴f(x)＝g(t)＝t2－3t＋2＝2－.

∴当t＝时，g(t)取最小值－；

此时，log2x＝，x＝2；

当t＝3时，g(t)取最大值2，

此时，log2x＝3，x＝8.

综上，当x＝2时，f(x)取最小值－；

当x＝8时，f(x)取最大值2.

[B组　能力提升]

11．已知函数f(x)＝的值域为[－1,1]，则函数f(x)的定义域是(　　)

A.  B．[－1,1]

C.   D.∪[，＋∞)

解析：由题意，知－1≤≤1，

∴－≤≤.

∵0＜＜1，∴≤x≤－，

即≤x≤.

答案：A

12．已知函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，g(x)＝－f(|x|)，若g(lg x)＞g(1)，则x的取值范围是(　　)

A.  B．(0,10)

C．(10，＋∞)   D.∪(10，＋∞)

解析：因为g(lg x)＞g(1)，所以f(|lg x|)＜f(1)．

又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以0≤|lg x|＜1，

解得＜x＜10.

答案：A

13．已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f＝0，则不等式f(log4x)＜0的解集是________．

解析：由题意可知，f(log4x)＜0⇔－＜log4x＜⇔

答案：

14．若函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a的值为________．

解析：当0＜a＜1时，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

∴f(x)在[a,2a]上的最小值为loga(2a)，

最大值为logaa，∴logaa＝3loga(2a)，

∴loga(2a)＝，即＝2a，a＝8a3，∴a2＝，a＝.

当a＞1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，

∴f(x)在[a,2a]上的最小值为logaa，最大值为loga(2a)，

∴loga(2a)＝3logaa，∴loga(2a)＝3，

即a3＝2a，∴a2＝2，a＝.故a的值为或.

答案：或

15．已知函数f(x)＝lg(3x－3)．

(1)求函数f(x)的定义域和值域；

(2)设函数h(x)＝f(x)－lg(3x＋3)，若不等式h(x)＞t无解，求实数t的取值范围．

解析：(1)由3x－3＞0，得x＞1，

所以f(x)的定义域为(1，＋∞)．

因为(3x－3)∈(0，＋∞)，

所以函数f(x)的值域为R.

(2)因为h(x)＝lg(3x－3)－lg(3x＋3)＝lg＝

lg的定义域为(1，＋∞)，

且h(x)在(1，＋∞)上是增函数，

所以函数h(x)的值域为(－∞，0)．

若不等式h(x)＞t无解，

则t的取值范围为t≥0.

16．已知函数f(x－1)＝lg.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)解关于x的不等式：f(x)≥lg(3x＋1)．

解析：(1)令t＝x－1，则x＝t＋1.

由题意知＞0，即0＜x＜2，则－1＜t＜1.

所以f(t)＝lg＝lg.

故f(x)＝lg(－1＜x＜1)．

(2)lg≥lg(3x＋1)⇔≥3x＋1＞0.

由3x＋1＞0，得x＞－.

因为－1＜x＜1，所以1－x＞0.

由≥3x＋1，得x＋1≥(3x＋1)(1－x)，

即3x2－x≥0，x(3x－1)≥0，

解得x≥或x≤0.

又x＞－，－1＜x＜1，

所以－＜x≤0或≤x＜1.

故原不等式的解集为∪.