高中数学北师大版必修15简单的幂函数测试题

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5 简单的幂函数[A组　学业达标]1．函数y＝(　　)A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数解析：由题易知定义域是(－∞，－4)∪(－4，＋∞)，不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数又不是偶函数．答案：D2．函数f(x)＝－x的图像关于(　　)A．坐标原点对称  B．x轴对称C．y轴对称  D．直线y＝x对称解析：∵函数f(x)的定义域关于原点对称，又f(－x)＝＋x＝－＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．故其图像关于坐标原点对称．答案：A3．已知偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)A．f(π)＞f(－3)＞f(－2)B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)解析：∵f(x)在R上是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)．而2＜3＜π，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∴f(2)＜f(3)＜f(π)．∴f(－2)＜f(－3)＜f(π)．故选A.答案：A4．已知当x＞0时，f(x)＝x－2 015，且知f(x)在定义域上是奇函数，则当x＜0时，f(x)的解析式是(　　)A．f(x)＝x＋2 015  B．f(x)＝－x＋2 015C．f(x)＝－x－2 015  D．f(x)＝x－2 015解析：若x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝－x－2 015.因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝x＋2 015.故选A.答案：A5．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，那么f(2)＝________.解析：f(－2)＝(－2)5＋a·(－2)3＋b·(－2)－8＝10，∴25＋a·23＋2b＝－18.∴f(2)＝25＋a·23＋2b－8＝－26.答案：－266．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)＝________.解析：f(6)＝f(4＋2)＝－f(4)＝－f(2＋2)＝f(2)＝f(0＋2)＝－f(0)．又f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－0)＝－f(0)．∴f(0)＝0.∴f(6)＝0.答案：07．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图像如图，则使函数值y＜0的x的取值集合为________．解析：利用奇函数图像的性质，画出函数在[－5,0]上的图像，直接从图像中读出信息．则原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图像关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0,5]上的图像，知它在[－5,0]上的图像，如图所示，由图像知，使函数值y＜0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．答案：(－2,0)∪(2,5)8．已知函数f(x)＝(a，b，c∈Z)是奇函数，又f(1)＝2，f(2)＜3，求a，b，c的值．解析：∵函数f(x)＝是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．因此，有＝－，∴c＝－c，即c＝0.又f(1)＝2，∴a＋1＝2b.由f(2)＜3，得＜3，即＜0，解得－1＜a＜2.∵ a，b，c∈Z，∴a＝0或a＝1.当a＝0时，b＝∉Z(舍去)．当a＝1时，b＝1.综上可知，a＝1，b＝1，c＝0.9．已知f(x)为奇函数，且当x＜0时，f(x)＝x2＋3x＋2.若当x∈[1,3]时，f(x)的最大值为m，最小值为n，求m－n的值．解析：∵当x＜0时，f(x)＝x2＋3x＋2，且f(x)是奇函数，∴当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝x2－3x＋2.故当x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝3x－x2－2.∴当x∈时，f(x)是增函数；当x∈时，f(x)是减函数．因此当x∈[1,3]时，f(x)max＝f＝，f(x)min＝f(3)＝－2.∴m＝，n＝－2，从而m－n＝.[B组　能力提升]10．若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f与f的大小关系是(　　)A．f＞fB．f＜fC．f≥fD．f≤f解析：因为a2＋2a＋＝(a＋1)2＋≥，又f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，所以f＝f≥f.答案：C11．已知定义域为R的函数f(x)在区间(8，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋8)为偶函数，则(　　)A．f(6)＞f(7)  B．f(6)＞f(9)C．f(7)＞f(9)  D．f(7)＞f(10)解析：由题易知y＝f(x＋8)为偶函数，则f(－x＋8)＝f(x＋8)，则f(x)的图像的对称轴为x＝8.不妨画出符合已知条件的一个函数的大致图像(如图)，则有f(6)＜f(7)，f(6)＝f(10)＜f(9)，f(7)＝f(9)＞f(10)．故选D.答案：D12．已知函数f(x)和g(x)均为奇函数，h(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在区间(0，＋∞)上有最大值5，那么h(x)在(－∞，0)上的最小值为________．解析：法一：令F(x)＝h(x)－2＝af(x)＋bg(x)，则F(x)为奇函数．∵当x∈(0，＋∞)时，h(x)≤5，F(x)＝h(x)－2≤3.当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，∴F(－x)≤3⇔－F(x)≤3⇔F(x)≥－3.∴h(x)≥－3＋2＝－1.法二：由题意知af(x)＋bg(x)在(0，＋∞)上有最大值3，根据奇函数的图像关于原点的对称性，知af(x)＋bg(x)在(－∞，0)上有最小值－3，∴af(x)＋bg(x)＋2在(－∞，0)上有最小值－1.答案：－113．设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f(2a2＋a＋1)＜f(2a2－2a＋3)，求a的取值范围．解析：由f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，可知f(x)在(0，＋∞)上递减．∵2a2＋a＋1＝22＋＞0，2a2－2a＋3＝22＋＞0，且f(2a2＋a＋1)＜f(2a2－2a＋3)，∴2a2＋a＋1＞2a2－2a＋3，即3a－2＞0，解得a＞，∴a的取值范围为.14．函数f(x)＝是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且f＝.(1)求实数a，b，并确定函数f(x)的解析式；(2)判断f(x)在(－1,1)上的单调性，并且用定义证明你的结论．解析：(1)根据题意得即解得∴f(x)＝.(2)任取－1＜x1＜x2＜1，f(x1)－f(x2)＝－＝.∵－1＜x1＜x2＜1，∴x1－x2＜0，1＋x＞0，1＋x＞0.又∵－1＜x1x2＜1，∴1－x1x2＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在(－1,1)上是增函数．