高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理学案

空间向量的基本定理

【学习目标】

1．了解共线向量的概念，向量与平面平行的意义；

2．理解共线、共面和空间向量的分解定理，并能利用它们解决简单问题。

【学习重难点】

1．空间向量的基本定理及应用；

2．空间向量的基本定理唯一性的理解。

【学习过程】

一、思考问题

1．共线（平行）向量：                                                         

2．共线向量定理：                                                                                                                                           

思考一：类比平面中的平行向量基本定理能否得到空间向量共线的条件？

3．向量与平面平行：

（1）已知平面和向量，作，如果              ，那么我们说向量平行于平面，记作：。

（2）通常我们                           的向量，

叫做共面向量。 

思考二：空间任意的两向量都是共面的。那么任意三个向量呢？

任意三个向量满足什么条件才能共面呢？

4．共面向量定理：

如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是：                                                                                                         

思考三：怎样证明？

5．空间向量分解定理：

定理：                                                                        

①线性表示式                                                      

②基底                                                                                                                                           

③基向量                                                                                                  

思考四：怎样证明？

由定理的证明过程可以得到下面的推论：

设O、A．B．C是不共面的四个点，则对空间任一点P，都存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使。

说明：若x＋y＋z＝１，则根据共面向量定理得：P、A．B．C四点共面。

二、例题：

例1．已知斜三棱柱，设，，。在面对角线上和棱上分别取点M和N，使，( )。求证：与向量和共面。

变式：已知，证明这三个向量共面

例2． 如图，在正方体中，，点E是AB与OD的交点，M是OD与CE的交点，试分别用向量表示和

变式：在长方体中，以，为基底表示

例3   如图，已知空间四边形，其对角线，分别是对边的中点，点在线段上，且，用基底向量表示向量

变式：在平行六面体中，E，F分别是棱的中点，以，，

三、当堂检测

1．下列说法正确的是（  ）

A．与非零向量共线，与共线，则与共线

B．任意两个相等向量不一定共线

C．任意两个共线向量相等

D．若向量与共线，则

2．下列三个命题，真命题个数是（    ）个。

（1）三个非零向量不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面。

（2）两个向量 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则 共线。

（3） 是两个不共线向量，而（x，y为非零实数），则 ，构成空间的一个基底

3．已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是 (　　)

A．a  B．b   C．a＋2b    D．a＋2c

4． 在四面体O—ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)

5．已知分别是空间四边形边的中点，

（1）用向量法证明：四点共面；

（2）。用 为基底表示

6．已知，，若，求实数的值。

7．变式：已知平行四边形ABCD，从平面外一点引向量

，

求证：四点共面；

8．如图所示，在平行六面体中，E、F分别在

和上，且，

（1）证明：、、、四点共面；

（2）若，求x＋y＋z。