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广东省深圳市罗湖区九年级（上）期末数学试卷
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这是一份广东省深圳市罗湖区九年级（上）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
广东省深圳市罗湖区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出的四个选项中，其中只有一项是正确的
1．（3分）一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=0的解是（ ）
A．x=1 B．x=2 C．x1=1，x2=2 D．x1=﹣1，x2=﹣2
2．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、C的中点，则S△ADE：S△ABC=（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
3．（3分）如图，平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含关系可用如图表示，则图中阴影部分所表示的图形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．矩形或菱形 D．正方形
4．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，则sinA=（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）小亮根据取x的值为：1.1，1.2，1.3，1.4，1.5时，代入x2﹣12x﹣15求值，估算一元二次方程的解（ ）
x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
x2+12x﹣15
﹣.59
0.84
2.29
3.76
5.25
A．1.1＜x＜1.2 B．1.2＜x＜1.3 C．1.3＜x1.4 D．1.4＜x＜1.5
6．（3分）如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A、B、C，在余下的6个点中任取一点P，满足△ABP与△ABC相似的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）对于抛物线y=﹣3（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（ ）
A．抛物线开口向下 B．对称轴是直线x=2
C．顶点坐标是（2，1） D．抛物线与x轴没有交点
8．（3分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（ ）
A．12πcm2 B．8πcm2 C．6πcm2 D．3πcm2
9．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，下列结论正确的有（ ）
①AD=BD=BC；②△BCD≌△ABC；③AD2=AC•DC；④点D是AC的黄金分割点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）如图，A、D是电线杆AB上的两个瓷壶，AC和DE分别表示太阳光线，若某一时刻线段AD在地面上的影长CE=1m，BD在地面上的影长BE=3m，瓷壶D到地面的距离DB=20m，则电线杆AB的高为（ ）
A．15m B．m C．21m D．m
11．（3分）如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（ ）
A．n B．n﹣1 C．4（n﹣1） D．4n
12．（3分）如图，点A在双曲线y=上，且OA=4，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于点B，如果AB+BC﹣AC=2，则k的值为（ ）
A．8﹣2 B．8+2 C．3 D．6
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分
13．（3分）在某校组织的知识竞赛中共有三种试题，其中语文类4题，综合类8题，数学类若干题．已知从中随机抽取一题，是数学类的概率是，则数学类有 题．
14．（3分）如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 m．
15．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，若点P（4，0）在该抛物线上，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为 ．
16．（3分）如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R在DE上，且DR：RE=5：4，BR分别与AC、CD相交于点P、Q，则BP：PQ：QR= ．
三、解答题：本题共7小题，其中第17小题6分，第18小题6分，第19小题7分，第20小题7分，第21小题8分，第22小题8分，第23小题10分，共52分
17．（6分）计算：|﹣|+sin45°﹣（）﹣1﹣（π﹣3）0．
18．（6分）如图，把带有指针的圆形转盘A、B分别分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字（如图所示）．小明、小乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为3的倍数，则小明胜；否则，小乐胜．（若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘）
（1）试用列表或画树状图的方法，求小明获胜的概率；
（2）请问这个游戏规则对小明、小乐双方公平吗？做出判断并说明理由．
19．（7分）如图，一次函数的图象与反比例函数y=的图象交于点A（m，6）和点B（4，﹣3）．
（1）求反比例函数的表达式和点A的坐标；
（2）根据图象回答，x在什么范围时，一次函数的值大于反比例函数的值．
20．（7分）人民公园划出一块矩形区域，用以栽植鲜花．
（1）经测量，该矩形区域的周长是72m，面积为320m2，请求出该区域的长与宽；
（2）公园管理处曾设想使矩形的周长和面积分别为（1）中区域的周长和面积的一半，你认为此设想合理吗？如果此设想合理，请求出其长和宽；如果不合理，请说明理由，并求出在（1）中周长减半的条件下矩形面积的最大值．
21．（8分）如图，某测量员测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树左侧一斜坡上端点A处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为1：（即AB：BC=1：），且B、C、E三点在同一条直线上．
（1）求斜坡AC的长；
（2）请根据以上条件求出树DE的高度（侧倾器的高度忽略不计）．
22．（8分）如图，正方形ABCD中，P、Q分别是边AB、BC上的两个动点，P、Q同时分别从A、B出发，点P沿AB向B运动；点Q沿BC向C运动，速度都是1个单位长度/秒．运动时间为t秒．
（1）连结AQ、DP相交于点F，求证：AQ⊥DP；
（2）当正方形边长为4，而t=3时，求tan∠QDF的值．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，3）．且点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上第一象限内的一个点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连PO、PB，如果把△POB沿OB翻转，所得四边形POP′B恰为菱形，那么在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QAB与△POB相似？若存在求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若（2）中点Q存在，指出△QAB与△POB是否位似？若位似，请直接写出其位似中心的坐标．
广东省深圳市罗湖区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出的四个选项中，其中只有一项是正确的
1．（3分）一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=0的解是（ ）
A．x=1 B．x=2 C．x1=1，x2=2 D．x1=﹣1，x2=﹣2
【解答】解：x﹣1=0或x﹣2=0，
所以x1=1，x2=2．
故选C．
2．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、C的中点，则S△ADE：S△ABC=（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
【解答】解：∵点D、E分别是AB、C的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC=（）2=；
故选：C．
3．（3分）如图，平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含关系可用如图表示，则图中阴影部分所表示的图形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．矩形或菱形 D．正方形
【解答】解：正方形是特殊的矩形，即是邻边相等的矩形，
也是特殊的菱形，即有是一个角为直角的菱形；
正方形、矩形和菱形都是特殊的平行四边形，
故图中阴影部分表示的图形是正方形．
故选：D．
4．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，则sinA=（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：sinA==，
故选：B．
5．（3分）小亮根据取x的值为：1.1，1.2，1.3，1.4，1.5时，代入x2﹣12x﹣15求值，估算一元二次方程的解（ ）
x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
x2+12x﹣15
﹣.59
0.84
2.29
3.76
5.25
A．1.1＜x＜1.2 B．1.2＜x＜1.3 C．1.3＜x1.4 D．1.4＜x＜1.5
【解答】解：由表可以看出，当x取1.1与1.2之间的某个数时，y=0，即这个数是x2﹣12x﹣15=0的一个根．
x2﹣12x﹣15=0的一个解x的取值范围为1.1＜x＜1.2．
故选：A．
6．（3分）如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A、B、C，在余下的6个点中任取一点P，满足△ABP与△ABC相似的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：满足△ABP与△ABC相似的点有3个，
所以满足△ABP与△ABC相似的概率是．
故选A．
7．（3分）对于抛物线y=﹣3（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（ ）
A．抛物线开口向下 B．对称轴是直线x=2
C．顶点坐标是（2，1） D．抛物线与x轴没有交点
【解答】解：∵抛物线y=﹣3（x﹣2）2+1，
∴a=﹣3＜0，抛物线的开口向下，故选项A错误；
顶点坐标是（2，1），则对称轴为直线x=2，故选项B、C错误；
∵顶点在第一象限，开口向下，
∴抛物线与x轴有两个交点，故选项D正确；
故选D．
8．（3分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（ ）
A．12πcm2 B．8πcm2 C．6πcm2 D．3πcm2
【解答】解：观察三视图知：该几何体为圆柱，高为3cm，底面直径为2cm，
侧面积为：πdh=2×3π=6π，
故选C．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，下列结论正确的有（ ）
①AD=BD=BC；②△BCD≌△ABC；③AD2=AC•DC；④点D是AC的黄金分割点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①由AB=AC，∠A=36°，得∠ABC=∠C=72°，
又BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°=∠A，
∴AD=BD，
∠BDC=∠ABD+∠A=72°=∠C，
∴BC=BD，
∴BC=BD=AD，
∴①正确；
②∵△BCD是△ABC的一部分，
∴②错误；
③由①知：∠CBD=∠A，
∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB，
∴BC：AC=CD：BC，
∴BC2=CD•AC，
∵AD=BD=BC，AD2=CD•AC，
∴③正确；
④设AD=x，AC=AB=1，CD=AC﹣AD=1﹣x，
由AD2=CD•AC，得x2=（1﹣x），
解得x=±﹣1（舍去负值），
∴AD=，
∴④正确．
正确的有3个．
故选C．
10．（3分）如图，A、D是电线杆AB上的两个瓷壶，AC和DE分别表示太阳光线，若某一时刻线段AD在地面上的影长CE=1m，BD在地面上的影长BE=3m，瓷壶D到地面的距离DB=20m，则电线杆AB的高为（ ）
A．15m B．m C．21m D．m
【解答】解：∵太阳光线是平行的，
∴AC∥DE，
∴△BDE∽△BAC，
∴，
∵BE=3m，CE=1m，
∴BC=4m，
∴，
解得：AB=．
故选：B．
11．（3分）如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（ ）
A．n B．n﹣1 C．4（n﹣1） D．4n
【解答】解：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的，即是×4=1，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×（n﹣1）=n﹣1．
故选：B．
12．（3分）如图，点A在双曲线y=上，且OA=4，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于点B，如果AB+BC﹣AC=2，则k的值为（ ）
A．8﹣2 B．8+2 C．3 D．6
【解答】解：设点A的坐标为（x，y），
∵OA=4，
∴x2+y2=16①，
∵OA的垂直平分线交OC于B，
∴AB=OB，
∵AB+BC﹣AC=OB+BC+AC=OC+AC=x﹣y=2②，
由①②得：xy=6，
∵点A在双曲线y=上，
∴k=6．
故选：D．
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分
13．（3分）在某校组织的知识竞赛中共有三种试题，其中语文类4题，综合类8题，数学类若干题．已知从中随机抽取一题，是数学类的概率是，则数学类有 24 题．
【解答】解：设数学类有x题．
根据题意得：=，
解得：x=24，
经检验，x=24是原分式方程的解，
故数学类有24题．
故答案为：24．
14．（3分）如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 4 m．
【解答】解：如图：过点C作CD⊥EF，
由题意得：△EFC是直角三角形，∠ECF=90°，
∴∠EDC=∠CDF=90°，
∴∠E+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90°，
∴∠E=∠DCF，
∴Rt△EDC∽Rt△CDF，
有=；即DC2=ED•FD，
代入数据可得DC2=16，
DC=4；
故答案为：4．
15．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，若点P（4，0）在该抛物线上，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为 ﹣2和4 ．
【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，点P（4，0），
∴另一个交点坐标为（﹣2，0），
∴一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为﹣2和4，
故答案为：﹣2和4．
16．（3分）如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R在DE上，且DR：RE=5：4，BR分别与AC、CD相交于点P、Q，则BP：PQ：QR= 7：2：5 ．
【解答】解：∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，
∴BC=AD=CE，AC∥DE，
∴PB=PR，，
又∵PC∥DR，
∴△PCQ∽△RDQ，
∴，
∵DR：RE=5：4，
∴RE=DR，
∴=，
∴QR=PQ，
又∵BP=PR=PQ+QR=PQ，
∴BP：PQ：QR=7：2：5，
故答案为：7：2：5．
三、解答题：本题共7小题，其中第17小题6分，第18小题6分，第19小题7分，第20小题7分，第21小题8分，第22小题8分，第23小题10分，共52分
17．（6分）计算：|﹣|+sin45°﹣（）﹣1﹣（π﹣3）0．
【解答】解：原式=+×﹣3﹣2=﹣2﹣．
18．（6分）如图，把带有指针的圆形转盘A、B分别分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字（如图所示）．小明、小乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为3的倍数，则小明胜；否则，小乐胜．（若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘）
（1）试用列表或画树状图的方法，求小明获胜的概率；
（2）请问这个游戏规则对小明、小乐双方公平吗？做出判断并说明理由．
【解答】解：（1）根据题意画图如下：
共有12种情况，指针所指两区域的数字之积为3的倍数的有6种情况，则小明胜的概率是=；
（2）由（1）得小乐胜的概率为1﹣=，两人获胜的概率相同，所以游戏公平．
19．（7分）如图，一次函数的图象与反比例函数y=的图象交于点A（m，6）和点B（4，﹣3）．
（1）求反比例函数的表达式和点A的坐标；
（2）根据图象回答，x在什么范围时，一次函数的值大于反比例函数的值．
【解答】解：（1）由反比例函数解析式可知，k=xy=6m=4×（﹣3），解得k=﹣12，m=﹣2，
∴反比例函数解析式为y=﹣，A（﹣2，6）．
（2）一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围为：x＜﹣2或0＜x＜4．
20．（7分）人民公园划出一块矩形区域，用以栽植鲜花．
（1）经测量，该矩形区域的周长是72m，面积为320m2，请求出该区域的长与宽；
（2）公园管理处曾设想使矩形的周长和面积分别为（1）中区域的周长和面积的一半，你认为此设想合理吗？如果此设想合理，请求出其长和宽；如果不合理，请说明理由，并求出在（1）中周长减半的条件下矩形面积的最大值．
【解答】解：（1）设矩形的一边长为x，则另一边的长为36﹣x米，根据题意得：
x（36﹣x）=320，
解得：x=20或x=16，
答：矩形的长和宽分别为20米和16米；
（2）设矩形的一边长为y，根据题意得矩形的另一边的长为（18﹣y）米，
根据题意得：y（18﹣y）=160，
整理得：y2﹣18y+160=0，
∵△=b2﹣4ac=（﹣18）2﹣4×160=﹣316＜0，
∴此设想不合理．
设周长减少一半后的一边的长为y，则另一边的长为18﹣y米，
面积S=y（18﹣y）=﹣y2+18y=﹣（y﹣9）2+81，
所以面积的最大值为81平方米．
21．（8分）如图，某测量员测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树左侧一斜坡上端点A处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为1：（即AB：BC=1：），且B、C、E三点在同一条直线上．
（1）求斜坡AC的长；
（2）请根据以上条件求出树DE的高度（侧倾器的高度忽略不计）．
【解答】解：（1）如图，过点A作AF⊥DE于F，
则四边形ABEF为矩形，
∴AF=BE，EF=AB=3米，
设DE=x，
在Rt△CDE中，CE==x，
在Rt△ABC中，
∵=，AB=3，
∴BC=3，
AC===6（米）．
（2）在Rt△AFD中，DF=DE﹣EF=x﹣3，
∴AF==（x﹣3），
∵AF=BE=BC+CE，
∴（x﹣3）=3+x，
解得x=9．
答：树高为9米．
22．（8分）如图，正方形ABCD中，P、Q分别是边AB、BC上的两个动点，P、Q同时分别从A、B出发，点P沿AB向B运动；点Q沿BC向C运动，速度都是1个单位长度/秒．运动时间为t秒．
（1）连结AQ、DP相交于点F，求证：AQ⊥DP；
（2）当正方形边长为4，而t=3时，求tan∠QDF的值．
【解答】解：（1）在正方形ABCD中，
∵AB=AD，∠BAD=∠B=90°，
由题意得：AP=BQ，
在△ADP与△ABQ中，，
∴△ADP≌△ABQ，
∴∠BAQ=∠ADP，
∵∠PAF+∠DAF=90°，
∴∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠AFD=90°，
∴AQ⊥DP；
（2）∵正方形边长为4，而t=3时，
∴AD=AB=4，AP=BQ=3，
∴PD=AQ=5，
∵∠PAF=∠ADP，∠AFP=∠PAD=90°，
∴△APF∽△ADP，
∴，
∴PF=，
∴DF=，
∵∠AFP=∠AFD=90°，
∴△APF∽△ADF，
∴，
∴AF=，
∴FQ=，
∴tan∠QDF==．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，3）．且点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上第一象限内的一个点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连PO、PB，如果把△POB沿OB翻转，所得四边形POP′B恰为菱形，那么在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QAB与△POB相似？若存在求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若（2）中点Q存在，指出△QAB与△POB是否位似？若位似，请直接写出其位似中心的坐标．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）在抛物线的对称轴上存在点Q，使△QAB与△POB相似，如图所示．
∵四边形POP′B为菱形，
∴PO=PB，
∴∠POB=∠PBO．
∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴QA=QB，
∴∠QAB=∠QBA．
由△QAB与△POB相似可得∠PBO=∠QBA，
∴点Q、P、B共线．
∵PO=PB，
∴点P在OB的垂直平分线上，
∴xP=，
此时yP=﹣（）2+2×+3=，
点P的坐标为（，）．
设直线PB的解析式为y=mx+n，
则有，
解得．
∴直线PB的解析式为y=﹣x+．
∵抛物线的对称轴为x=﹣=1，
∴xQ=1，yQ=﹣×1+=5，
∴点Q的坐标为（1，5）
根据对称性点Q坐标还可以为（1．﹣5）．
（3）△QAB与△POB位似，位似中心为点B，点B的坐标为（3，0）．
广东省深圳市罗湖区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出的四个选项中，其中只有一项是正确的
1．（3分）一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=0的解是（ ）
A．x=1 B．x=2 C．x1=1，x2=2 D．x1=﹣1，x2=﹣2
2．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、C的中点，则S△ADE：S△ABC=（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
3．（3分）如图，平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含关系可用如图表示，则图中阴影部分所表示的图形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．矩形或菱形 D．正方形
4．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，则sinA=（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）小亮根据取x的值为：1.1，1.2，1.3，1.4，1.5时，代入x2﹣12x﹣15求值，估算一元二次方程的解（ ）
x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
x2+12x﹣15
﹣.59
0.84
2.29
3.76
5.25
A．1.1＜x＜1.2 B．1.2＜x＜1.3 C．1.3＜x1.4 D．1.4＜x＜1.5
6．（3分）如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A、B、C，在余下的6个点中任取一点P，满足△ABP与△ABC相似的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）对于抛物线y=﹣3（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（ ）
A．抛物线开口向下 B．对称轴是直线x=2
C．顶点坐标是（2，1） D．抛物线与x轴没有交点
8．（3分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（ ）
A．12πcm2 B．8πcm2 C．6πcm2 D．3πcm2
9．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，下列结论正确的有（ ）
①AD=BD=BC；②△BCD≌△ABC；③AD2=AC•DC；④点D是AC的黄金分割点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）如图，A、D是电线杆AB上的两个瓷壶，AC和DE分别表示太阳光线，若某一时刻线段AD在地面上的影长CE=1m，BD在地面上的影长BE=3m，瓷壶D到地面的距离DB=20m，则电线杆AB的高为（ ）
A．15m B．m C．21m D．m
11．（3分）如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（ ）
A．n B．n﹣1 C．4（n﹣1） D．4n
12．（3分）如图，点A在双曲线y=上，且OA=4，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于点B，如果AB+BC﹣AC=2，则k的值为（ ）
A．8﹣2 B．8+2 C．3 D．6
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分
13．（3分）在某校组织的知识竞赛中共有三种试题，其中语文类4题，综合类8题，数学类若干题．已知从中随机抽取一题，是数学类的概率是，则数学类有 题．
14．（3分）如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 m．
15．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，若点P（4，0）在该抛物线上，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为 ．
16．（3分）如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R在DE上，且DR：RE=5：4，BR分别与AC、CD相交于点P、Q，则BP：PQ：QR= ．
三、解答题：本题共7小题，其中第17小题6分，第18小题6分，第19小题7分，第20小题7分，第21小题8分，第22小题8分，第23小题10分，共52分
17．（6分）计算：|﹣|+sin45°﹣（）﹣1﹣（π﹣3）0．
18．（6分）如图，把带有指针的圆形转盘A、B分别分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字（如图所示）．小明、小乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为3的倍数，则小明胜；否则，小乐胜．（若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘）
（1）试用列表或画树状图的方法，求小明获胜的概率；
（2）请问这个游戏规则对小明、小乐双方公平吗？做出判断并说明理由．
19．（7分）如图，一次函数的图象与反比例函数y=的图象交于点A（m，6）和点B（4，﹣3）．
（1）求反比例函数的表达式和点A的坐标；
（2）根据图象回答，x在什么范围时，一次函数的值大于反比例函数的值．
20．（7分）人民公园划出一块矩形区域，用以栽植鲜花．
（1）经测量，该矩形区域的周长是72m，面积为320m2，请求出该区域的长与宽；
（2）公园管理处曾设想使矩形的周长和面积分别为（1）中区域的周长和面积的一半，你认为此设想合理吗？如果此设想合理，请求出其长和宽；如果不合理，请说明理由，并求出在（1）中周长减半的条件下矩形面积的最大值．
21．（8分）如图，某测量员测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树左侧一斜坡上端点A处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为1：（即AB：BC=1：），且B、C、E三点在同一条直线上．
（1）求斜坡AC的长；
（2）请根据以上条件求出树DE的高度（侧倾器的高度忽略不计）．
22．（8分）如图，正方形ABCD中，P、Q分别是边AB、BC上的两个动点，P、Q同时分别从A、B出发，点P沿AB向B运动；点Q沿BC向C运动，速度都是1个单位长度/秒．运动时间为t秒．
（1）连结AQ、DP相交于点F，求证：AQ⊥DP；
（2）当正方形边长为4，而t=3时，求tan∠QDF的值．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，3）．且点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上第一象限内的一个点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连PO、PB，如果把△POB沿OB翻转，所得四边形POP′B恰为菱形，那么在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QAB与△POB相似？若存在求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若（2）中点Q存在，指出△QAB与△POB是否位似？若位似，请直接写出其位似中心的坐标．
广东省深圳市罗湖区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出的四个选项中，其中只有一项是正确的
1．（3分）一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=0的解是（ ）
A．x=1 B．x=2 C．x1=1，x2=2 D．x1=﹣1，x2=﹣2
【解答】解：x﹣1=0或x﹣2=0，
所以x1=1，x2=2．
故选C．
2．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、C的中点，则S△ADE：S△ABC=（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
【解答】解：∵点D、E分别是AB、C的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC=（）2=；
故选：C．
3．（3分）如图，平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含关系可用如图表示，则图中阴影部分所表示的图形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．矩形或菱形 D．正方形
【解答】解：正方形是特殊的矩形，即是邻边相等的矩形，
也是特殊的菱形，即有是一个角为直角的菱形；
正方形、矩形和菱形都是特殊的平行四边形，
故图中阴影部分表示的图形是正方形．
故选：D．
4．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，则sinA=（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：sinA==，
故选：B．
5．（3分）小亮根据取x的值为：1.1，1.2，1.3，1.4，1.5时，代入x2﹣12x﹣15求值，估算一元二次方程的解（ ）
x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
x2+12x﹣15
﹣.59
0.84
2.29
3.76
5.25
A．1.1＜x＜1.2 B．1.2＜x＜1.3 C．1.3＜x1.4 D．1.4＜x＜1.5
【解答】解：由表可以看出，当x取1.1与1.2之间的某个数时，y=0，即这个数是x2﹣12x﹣15=0的一个根．
x2﹣12x﹣15=0的一个解x的取值范围为1.1＜x＜1.2．
故选：A．
6．（3分）如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A、B、C，在余下的6个点中任取一点P，满足△ABP与△ABC相似的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：满足△ABP与△ABC相似的点有3个，
所以满足△ABP与△ABC相似的概率是．
故选A．
7．（3分）对于抛物线y=﹣3（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（ ）
A．抛物线开口向下 B．对称轴是直线x=2
C．顶点坐标是（2，1） D．抛物线与x轴没有交点
【解答】解：∵抛物线y=﹣3（x﹣2）2+1，
∴a=﹣3＜0，抛物线的开口向下，故选项A错误；
顶点坐标是（2，1），则对称轴为直线x=2，故选项B、C错误；
∵顶点在第一象限，开口向下，
∴抛物线与x轴有两个交点，故选项D正确；
故选D．
8．（3分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（ ）
A．12πcm2 B．8πcm2 C．6πcm2 D．3πcm2
【解答】解：观察三视图知：该几何体为圆柱，高为3cm，底面直径为2cm，
侧面积为：πdh=2×3π=6π，
故选C．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，下列结论正确的有（ ）
①AD=BD=BC；②△BCD≌△ABC；③AD2=AC•DC；④点D是AC的黄金分割点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①由AB=AC，∠A=36°，得∠ABC=∠C=72°，
又BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°=∠A，
∴AD=BD，
∠BDC=∠ABD+∠A=72°=∠C，
∴BC=BD，
∴BC=BD=AD，
∴①正确；
②∵△BCD是△ABC的一部分，
∴②错误；
③由①知：∠CBD=∠A，
∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB，
∴BC：AC=CD：BC，
∴BC2=CD•AC，
∵AD=BD=BC，AD2=CD•AC，
∴③正确；
④设AD=x，AC=AB=1，CD=AC﹣AD=1﹣x，
由AD2=CD•AC，得x2=（1﹣x），
解得x=±﹣1（舍去负值），
∴AD=，
∴④正确．
正确的有3个．
故选C．
10．（3分）如图，A、D是电线杆AB上的两个瓷壶，AC和DE分别表示太阳光线，若某一时刻线段AD在地面上的影长CE=1m，BD在地面上的影长BE=3m，瓷壶D到地面的距离DB=20m，则电线杆AB的高为（ ）
A．15m B．m C．21m D．m
【解答】解：∵太阳光线是平行的，
∴AC∥DE，
∴△BDE∽△BAC，
∴，
∵BE=3m，CE=1m，
∴BC=4m，
∴，
解得：AB=．
故选：B．
11．（3分）如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（ ）
A．n B．n﹣1 C．4（n﹣1） D．4n
【解答】解：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的，即是×4=1，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×（n﹣1）=n﹣1．
故选：B．
12．（3分）如图，点A在双曲线y=上，且OA=4，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于点B，如果AB+BC﹣AC=2，则k的值为（ ）
A．8﹣2 B．8+2 C．3 D．6
【解答】解：设点A的坐标为（x，y），
∵OA=4，
∴x2+y2=16①，
∵OA的垂直平分线交OC于B，
∴AB=OB，
∵AB+BC﹣AC=OB+BC+AC=OC+AC=x﹣y=2②，
由①②得：xy=6，
∵点A在双曲线y=上，
∴k=6．
故选：D．
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分
13．（3分）在某校组织的知识竞赛中共有三种试题，其中语文类4题，综合类8题，数学类若干题．已知从中随机抽取一题，是数学类的概率是，则数学类有 24 题．
【解答】解：设数学类有x题．
根据题意得：=，
解得：x=24，
经检验，x=24是原分式方程的解，
故数学类有24题．
故答案为：24．
14．（3分）如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 4 m．
【解答】解：如图：过点C作CD⊥EF，
由题意得：△EFC是直角三角形，∠ECF=90°，
∴∠EDC=∠CDF=90°，
∴∠E+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90°，
∴∠E=∠DCF，
∴Rt△EDC∽Rt△CDF，
有=；即DC2=ED•FD，
代入数据可得DC2=16，
DC=4；
故答案为：4．
15．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，若点P（4，0）在该抛物线上，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为 ﹣2和4 ．
【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，点P（4，0），
∴另一个交点坐标为（﹣2，0），
∴一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为﹣2和4，
故答案为：﹣2和4．
16．（3分）如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R在DE上，且DR：RE=5：4，BR分别与AC、CD相交于点P、Q，则BP：PQ：QR= 7：2：5 ．
【解答】解：∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，
∴BC=AD=CE，AC∥DE，
∴PB=PR，，
又∵PC∥DR，
∴△PCQ∽△RDQ，
∴，
∵DR：RE=5：4，
∴RE=DR，
∴=，
∴QR=PQ，
又∵BP=PR=PQ+QR=PQ，
∴BP：PQ：QR=7：2：5，
故答案为：7：2：5．
三、解答题：本题共7小题，其中第17小题6分，第18小题6分，第19小题7分，第20小题7分，第21小题8分，第22小题8分，第23小题10分，共52分
17．（6分）计算：|﹣|+sin45°﹣（）﹣1﹣（π﹣3）0．
【解答】解：原式=+×﹣3﹣2=﹣2﹣．
18．（6分）如图，把带有指针的圆形转盘A、B分别分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字（如图所示）．小明、小乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为3的倍数，则小明胜；否则，小乐胜．（若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘）
（1）试用列表或画树状图的方法，求小明获胜的概率；
（2）请问这个游戏规则对小明、小乐双方公平吗？做出判断并说明理由．
【解答】解：（1）根据题意画图如下：
共有12种情况，指针所指两区域的数字之积为3的倍数的有6种情况，则小明胜的概率是=；
（2）由（1）得小乐胜的概率为1﹣=，两人获胜的概率相同，所以游戏公平．
19．（7分）如图，一次函数的图象与反比例函数y=的图象交于点A（m，6）和点B（4，﹣3）．
（1）求反比例函数的表达式和点A的坐标；
（2）根据图象回答，x在什么范围时，一次函数的值大于反比例函数的值．
【解答】解：（1）由反比例函数解析式可知，k=xy=6m=4×（﹣3），解得k=﹣12，m=﹣2，
∴反比例函数解析式为y=﹣，A（﹣2，6）．
（2）一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围为：x＜﹣2或0＜x＜4．
20．（7分）人民公园划出一块矩形区域，用以栽植鲜花．
（1）经测量，该矩形区域的周长是72m，面积为320m2，请求出该区域的长与宽；
（2）公园管理处曾设想使矩形的周长和面积分别为（1）中区域的周长和面积的一半，你认为此设想合理吗？如果此设想合理，请求出其长和宽；如果不合理，请说明理由，并求出在（1）中周长减半的条件下矩形面积的最大值．
【解答】解：（1）设矩形的一边长为x，则另一边的长为36﹣x米，根据题意得：
x（36﹣x）=320，
解得：x=20或x=16，
答：矩形的长和宽分别为20米和16米；
（2）设矩形的一边长为y，根据题意得矩形的另一边的长为（18﹣y）米，
根据题意得：y（18﹣y）=160，
整理得：y2﹣18y+160=0，
∵△=b2﹣4ac=（﹣18）2﹣4×160=﹣316＜0，
∴此设想不合理．
设周长减少一半后的一边的长为y，则另一边的长为18﹣y米，
面积S=y（18﹣y）=﹣y2+18y=﹣（y﹣9）2+81，
所以面积的最大值为81平方米．
21．（8分）如图，某测量员测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树左侧一斜坡上端点A处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为1：（即AB：BC=1：），且B、C、E三点在同一条直线上．
（1）求斜坡AC的长；
（2）请根据以上条件求出树DE的高度（侧倾器的高度忽略不计）．
【解答】解：（1）如图，过点A作AF⊥DE于F，
则四边形ABEF为矩形，
∴AF=BE，EF=AB=3米，
设DE=x，
在Rt△CDE中，CE==x，
在Rt△ABC中，
∵=，AB=3，
∴BC=3，
AC===6（米）．
（2）在Rt△AFD中，DF=DE﹣EF=x﹣3，
∴AF==（x﹣3），
∵AF=BE=BC+CE，
∴（x﹣3）=3+x，
解得x=9．
答：树高为9米．
22．（8分）如图，正方形ABCD中，P、Q分别是边AB、BC上的两个动点，P、Q同时分别从A、B出发，点P沿AB向B运动；点Q沿BC向C运动，速度都是1个单位长度/秒．运动时间为t秒．
（1）连结AQ、DP相交于点F，求证：AQ⊥DP；
（2）当正方形边长为4，而t=3时，求tan∠QDF的值．
【解答】解：（1）在正方形ABCD中，
∵AB=AD，∠BAD=∠B=90°，
由题意得：AP=BQ，
在△ADP与△ABQ中，，
∴△ADP≌△ABQ，
∴∠BAQ=∠ADP，
∵∠PAF+∠DAF=90°，
∴∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠AFD=90°，
∴AQ⊥DP；
（2）∵正方形边长为4，而t=3时，
∴AD=AB=4，AP=BQ=3，
∴PD=AQ=5，
∵∠PAF=∠ADP，∠AFP=∠PAD=90°，
∴△APF∽△ADP，
∴，
∴PF=，
∴DF=，
∵∠AFP=∠AFD=90°，
∴△APF∽△ADF，
∴，
∴AF=，
∴FQ=，
∴tan∠QDF==．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，3）．且点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上第一象限内的一个点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连PO、PB，如果把△POB沿OB翻转，所得四边形POP′B恰为菱形，那么在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QAB与△POB相似？若存在求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若（2）中点Q存在，指出△QAB与△POB是否位似？若位似，请直接写出其位似中心的坐标．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）在抛物线的对称轴上存在点Q，使△QAB与△POB相似，如图所示．
∵四边形POP′B为菱形，
∴PO=PB，
∴∠POB=∠PBO．
∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴QA=QB，
∴∠QAB=∠QBA．
由△QAB与△POB相似可得∠PBO=∠QBA，
∴点Q、P、B共线．
∵PO=PB，
∴点P在OB的垂直平分线上，
∴xP=，
此时yP=﹣（）2+2×+3=，
点P的坐标为（，）．
设直线PB的解析式为y=mx+n，
则有，
解得．
∴直线PB的解析式为y=﹣x+．
∵抛物线的对称轴为x=﹣=1，
∴xQ=1，yQ=﹣×1+=5，
∴点Q的坐标为（1，5）
根据对称性点Q坐标还可以为（1．﹣5）．
（3）△QAB与△POB位似，位似中心为点B，点B的坐标为（3，0）．
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