2019-2020学年广东省深圳市罗湖区九上期中数学试卷

这是一份2019-2020学年广东省深圳市罗湖区九上期中数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 已知 x=1 是方程 x2−2x+c=0 的一个根，则实数 c 的值是
A. −1B. 0C. 1D. 2

2. 如图，是一种氮气弹簧零件的实物图，可以近似看成两个圆柱对接而成，其左视图是
A. B.
C. D.

3. 为了估计湖里有多少条鱼，先从湖里捕捞 100 条鱼做上标记，然后放回池塘去，经过一段时间，带有标记的鱼完全混合于鱼群后，小刚又从湖里捕捞 200 条鱼，发现有 15 条有标记，那么你估计池塘里有多少条鱼
A. 1333 条B. 3000 条C. 300 条D. 1500 条

4. 下列说法错误的是
A. 高矮不同的两个人在同一盏路灯下同一时刻的影子有可能一样长
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 方程 x2=x 的根是 x1=0，x2=1
D. 对角线相等的平行四边形是矩形

5. 受全国生猪产能下降影响，深圳市猪肉价格自 5 月份开启持续上涨通道，8 月份至今创历年新高．某超市 8 月份价格平均 25 元/斤，10 月份 36 元/斤，求该超市这两个月猪肉价格平均每月的增长率，设两个月该超市猪肉价格的月平均增长率为 x，则可列方程
A. 251+x2=36B. 251+2x=36
C. 251+x2=36D. 25+x2=36

6. 如图是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形 ABCD 内，点 E 是 AB 的黄金分割点，BE>AE，若 AB=2a，则 BE 长为
A. 5+1aB. 5−1aC. 3−5aD. 5−2a

7. 如图，△ABC 与 △ADE 相似，且 ∠ADE=∠B，则下列比例式中正确的是
A. AEBE=ADDCB. AEAB=ABACC. ADAC=ABAED. AEAC=DEBC

8. 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 相交于点 O，DH⊥AB 于点 H，连接 OH，若 ∠DHO=20∘，则 ∠ADC 的度数是
A. 120∘B. 130∘C. 140∘D. 150∘

9. 《代数学》中记载，形如 x2+10x=39 的方程，求正数解的几何方法是：“如图 1，先构造一个面积为 x2 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为 52x 的矩形，得到大正方形的面积为 39+25=64，则该方程的正数解为 8−5=3．”小聪按此方法解关于 x 的方程 x2+6x+m=0 时，构造出如图 2 所示的图形，已知阴影部分的面积为 36，则该方程的正数解为
A. 6B. 35−3C. 35−2D. 35−32

10. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=12，BC=16，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 B 与点 D 重合，则折痕 EF 的长为
A. 14B. 192C. 252D. 15

11. 如图所示，在 Rt△ABC 中，∠B=90∘，AC=60 cm，∠A=60∘，点 D 从点 C 出发沿 CA 方向以 4 cm/s 的速度向点 A 匀速运动，同时点 E 从点 A 出发沿 AB 方向以 2 cm/s 的速度向点 B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点 D，E 运动的时间是 t s（0A. 20B. 15C. 10D. 5

12. 如图所示，点 P 是边长为 2 的正方形 ABCD 的对角线 BD 上的动点，过点 P 分别作 PE⊥BC 于点 E，PF⊥DC 于点 F，连接 AP 并延长，交射线 BC 于点 H，交射线 DC 于点 M，连接 EF 交 AH 于点 G，当点 P 在 BD 上运动时（不包括 B，D 两点），以下结论中：
① MF=MC；
② AP=EF；
③ AH⊥EF；
④ AP2=PM⋅PH；
⑤ EF 的最小值是 2．
其中正确结论有
A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个

二、填空题（共4小题；共20分）
13. 已知 ab=cd=23，若 b+d≠0，则 a+cb+d= ．

14. 已知 x2−3x+1=0，依据如表，它的一个解的范围是 ．
x−−−3x+152.751−0.25−1

15. 如图，地面上铺满了正方形的地砖（40 cm×40 cm），现在向这一地面上抛掷半径为 5 cm 的圆碟，圆碟与地砖间的间隙相交的概率是 ．

16. 如图平面直角坐标系中，直线 y=kx+1 与 x 轴交于点 A 点，与 y 轴交于 B 点，Pa,b 是这条直线上一点，且 a，ba
三、解答题（共7小题；共91分）
17. 解下列方程：
（1）2x2−4x−3=0．
（2）x−12=1−x．

18. 如图，△ABC 在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为 A0,3，B3,4，C2,2（网格中每个正方形的边长是 1 个单位长度）．
（1）以点 B 为位似中心，在网格内画出 △AʹBCʹ，使 △AʹBCʹ 与 △ABC 位似，且位似比为 2:1，则点 Cʹ 的坐标是 ；
（2）△AʹBCʹ 的面积是 平方单位；
（3）在 x 轴上找出点 P，使得点 P 到 B 与点 A 距离之和最小，请直接写出 P 点的坐标．

19. 为纪念建国 70 周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母 A，B，C 依次表示这三首歌曲）. 比赛时，将 A，B，C 这三个字母分别写在 3 张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．
（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是 ；
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．

20. 如图，过矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点 O 做 EF⊥AC，交 BC 边于点 E，交 AD 边于点 F，分别连接 AE，CF．
（1）求证：四边形 AECF 是菱形；
（2）若 AB=3，∠DCF=30∘，求 EF 的长．

21. 如图，在斜坡顶部有一铁塔 AB，B 是 CD 的中点，CD 是水平的．在阳光的照射下，塔影 DE 留在斜坡面上．在同一时刻，小明站在点 E 处，其影子 EF 在直线 DE 上，小华站在点 G 处，影子 GH 在直线 CD 上，他们的影子长分别为 2 m 和 1 m．已知 CD=12 m，DE=18 m，小明和小华身高均为 1.6 m，那么塔高 AB 为多少?

22. 某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个 30 元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为 40 元时，月均销量为 280 个，售价每增长 2 元，月均销量就相应减少 20 个．
（1）若使这种背包的月均销量不低于 130 个，每个背包售价应不高于多少元?
（2）在（1）的条件下，当该这种书包销售单价为多少元时，销售利润是 3120 元?
（3）这种书包的销售利润有可能达到 3700 元吗?若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．

23. 如图，在平面直角坐标系中，过原点 O 及 A8,0，C0,6 作矩形 OABC，连接 AC，一块直角三角形 PDE 的直角顶点 P 始终在对角线 AC 上运动（不与 A，C 重合），且保持一边 PD 始终经过矩形点 B，PE 交 x 轴于点 Q．
（1）ABBC= ；
（2）在点 P 从点 C 运动到点 A 的过程中，PQPB 的值是否发生变化?如果变化，请求出其变化范围，如果不变，请说明理由，并求出其值；
（3）若将 △QAB 沿直线 BQ 折叠后，点 A 与点 P 重合，则 PC 的长为 ．
答案
第一部分
1. C【解析】根据题意，将 x=1 代入 x2−2x+c=0，得：1−2+c=0，
解得：c=1．
2. D【解析】从左面看得该几何体的左视图是：
故选：D．
3. A【解析】设池塘中有 x 条鱼，
则 200:15=x:100，
解得 x≈1333．
答：估计池塘里大约有 1333 条鱼．
故选：A．
4. B【解析】A、高矮不同的两个人在同一盏路灯下同一时刻的影子有可能一样长，正确，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，符合题意；
C、方程 x2=x 的根是 x1=0，x2=1，正确，不符合题意；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，不符合题意；
故选：B．
5. A
【解析】设 8，9 两个月猪肉价格的月平均增长率为 x．
根据题意，得 251+x2=36．
6. B
7. D【解析】∵△ABC∽△ADE，
∴AEAC=DEBC，
故选：D．
8. C【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴OB=OD，AC⊥BD，∠ADC=∠ABC，
∵DH⊥AB，
∴OH=OB=12BD，
∵∠DHO=20∘，
∴∠OHB=90∘−∠DHO=70∘，
∴∠ABD=∠OHB=70∘，
∴∠ADC=∠ABC=2∠ABD=140∘．
9. B【解析】x2+6x+m=0，
x2+6x=−m，
∵ 阴影部分的面积为 36，
∴x2+6x=36，
4x=6，
x=32，
同理：先构造一个面积为 x2 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为 32x 的矩形，得到大正方形的面积为 36+322×4=36+9=45，则该方程的正数解为 45−3=35−3．
故选：B．
10. D
【解析】根据折叠的对称性可知 AE=AʹE，AʹD=AB．
设 AE=x，则 DE=16−x，
在 Rt△AʹDE 中，根据勾股定理可得 DE2=AʹD2+AʹE2，
即 16−x2=122+x2，解得 x=72，即 AE=AʹE=72．
根据折叠的对称性可知 ∠BFE=∠DFE，
又 AD∥BC，
∴∠DEF=∠BFE．
∴∠DEF=∠DFE，
∴DF=DE．
又 DC=AʹD，
∴Rt△DFC≌Rt△DEAʹHL．
∴FC=EAʹ=72．
过 E 点作 EH⊥BC 于 H 点，
则 EH=AB=12，HF=BC−BH−FC=16−72−72=9，
在 Rt△EFH 中，利用勾股定理可得 EF=EH2+FH2=122+92=15．
11. C【解析】在 △DFC 中，∠DFC=90∘，∠C=30∘，DC=4t，
∴DF=2t，
又 ∵AE=2t，
∴AE=DF，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
又 ∵AE=DF，
∴ 四边形 AEFD 为平行四边形，
当 AE=AD 时，四边形 AEFD 为菱形，
即 60−4t=2t，解得 t=10．
∴ 当 t=10 秒时，四边形 AEFD 为菱形．
12. C【解析】①因为当点 P 与 BD 中点重合时，CM=0，显然 FM≠CM，故①不合题意；
②如图，连接 PC，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=BC，∠ABP=∠CBP=45∘，且 BP=BP，
∴△ABP≌△CBPSAS，
∴AP=CP，
∵PE⊥BC，PF⊥DC，∠BCD=90∘，
∴ 四边形 PECF 是矩形，
∴EF=PC，
∴EF=AP，
故②符合题意；
③ ∵AP=PC，AD=CD，PD=PD，
∴△APD≌△CPDSSS，
∴∠DAP=∠DCP，
∵AD∥BC，
∴∠DAP=∠H，
∴∠DCP=∠H，
∵PE=CF，∠PEC=∠FCE=90∘，EC=EC，
∴△PEC≌△FCESAS，
∴∠PCE=∠FEC，
∵∠PCF+∠PCE=∠FCE=90∘，
∴∠H+∠FEC=90∘，
∴∠EGH=90∘，
∴AH⊥EF，故③符合题意；
④ ∵AD∥BH，
∴∠DAP=∠H，
∵∠DAP=∠PCM，
∴∠PCM=∠H，
∵∠CPM=∠HPC，
∴△CPM∽△HPC，
∴CPPH=PMCP，
∴CP2=PM⋅PH，且 AP=PC，
∴AP2=PM⋅PH；故④符合题意；
⑤ ∵EF=AP，
∴AP 取最小值时，EF 有最小值，
∴ 当 AP⊥BD 时，AP 有最小值，此时：
∵AB=AD=2，∠BAD=90∘，AP⊥BD，
∴BD=22，AP=12BD=2，
∴EF 的最小值为 2，故⑤符合题意．
第二部分
13. 23
【解析】∵ab=cd=23，
∴a+cb+d=2+23+3=23．
14. 0【解析】∵ 当 x=0 时，x2−3x+1=1>0；
当 x=0.5 时，x2−3x+1=−0.25<0，
∴ 当 x 在 0 ∴ 方程 x2−3x+1=0 的一个解的范围是为 015. 716
【解析】因为圆碟的圆心如果在正方形的地砖（40 cm×40 cm）的中心部位 30 cm×30 cm 的范围外，则与地砖间隙相交，
所以圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约是 40×40−30×3040×40=716．
16. 72,3 或 6,3
【解析】∵ 方程 x2−6x+8=0 的两根是 x=2 或 x=4，
∴P2,4，
∵P2,4 是直线 y=kx+1 上，
∴4=2k+1，解得 k=32，
∴ 直线的解析式为 y=32x+1，
∴A−23,0，B0,1，
当 BP 是矩形的边时，有两种情形，
如图 1，四边形 BQNP 是矩形时，
由 △AOB∽△BOQ 可得 OBOQ=OAOB，
∴OB2=OA⋅OQ，
∴1=23⋅OQ，
∴OQ=32，
∴Q32,0．
根据矩形的性质，将点 P 向右平移 32 个单位，向下平移 1 个单位得到点 N，
∴N2+32,4−1，即 N72,3；
如图 2，四边形 PDNQ 是矩形时，
作 PM⊥x 轴于 M，作 BC∥x 轴，交 PM 于 C，
∵P2,4，B0,1，
∴C2,1，
∴BC=2，PM=4，PC=3，
由 △PBC∽△QPM 可得 BCPM=PCMQ，
∴MQ=PC⋅PMBC=3×42=6，
∴Q8,0，
根据矩形的性质可知，将点 B 向右平移 6 个单位，向下平移 4 个单位得到点 N，
∴N0+6,1−4，即 N6,−3；
②当 BP 是对角线时，设 Qx,0，
则 QB2=x2+1，QP2=x−22+42，PB2=13，
∵Q 是直角顶点，
∴QB2+QP2=PB2，
∴x2+1+x−22+16=13，
整理得 x2−2x+4=0，方程无解，此种情形不存在．
综上所述，满足条件的点 N 坐标为 72,3 或 6,−3．
第三部分
17. （1）
∵a=2,b=−4,c=−3,∴Δ=−42−4×2×−3=40>0,
则
x=4±2104=2±102,
即
x1=2+102,x2=2−102.
（2）
∵x−12=−x−1,∴x−12+x−1=0,
则
x−1⋅x=0,
∴x−1=0或x=0,
解得
x1=1,x2=0.
18. （1） 1,0
【解析】如图所示：
Cʹ1,0．
（2） 10
【解析】△AʹBCʹ 的面积是：12×25×25=10 平方单位．
（3） P97,0．
【解析】设 AʺB 直线解析式为：y=kx+b，
把 3,4，0,−3，代入得：b=−3,3k−3=4,
解得：k=73,b=−3,
故 AʺB 直线解析式为：y=73x−3，
当 y=0 时，x=97，
故 P97,0．
19. （1） 13
【解析】因为有 A，B，C 3 种等可能结果，
所以八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是 13．
（2） 树状图如图所示：
共有 9 种可能，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率 =69=23．
20. （1） ∵O 是 AC 的中点，且 EF⊥AC，
∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFO=∠CEO，
在 △AOF 和 △COE 中，
∠AFO=∠CEO,∠AOF=∠COE,OA=OC,
∴△AOF≌△COEAAS，
∴AF=CE，
∴AF=CF=CE=AE，
∴ 四边形 AECF 是菱形．
（2） ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴CD=AB=3，
在 Rt△CDF 中，cs∠DCF=CDCF，∠DCF=30∘，
∴CF=CDcs30∘=2，
∵ 四边形 AECF 是菱形，
∴CE=CF=2，
∵∠FCE=60∘，
∴△CEF 是等边三角形，
∴EF=CE=CF=2．
21. 过 D 作 DM⊥CD，交 AE 于点 M，过 M 作 MN⊥AB，垂足为 N．
由题意得：DMDE=1.62．
∴DM=DE×1.6÷2=14.4m．
∴MN=BD=12CD=6 m．
又 ∵ANMN=1.61．
∴AN=1.6×6=9.6m．
∴AB=14.4+9.6=24m．
答：铁塔的高度为 24 m．
22. （1） 设每个背包的售价为 x 元，则月均销量为 280−x−402×20 个，
依题意，得：
280−x−402×20≥130,
解得：
x≤55,
答：每个背包售价应不高于 55 元．
（2） 依题意，得：
x−30280−x−402×20=3120,
整理，得：
x2−98x+2352=0,
解得：
x1=42,x2=56不合题意,舍去.
答：当该这种书包销售单价为 42 元时，销售利润是 3120 元．
（3） 依题意，得：
x−30280−x−402×20=3700,
整理，得：
x2−98x+2410=0.∵Δ=−982−4×1×2410=−36<0
，
∴ 该方程无解，
∴ 这种书包的销售利润不能达到 3700 元．
23. （1） 34
【解析】∵A8,0，C0,6，
∴OA=8，OC=6，
∵ 四边形 OABC 是矩形，
∴∠ABC=∠OAB=90∘，BC=OA=8，AB=OC=6，
∴ABBC=68=34．
（2） PQPB 的值不发生变化，PQPB=34，理由如下：
∵∠OAB=∠BPQ=90∘，
∴∠AOB+∠BPQ=180∘，
∴A，B，P，Q 四点共圆，
∴∠PQB=∠PAB，
∵∠ABC=∠BPQ=90∘，
∴△PBQ∽△BCA，
∴PQPB=ABBC=34．
（3） 2.8
【解析】设 BQ 交 AP 于 M，如图所示：
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得：AC=AB2+BC2=62+82=10，
由折叠的性质得：BQ⊥AP，PM=AM，
∴∠AMB=90∘=∠ABC，
∵∠BAM=∠CAB，
∴△ABM∽△ACB，
∴ABAC=AMAB，即 610=AM6，
解得：AM=3.6，
∴PA=2AM=7.2，
∴PC=AC−PA=10−7.2=2.8．