2019-2020学年广东省深圳市南山区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年广东省深圳市南山区九上期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 若 a，b，c，d 是成比例线段，其中 a=5cm，b=2.5cm，c=10cm，则线段 d 的长为
A. 2cmB. 4cmC. 5cmD. 6cm

2. 如图所示的工件，其俯视图是
A. B.
C. D.

3. 如图，EF 过矩形 ABCD 对角线的交点 O，且分别交 AB，CD 于点 E，F，矩形 ABCD 内的一个动点 P 落在阴影部分的概率是
A. 15B. 14C. 13D. 310

4. 已知反比例函数 y=1x，下列结论中不正确的是
A. 图象经过点 −1,−1
B. 图象在第一、三象限
C. 当 x>1 时，0D. 当 x<0 时，y 随 x 的增大而增大

5. 已知 x=1 是方程 2x2+bx−4=0 的一个根，则方程的另一个根是
A. −2B. 2C. −1D. 1

6. 下列命题中，不正确的是
A. 对角线相等的矩形是正方形
B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C. 矩形的对角线互相平分且相等
D. 顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形

7. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是
A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B. 掷个质地均匀的正六面体股子，向上的面点数是偶数
C. 袋子中有 1 个红球和 2 个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
D. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌花色是红桃

8. 如图，在 △ABC 中，DE∥FG∥BC，AD:AF:AB=1:2:4，则 S△ADE:S四边形DFGE:S四边形FBCG=
A. 1:2:4B. 1:4:16C. 1:3:12D. 1:3:7

9. 如图，小颖身高为 160 cm，在阳光下影长 AB=240 cm，当她走到距离墙角（点 D）150 cm 处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子 DE 的长度为
A. 50B. 60C. 70D. 80

10. 已知关于 x 的一元二次方程 k−2x2−2x+1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是
A. k>−3B. k>−3 且 k≠2
C. k<3D. k<3 且 k≠2

11. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 与正方形 BEFG 是以原点 O 为位似中心的位似图形，且位似比为 13，点 A，B，E 在 x 轴上，若正方形 BEFG 的边长为 12，则 C 点坐标为
A. 6,4B. 6,2C. 4,4D. 4,2

12. 如图，正方形 ABCD 中，AB=3，点 E 在边 CD 上，且 DE=1，将 △ADE 沿 AE 对折至 △AFE，延长 EF 交边 BC 于点 G，连接 AG，CF，则下列结论：① CG=FG，② ∠EAG=45∘，③ S△EFC=35，④ CF=12GE，正确的个数为
A. 1B. 2C. 3D. 4

二、填空题（共4小题；共20分）
13. 一元二次方程 x2−16=0 的解是 ．

14. 已知 a+ba−b=73，则 ab= ．

15. 如图，若菱形 ABCD 的边长为 2cm，∠A=120∘，将菱形 ABCD 折叠，使点 A 恰好落在菱形对角线的交点 O 处，折痕为 EF，则 EF= cm．

16. 如图，直线 y=mx−1 交 y 轴于点 B，交 x 轴于点 C，以 BC 为边的正方形 ABCD 的顶点 A−1,a 在双曲线 y=−2x（x<0）上，D 点在双曲线 y=kx（x>0）上，则 k 的值为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 解下列方程．
（1）x2+4x−5=0．
（2）x−32=23−x．

18. 2019 年深圳宝安国际马拉松赛事设有 A：“全程马拉松”，B：“半程马拉松”，C：“嘉年华欢乐跑”三个项目，小智和小慧参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三个项目组．
（1）小智被分配到 A：“全程马拉松”项目组服务的概率为 ．
（2）用树状图（或列表法）求小智和小慧被分到同一个项目组进行服务的概率．

19. 如图，在矩形 ABCD 中，E 为 AD 边上的一点，过 C 点作 CF⊥CE 交 AB 的延长线于点 F．
（1）求证：△CDE∽△CBF；
（2）若 B 为 AF 的中点，CB=3，DE=1，求 CD 的长．

20. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的顶点 C 与原点 O 重合，点 B 在 y 轴的正半轴上，点 A 在函数 y=kxk>0,x>0 的图象上，点 D 的坐标为 4,3．
（1）求 k 的值；
（2）若将菱形 ABCD 沿 x 轴正方向平移，当菱形的顶点 D 落在函数 y=kxk>0,x>0 的图象上时，求菱形 ABCD 沿 x 轴正方向平移的距离．

21. 因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在 2018 年春节长假期间，共接待游客达 20 万人次，预计在 2020 年春节长假期间，将接待游客达 28.8 万人次．
（1）求东部华侨城景区 2018 至 2020 年春节长假期间接待游客人次的平均增长率．
（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为 6 元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价 25 元，则平均每天可销售 300 杯，若每杯价格降低 1 元，则平均每天可多销售 30 杯，2020 年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，即能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天 6300 元的利润额?

22. 在 △ABC 中，∠ACB=90∘，AB=20，BC=12．
（1）如图 1，折叠 △ABC 使点 A 落在 AC 边上的点 D 处，折痕交 AC，AB 分别于 Q，H，若 S△ABC=9S△DHQ，则 HQ= ．
（2）如图 2，折叠 △ABC 使点 A 落在 BC 边上的点 M 处，折痕交 AC，AB 分别于 E，F．若 FM∥AC，求证：四边形 AEMF 是菱形；
（3）在（1）（2）的条件下，线段 CQ 上是否存在点 P，使得 △CMP 和 △HQP 相似?若存在，求出 PQ 的长；若不存在，请说明理由．

23. 如图 1，已知点 Aa,0，B0,b，且 a，b 满足 a+1+a+b+32=0，平等四边形 ABCD 的边 AD 与 y 轴交于点 E，且 E 为 AD 中点，双曲线 y=kx 经过 C，D 两点．
（1）a= ，b= ．
（2）求 D 点的坐标．
（3）点 P 在双曲线 y=kx 上，点 Q 在 y 轴上，若以点 A，B，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点 Q 的坐标．
（4）以线段 AB 为对角线作正方形 AFBH（如图 3），点 T 是边 AF 上一动点，M 是 HT 的中点，MN⊥HT，交 AB 于 N，当 T 在 AF 上运动时，MNHT 的值是否发生改变?若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．
答案
第一部分
1. C【解析】∵a，b，c，d 是成比例线段，
∴ab=cd，
又 a=5cm，b=2.5cm，c=10cm，
∴52.5=10d，
∴5d=2.5×10，5d=25，d=5，
∴d=5cm．
2. B【解析】从上边看是一个同心圆，外圆是实线，內圆是虚线．
3. B【解析】方法一：
∵ 四边形为矩形，
∴OB=OD=OA=OC，
可知：△EOA≌△FOC，
∴S△EOA+S△DOF=S△DOC=14S矩ABCD，
∴ 点落在阴影部分的概率是 14．
方法二：
∵ 四边形为矩形，
∴OB=OD=OA=OC，
在 △EBO 与 △FDO 中，
∠EOB=∠DOF,OB=OD,∠EBO=∠FDO,
△EBO≌△FDO，
∴ 阴影部分的面积 =S△AEO+S△EBO=S△AOB，
∵△AOB 与 △ABC 同底且 △AOB 的高是 △ABC 高的 12，
∴S△AOB=S△OBC=14S矩形ABCD．
∴ 点落在阴影部分的概率是 14．
4. D【解析】将 x=−1 代入 y=1x，y=−1，则图象经过点 −1,−1，故A正确；
∵k=1>0，
∴ 图象在第一、三象限，故B正确；
当 x>1 时，0反比例函数在单独的象限内为单调递减函数和，
故当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小，故D错误．
5. A
【解析】∵x=1 是方程 2x2+bx−4=0 的一个根，
由韦达定理：x1⋅x2=ca，
设另一个根为 x2，
∴1⋅x2=−42，
∴x2=−2．
∴ 选A．
6. A
7. B
8. C【解析】∵ 在 △ABC 中，DE∥FG∥BC，
∴△ADE∽△AFG∽△ABC，
又 ∵AD:AF:AB=1:2:4，
∴ 设 AD=x，则 AF=2x，AB=4x，
∴S△ADES△AFG=ADAF2=122=14，
S△ADES△ABC=ADAB2=x4x2=116，
设 S△ADE=a，则 S△AFG=4a，S△ABC=16a，
∴S四边形DFGE=S△AFG−S△ADE=4a−a=3a，
S四边形FBCG=S△ABC−S△AFG=16a−4a=12a，
∴S△ADE:S四边形DFGE:S四边形FBCG=a:3a:12a，
即为 1:3:12．
9. B【解析】过 E 作 EF⊥CG 于 F，
设投射在墙上的影子 DE 长度为 x，由题意得：△GFE∽△HAB，
∴AB:FE=AH:GC−x，
则 240:150=160:160−x，
解得：x=60．
答：投射在墙上的影子 DE 长度为 60 cm．
10. D
【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 k−2x2−2x+1=0 有两个不等的实数根，
∴k−2≠0,Δ>0,
即 k≠2,−22−4k−2>0,
解得 k≠2,k<3.
综上，k 的取值范围为：k<3 且 k≠2．
11. A【解析】∵ 正方形 ABCD 与正方形 BEFG 是以原点 O 为位似中心的位似图形，
且相似比为 13，
∴ADBG=13，
又正方形 BEFG 的边长为 12，
∴BG=12，
∴AD12=13，
∴AD=4，
∴AD=AB=BC=4，
又 ∵AD∥BG，
∴△AOD∽△BOG，
∴OAOB=ADBG，即 OAOA+4=412，
∴OA=2，
∴OB=OA+4=2+4=6，
∴C 点坐标为 6,4．
12. C【解析】① ∵ 在正方形 ABCD 中，将 △ADE 沿 AE 对折至 △AFE，
∴△ADE≌△AFE，
∴AD=AF=AB，∠AFE=∠D=90∘，
∴∠AFG=180∘−∠AFE=90∘，
在 Rt△ABG 和 Rt△AFG 中，
AB=AF,AG=AG,
∴Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠BAG=∠FAG，BG=GF，
又 AB=3，DE=1，EF=DE=1，CE=3−1=2，
设 BG=GF=x，CG=3−x，EG=1+x，
∵ 在 Rt△CEG 中，CG2+CE2=EG2，
即 3−x2+22=1+x2，
∴x=32，
∴BG=32=GF，CG=3−BG=3−32=32，
∴CG=GF=32，
∴ ①项正确．
②由①知，△ADE≌△AFE，△ABG≌△AFG，
∴∠DAE=∠FAE，∠BAG=∠FAG，
又 ∠DAE+∠FAE+∠BAG+∠FAG=90∘，
∴2∠FAE+2∠FAG=90∘，
∴∠FAE+∠FAG=45∘，即 ∠EAG=45∘，
∴ ②项正确．
③过 F 作 FQ⊥CD 于点 Q，
∴FQ∥CG，
∴△EFQ∽△EGC，
∴FQCG=EFEG，即 FQ32=11+32，
∴FQ=35，
∴S△EFC=12⋅CE⋅FQ=12×2×35=35，
∴ ③项正确．
④由①可知，EF=DE=1，GF=BG=32，
∴F 不是线段 EF 的中点，即 CF 不是 Rt△CEG 斜边上的中线，
∴CF≠12GE，
∴ ④项错误．
综上，①②③项正确，正确的个数有 3 个．
第二部分
13. x1=−4，x2=4
【解析】方程变形得：x2=16，
开方得：x=±4，
解得：x1=−4，x2=4．
14. 52
【解析】∵a+ba−b=73，
∴3a+b=7a−b，
∴3a+3b=7a−7b，
∴4a=10b，
∴ab=104=52，
∴ab 的值为 52．
15. 3
【解析】如图，连接 BD，AC．
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，AC 平分 ∠BAD，
∵∠BAD=120∘，
∴∠BAC=60∘，
∴∠ABO=90∘−60∘=30∘，
∵∠AOB=90∘，
∴AO=12AB=12×2=1，
根据勾股定理，得 BO=DO=3，
∵ 点 A 沿 EF 折叠与点 O 重合，
∴EF⊥AC，EF 平分 AO，
∵AC⊥BD，
∴EF∥BD，
∴EF 为 △ABD 的中位线，
∴EF=12BD=12×3+3=3．
16. 6
【解析】∵A−1,a 在反比例函数 y=−2x 的图象上，
∴a=−2−1=2，
∴A 点坐标为 −1,2，
又 ∵ 直线 y=mx−1 交 y 轴于点 B，
∴ 令 x=0，y=−1，
∴B0,−1，
∴AB=−1−02+2+12=10，
∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴AB=BC=10，
∴OC=BC2−OB2=10−1=3，
∴C3,0，
∴ 点 B 向右平移 3 个单位，再向上平移 1 个单位，得到点 C，
∴ 点 A 向右平移 3 个单位，再向上平移 1 个单位，得到点 D，
∴D 点的坐标为 −1+3,2+1，即 2,3，
将点 D 坐标代入反比例函数 y=kx 中，
∴k=2×3=6，
∴k=6．
第三部分
17. （1）
x2+4x−5=0.x+5x−1=0.∴x+5=0 或 x−1=0.∴x1=−5,x2=1.
（2）
x−32=23−x.x−32−23−x=0.x−32+2x−3=0.x−3x−3+2=0.x−3x−1=0.∴x1=3,x2=1.
18. （1） 13
【解析】∵2019 年深圳宝安国际马拉松赛事设有：A：“全程马拉松”，B：“半程马拉松”，C：“嘉年华马拉松”三个项目．
∴ 小智被分到 A：“坐全程马拉松”项目组服务的概率为 13．
（2）
∴ 一共有 9 种情况，小智和小慧被分到同一个项目组有 3 种，
∴ 小智和小慧被分到同一个项目组进行服务的概率为 13．
19. （1） 因为四边形 ABCD 是矩形，
所以 ∠D=∠1=∠2+∠3=90∘．
因为 CF⊥CE，
所以 ∠4+∠3=90∘．
所以 ∠2=∠4．
所以 △CDE∽△CBF．
（2） 因为四边形 ABCD 是矩形
所以 CD=AB．
因为 B 为 AF 的中点，
所以 BF=AB．
所以设 CD=BF=x．
因为 △CDE∽△CBF，
所以 CDCB=DEBF．
所以 x3=1x．
因为 x>0，
所以 x=3．
即 CD=3．
20. （1） 如图，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 F．
因为点 D 的坐标为 4,3，
所以 OF=4，DF=3．
所以 OD=5．
所以 AD=5．
所以点 A 的坐标为 4,8．
所以 k=4×8=32．
（2） 如图，将菱形 ABCD 沿 x 轴正方向平移，使得点 D 落在函数 y=32xx>0 的图象上的 Dʹ 处，过点 Dʹ 作 x 轴的垂线，垂足为 Fʹ．
因为 DF=3，
所以 DʹFʹ=3．
所以点 Dʹ 的纵坐标为 3．
因为点 Dʹ 在 y=32x 的图象上，
所以 3=32x，解得 x=323，即 OFʹ=323．
所以 FFʹ=323−4=203．
所以菱形 ABCD 沿 x 轴正方向平移的距离为 203．
21. （1） 设年平均增长率为 x，
由题意，可列方程为：
201+x2=28.8.
解得：
x1=0.2=20%,x2=−2.2舍去.∴
年平均增长率为 20%．
（2） 设每杯奶茶降价为 x 元，
∴25−x−6300+30x=6300.
解得：
x1=4,x2=5.∵
要让顾客获得最大优惠，
∴x=5，
∴ 售价为 25−5=20（元）．
22. （1） 4
【解析】如图 1 中，
在 △ABC 中，
∵∠ACB=90∘，AB=20，BC=12，
∴AC=202−122=16，
设 HQ=x，
∵HQ∥BC，
∴AQAC=QHBC，
∴AQ16=x12，
∴AQ=43x，
∵S△ABC=9S△DHQ，
∴12×16×12=9×12×x×43x，
∴x=4或−4（舍弃），
∴HQ=4．
（2） 如图 2 中，
由翻折不变性可知：AE=EM，AF=FM，∠AFE=∠MFE，
∵FM∥AC，
∴∠AEF=∠MFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AE=AF=MF=ME，
∴ 四边形 AEMF 是菱形．
（3） 如图 3 中，
设 AE=EM=FM=AF=4m，则 BM=3m，FB=5m，
∴4m+5m=20，
∴m=209，
∴AE=EM=809，
∴EC=AC−AE=16−809=649，
∴CM=EM2−EC2=163，
∵QH=4，AQ=163，
∴QC=323，
设 PQ=x，
当 QHCM=PQPC 时，△HQP∽△MCP，
∴4163=x323−x，
解得：x=327，
当 QHPC=PQCM 时，△HQP∽△PCM，
∴4323−x=x163，
解得：x=8或83，
经检验：x=8或83 是分式方程的解，且符合题意，
综上所述，满足条件长 QP 的值为 327 或 8 或 83．
23. （1） −1；−2
【解析】∵a+1+a+b+32=0，且 a+1≥0，a+b+32≥0，
∴a+1=0,a+b+3=0,
解得：a=−1,b=−2.
（2） ∵A−1,0，B0,−2，
∵E 为 AD 中点，
∴xD=1，
设 D1,t，
又 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴C2,t−2．
∴t=2t−4．
∴t=4．
∴D1,4．
（3） ∵D1,4 在双曲线 y=kx 上，
∴k=xy=1×4=4．
∴ 反比例函数的解析式为 y=4x，
∵ 点 P 在双曲线 y=kx 上，点 Q 在 y 轴上，
∴ 设 Q0,y，
Px,4x，
① 当 AB 为边时：如答图 1 所示：
若 ABPQ 为平行四边形，则 −1+x2=0，解得 x=1，此时 P11,4，Q10,6；
如答图 2 所示：
若 ABQP 为平行四边形，则 −12=x2，解得 x=−1，此时 P2−1,−4，Q20,−6；
② 如答图 3 所示：
当 AB 为对角线时：AP=BQ，且 AP∥BQ；
∴−12=x2，解得 x=−1，
∴P3−1,−4，Q30,2；
综上所述，Q10,6；Q20,−6；Q30,2．
（4） 如答图 4，连接 NH，NT，NF，
∵MN 是线段 HT 的垂直平分线，
∴NT=NH，
∵ 四边形 AFBH 是正方形，
∴∠ABF=∠ABH，
在 △BFN 与 △BHN 中，BF=BH,∠ABF=∠ABH,BN=BN,
∴△BFN≌△BHNSAS，
∴NF=NH=NT，
∴∠NTF=∠NFT=∠AHN，
四边形 ATNH 中，∠ATN+∠NTF=180∘，而 ∠NTF=∠NFT=∠AHN，
所以，∠ATN+∠AHN=180∘，
所以，四边形 ATNH 内角和为 360∘，
所以 ∠TNH=360∘−180∘−90∘=90∘．
∴MN=12HT，
∴MNHT=12．
即 MNHT 的定值为 12．