2019-2020学年广东省深圳市罗湖区八上期中数学试卷

这是一份2019-2020学年广东省深圳市罗湖区八上期中数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 在实数 2，217，−0.73，3.14，35，0，10.12112111211112⋯，π，−42 中，无理数的个数有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

2. 下面哪个点在函数 y=12x+1 的图象上
A. 2,1B. −2,1C. 2,0D. −2,0

3. 如图，两个较大正方形的面积分别为 225，289，则字母 A 所代表的正方形的边长为
A. 64B. 16C. 8D. 4

4. 已知点 Pm+3,2m+4 在 x 轴上，那么点 P 的坐标为
A. −1,0B. 1,0C. −2,0D. 2,0

5. △ABC 的三条边分别为 a，b，c，下列条件不能判断 △ABC 是直角三角形的是
A. ∠A:∠B:∠C=3:4:5B. a=5，b=12，c=13
C. ∠A=∠B+∠CD. a2+b2=c2

6. 下列各式的计算中，正确的是
A. −3×−9=−3×−9
B. 6÷3=3
C. 2+3=5
D. 2−32=−22

7. 在函数 y=xx−1 中，自变量 x 的取值范围是
A. x≥1B. x≤1 且 x≠0C. x≥0 且 x≠1D. x≠0 且 x≠1

8. 已知直角三角形两边的长为 3 和 4，则此三角形的周长为
A. 12B. 7+7C. 12 或 7+7D. 以上都不对

9. 如图，长为 8 cm 的橡皮筋放置在 x 轴上，固定两端 A 和 B，然后把中点 C 向上拉升 3 cm 至 D 点，则橡皮筋被拉长了
A. 2 cmB. 3 cmC. 4 cmD. 5 cm

10. 化简二次根式 a−a+2a2 的结果是
A. −a−2B. −−a−2C. a−2D. −a−2

11. 如图，在正方形 ABCD 纸片上有一点 P，PA=1，PD=2，PC=3，现将 △PCD 剪下，并将它拼到如图所示位置（C 与 A 重合，P 与 G 重合，D 与 D 重合），则 ∠APD 的度数为
A. 150∘B. 135∘C. 120∘D. 108∘

12. 如图 1，点 G 为 BC 边的中点，点 H 在 AF 上，动点 P 以每秒 2 cm 的速度沿图 1 的边运动，运动路径为 G→C→D→E→F→H，相应的 △ABP 的面积 ycm2 关于运动时间 ts 的函数图象如图 2，若 AB=6 cm，则下列结论正确的个数有
①图 1 中 BC 长 4 cm；
②图 1 中 DE 的长是 6 cm；
③图 2 中点 M 表示 4 秒时的 y 值为 24 cm2；
④图 2 中的点 N 表示 12 秒时 y 值为 15 cm2．
A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个

二、填空题（共4小题；共20分）
13. −27 的立方根为 ，16 的平方根为 ，−55 的倒数为 ．

14. 已知函数 y=a+1x+a2−1，当 a 时，它是一次函数；当 a 时，它是正比例函数．

15. 如图，△ABC 的边 BC 在数轴上，AB⊥BC，且 BC=3，AB=1，以 C 为圆心，AC 长为半径画圆分别交数轴于点 Aʹ 、点 Aʺ，那么数轴上点 Aʹ 、点 Aʺ 所表示的数分别是 、 ．

16. 如图，在平面直角坐标系中，点 A1，A2，A3，⋯ 都在 x 轴上，点 B1，B2，B3，⋯ 都在直线 y=x 上，OA1=1，且 △B1A1A2，B2A2A3，B3A3A4，⋯，△BnAnAn+1，⋯ 分别是以 A1，A2，A3，⋯，An，⋯ 为直角顶点的等腰直角三角形，则 △B10A10A11 的面积是 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 1−3+2019−5020−−12−2．

18. 8+182+26+326−3−33−22．

19. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 和正方形 EFGC 面积分别为 64 和 16．
（1）请写出点 A，E，F 的坐标．
（2）求 S△BDF．

20. 观察：
∵4<7<9，即 2<7<3，
∴7 的整数部分为 2，小数部分为 7−2．
请你观察上述式子规律后解决下面问题．
（1）规定用符号 m 表示实数 m 的整数部分，例如：45=0，π=3，填空：10+2= ；5−13= ．
（2）如果 5+13 的小数部分为 a，5−13 的小数部分为 b，求 a2−b2 的值．

21. 如图，在长方形 ABCD 中，AB=8，AD=10，点 E 为 BC 上一点，将 △ABE 沿 AE 折叠，使点 B 落在长方形内点 F 处，且 DF=6．
（1）试说明：△ADF 是直角三角形；
（2）求 BE 的长．

22. 根据题意回答下列问题：
（1）如图 1，长方体的长为 4 cm，宽为 3 cm，高为 12 cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度；
（2）如图 2，长方体的长为 4 cm，宽为 3 cm，高为 12 cm．现有一只蚂蚁从点 A 处沿长方体的表面爬到点 G 处，求它爬行的最短路程．
（3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 12 cm，底面周长为 10 cm，在容器内壁离底部 3 cm 的点 B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿 3 cm 的点 A 处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少?

23. 如图（1），是两个全等的直角三角形．（直角边分别为 a，b，斜边为 c）
（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a2+b2=c2．
（2）用这样的两个三角形构造图 3 的图形，你能利用这个图形证明出题（1）的结论吗?如果能，请写出证明过程；
（3）当 a=3，b=4 时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边 a，b 分别与 x 轴，y 轴重合（如图 4 中 Rt△AOB 的位置）．点 C 为线段 OA 上一点，将 △ABC 沿着直线 BC 翻折，点 A 恰好落在 x 轴上的 D 处．
① 请写出 C，D 两点的坐标；
② 若 △CMD 为等腰三角形，点 M 在 x 轴上，请直接写出符合条件的所有点 M 的坐标．
答案
第一部分
1. D【解析】2，35，10.12112111211112…，π 是无理数．
2. D
3. C【解析】由勾股定理得，正方形 A 的面积 =289−225=64，
∴ 字母 A 所代表的正方形的边长为 64=8．
4. B【解析】∵ 点 Pm+3,2m+4 在 x 轴上，
∴2m+4=0，解得 m=−2，
∴m+3=−2+3=1，
∴ 点 P 的坐标为 1,0．
5. A
【解析】A、设 ∠A=3x，则 ∠B=4x，∠C=5x，
∵∠A+∠B+∠C=180∘，
∴3x+4x+5x=180∘，解得 x=15∘，
∴∠C=5×15∘=75∘，
∴ 此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
B、 ∵52+122=132，
∴ 此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、 ∵∠A+∠B+∠C=180∘，∠A=∠B+∠C，
∴∠A=90∘，
∴ 此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、 a2+b2=c2，是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
6. D【解析】A、 原式=3×9=3×9，所以A选项错误；
B、 原式=6÷3=2，所以B选项错误；
C、 2 与 3 不能合并，所以C选项错误；
D、 原式=−22，所以D选项正确．
7. C【解析】由 x≥0 且 x−1≠0 得出 x≥0 且 x≠1，
x 的取值范围是 x≥0 且 x≠1．
8. C【解析】设 Rt△ABC 的第三边长为 x．
①当 4 为直角三角形的直角边时，x 为斜边，
由勾股定理得，x=5，此时这个三角形的周长 =3+4+5=12；
②当 4 为直角三角形的斜边时，x 为直角边，
由勾股定理得，x=7，此时这个三角形的周长 =3+4+7．
9. A
10. B
【解析】若二次根式有意义，则 −a+2a2≥0，
−a−2≥0，解得 a≤−2，
∴原式=a−a−a−2=−−a−2.
11. B【解析】连接 PG，如图所示：
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90∘，AG=PC=3，
∵PA=1，PD=2，PC=3，将 △PCD 剪下，并将它拼到如图所示位置（C 与 A 重合，P 与 G 重合，D 与 D 重合），
∴PD=GD=2，∠CDP=∠ADG，
∴∠PDG=∠ADC=90∘，
∴△PDG 是等腰直角三角形，
∴∠GPD=45∘，PG=2PD=22，
∵AG=PC=3，AP=1，PG=22，
∴AP2+PG2=AG2，
∴∠GPA=90∘，
∴∠APD=90∘+45∘=135∘．
12. C【解析】由图象可得：0∼2 秒，点 P 在 GC 上运动，则 GC=2×2=4 cm，
∵ 点 G 是 BC 中点，
∴BC=2GC=8 cm，故①不合题意；
由图象可得：2−4 秒，点 P 在 CD 上运动，则第 4 秒时，y=S△ABP=12×6×8=24 cm2，故③符合题意；
由图象可得：4−7 秒，点 P 在 DE 上运动，则 DE=2×3=6 cm，故②符合题意；
由图象可得：当第 12 秒时，点 P 在 H 处，
∵EF=AB−CD=6−4=2 cm，
∴t=22=1 s，
∴AH=8+6−2×12−7−1=6，
∴y=S△ABP=12×6×6=18 cm2，故④不合题意，
∴ 正确的是②③．
第二部分
13. −3，±2，−5
【解析】（1）∵−3×−3×−3=−27，
∴−27 的立方根为 −3；
（2）∵16=4，
∴16 的平方根为 ±2，
（3）−55×−5=1，
∴−55 的倒数为 −5．
14. ≠−1，=1
【解析】已知函数 y=a+1x+a2−1，当 a≠−1 时，它是一次函数；当 a=1 时，它是正比例函数．
15. 1−10，1+10
【解析】由勾股定理得，AC=12+32=10，
则 CAʹ=CAʺ=10，
∴OAʹ=10−1，OAʺ=10+1．
∴Aʹ 、点 Aʺ 所表示的数分别是 1−10 和 1+10．
16. 217
【解析】∵OA1=1，
∴ 点 A1 的坐标为 1,0，
∵△OA1B1 是等腰直角三角形，
∴A1B1=1，
∴B11,1，
∵△B1A1A2 是等腰直角三角形，
∴A1A2=1，B1A2=2，
∵△B2B1A2 为等腰直角三角形，
∴A2A3=2，
∴B22,2，
同理可得 B322,22，B423,23，⋯，Bn2n−1,2n−1，
∴ 点 B10 的坐标是 29,29．
∴△B10A10A11 的面积是：12×29×29=217．
第三部分
17. 1−3+2019−5020−−12−2=3−1+1−4=3−4.
18. 原式=5+24−3−29−66=66−3.
19. （1） ∵ 正方形 ABCD 和正方形 EFGC 面积分别为 64 和 16，
∴ 正方形 ABCD 和正方形 EFGC 的边长分别为 8 和 4，
∴OG=8+4=12，
∴A0,8，E8,4，F12,4．
（2） S△BDF=S△BDC+S梯形BCGF−S△DGF=12×8×8+12×4+8×4−12×8+4×4=32+24−24=32.
20. （1） 5；1
【解析】10+2=5；5−13=1．
（2） 根据题意，得：
∵3<13<4，
∴8<5+13<9，
∴a=5+13−8=13−3．
∵1<5−13<2，
∴b=5−13−1=4−13，
∴a+b=1，a−b=213−7．
∴a2−b2=a+ba−b=213−7．
答：a2−b2 的值为 213−7．
21. （1） 将 △ABE 沿 AE 折叠，使点 B 落在长方形内点 F 处，
∴AF=AB=8，
∵AF2+DF2=62+82=100=102=AD2，
∴∠AFD=90∘，
∴△ADF 是直角三角形．
（2） ∵ 折叠，
∴BE=EF，∠B=∠AFE=90∘，
又 ∵∠AFD=90∘，
∴ 点 D，F，E 在一条直线上．
设 BE=x，则 EF=x，DE=6+x，EC=10−x，
在 Rt△DCE 中，∠C=90∘，
∴CE2+CD2=DE2，
即 10−x2+82=6+x2．
∴x=4．
∴BE=4．
22. （1） 由题意得：该长方体中能放入木棒的最大长度是：32+422+122=13cm．
（2） 分三种情况可得：
AG=4+122+32=265 cm>AG=3+122+42=241 cm>AG=3+42+122=193 cm，
所以最短路程为 193 cm．
（3） ∵ 高为 12 cm，底面周长为 10 cm，在容器内壁离容器底部 3 cm 的点 B 处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿 3 cm 与饭粒相对的点 A 处，
∴AʹD=5 cm，BD=12−3+AE=12 cm，
∴ 将容器侧面展开，作 A 关于 EF 的对称点 Aʹ，
连接 AʹB，
则 AʹB 即为最短距离，
AʹB=AʹD2+BD2=13cm．
23. （1） ∵S梯形ABCD=2×12ab+12c2，
S梯形ABCD=12a+ba+b，
∴2×12ab+12c2=12a+ba+b．
∴2ab+c2=a2+2ab+b2．
∴c2=a2+b2．
（2） 连接 BD，如图：
S四边形ABCD=12c2+12ab−a，
S四边形ABCD=12ab+12b2，
∴12c2+12ab−a=12ab+12b2，
∴c2=a2+b2．
（3） ① 设 OC=a，则 AC=4−a，又 AB=5，
根据翻折可知：BD=AB=5，CD=AC=4−a，OD=BD−OB=5−3=2．
在 Rt△COD 中，根据勾股定理，得 4−a2=a2+4，
解得 a=32．
∴C0,32，D2,0．
答：C，D 两点的坐标为 C0,32，D2,0．
② 如图：
当点 M 在 x 轴正半轴上时，CM=DM，设 CM=DM=x，则 x2=2−x2+322，解得 x=2516，
∴2−x=716，
∴M716,0；
CD=DM，4−32=52，2+52=92，
∴M92,0；
当点 M 在 x 轴负半轴上时，CM=CD，
∵OM=OD=2，
∴M−2,0；
DC=DM，4−32=52，
∴OM=52−2=12，
∴M−12,0．
答：符合条件的所有点 M 的坐标为：716,0，92,0，−2,0，−12,0．