2019-2020学年广东省深圳市福田区深圳实验学校九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年广东省深圳市福田区深圳实验学校九上期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 若 a，b 互为相反数，则下列四个等式中一定成立的是
A. a+b=0B. a+b=1C. ∣a∣+∣b∣=0D. ∣a∣+b=0

2. 据相关报道，开展精准扶贫工作五年以来，我国约有 55000000 摆脱贫困，将 55000000 用科学记数法表示是
A. 55×106B. 0.55×108C. 5.5×106D. 5.5×107

3. 下列各式正确的是
A. 22+32=2+3=5B. 32+53=3+52+3
C. −4×−9=4×9D. 412=212

4. 已知两个不等式的解集在数轴上如图所示，则由这两个不等式组成的不等式组的解集为
A. −22

5. 若 x=2,y=1 是二元一次方程 kx−y=3 的解，则 k 值为
A. 1B. 2C. 3D. 4

6. 一组数据 5，2，6，9，5，3 的众数，中位数，平均数分别是
A. 5，5，6B. 9，5，5C. 5，5，5D. 2，6，5

7. 将一个正方体沿图 1 所示切开，形成如图 2 的图形，则图 2 的左视图为
A. B.
C. D.

8. 已知四边形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA，对角线 AC，BD 相交于点 O．下列结论一定成立的是
A. AC⊥BDB. AC=BD
C. ∠ABC=90∘D. ∠ABC=∠BAC

9. 如图，在 ⊙O 中，AC∥OB，∠BAO=m∘，则 ∠BOC 的度数为
A. m∘B. 2m∘
C. 90−m∘D. 180−2m∘

10. 在平面直角坐标系中，某二次函数图象的顶点为 2,−1，此函数图象与 x 轴交于 P，Q 两点，且 PQ=6，若此函致图象经过 −3,a，−1,b，3,c，1,d 四点，则实数 a，b，c，d 中为正数的是
A. aB. bC. cD. d

11. 如图，A，B 是反比例函数 y=kxk>0,x>0 图象上的两点，过点 A，B 分别作 x 轴的平行线交 y 轴于点 C，D，直线 AB 交 y 轴正半轴于点 E．若点 B 的横坐标为 5，CD=3AC，cs∠BED=35，则 k 的值为
A. 5B. 4C. 3D. 154

12. 如图 1，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠B=∠C=60∘，P，Q 同时从 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度分别沿 B−A−D−C 和 B−C−D 方向运动至相遇时停止，设运动时间为 t（秒），△BPQ 的面积为 S（平方单位），S 与 t 的函数图象如图 2 所示，则下列结论错误的个数
①当 t=4 秒时，S=43；
② AD=4；
③当 4≤t≤8 时，S=23t；
④当 t=9 秒时，BP 平分四边形 ABCD 的面积．
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共4小题；共20分）
13. 如图，在 5×4 的方格纸中，每个小正方形边长为 1，点 O，A，B 在方格纸的交点（格点）上，在第四象限内的格点上找点 C，使 △ABC 的面积为 3，则这样的点 C 共有 个．

14. 分解因式：a2b−2ab+b= ．

15. 元旦到了，九（2）班每个同学都与全班同学交换一件自制的小礼物，结果全班交换小礼物共 1560 件，该班有 个同学．

16. 如图，已知 △ABC 和 △ADE 均为等边三角形，点 O 是 AC 的中点，点 D 在射线 BO 上，连接 OE，EC，若 AB=4，则 OE 的最小值为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 计算：−13+2cs30∘−−3−π−20170．

18. 化简：3x+1−x+1÷x2+4x+4x+1．

19. 图 1 是一辆在平地上滑行的滑板车，图 2 是其示意图．已知车杆 AB 长 92 cm，车杆与脚踏板所成的角 ∠ABC=70∘，前后轮子的半径均为 6 cm，求把手 A 离地面的高度（结果保留小数点后一位；参考数据：sin70∘≈0.94，cs70∘≈0.34，tan70∘≈2.75）．

20. 某翻译团为成为 2022 年冬奥会志愿者做准备，该翻译团一共有五名翻译，其中一名只会翻译西班牙语（翻译西班牙语用 " A "表示），三名只会翻译英语（翻译英语用 " B " 表示），还有一名两种语言都会翻译（两种语言都会翻译用" C "表示）．
（1）求从这五名翻译中随机挑选一名会翻译英语的概率．
（2）若从这五名翻译中随机挑选两名组成一组，请用树状图或列表的方法求该组能够翻译上述两种语言的概率．

21. 我们知道：三角形的三条角平分线交于一点，这个点称为三角形的内心（三角形内切圆的圆心）．现在规定：如果四边形的四个角的角平分线交于一点，我们把这个点也成为“四边形的内心”．
（1）试举出一个有内心的四边形．
（2）如图 1，已知点 O 是四边形 ABCD 的内心，求证：AB+CD=AD+BC．
（3）如图 2，Rt△ABC 中，∠C=90∘．O 是 △ABC 的内心．若直线 DE 截边 AC，BC 于点 D，E，且 O 仍然是四边形 ABED 的内心．这样的直线 DE 可画多少条?请在图 2 中画出一条符合条件的直线 DE，并简单说明作法．
（4）问题（3）中，若 AC=3，BC=4，满足条件的一条直线 DE∥AB，求 DE 的长．

22. 如图，已知以 Rt△ABC 的边 AB 为直径作 △ABC 的外接圆 ⊙O，∠B 的平分线 BE 交 AC 于 D，交 ⊙O 于 E，过 E 作 ⊙O 切线 EF 交 BA 的延长线于 F．
（1）如图 1，求证：EF∥AC．
（2）如图 2，OP⊥AO 交 BE 于点 P，交 FE 的延长线于点 M．求证：△PME 是等腰三角形．
（3）如图 3，在（2）的条件下：BG⊥AB 于 H 点，交 ⊙O 于 G 点，交 AC 于 Q 点，如图 2，若 sinF=35，EQ=5，求 PM 的值．

23. 已知抛物线 y=ax2+bx+3 经过 A−3,0，B−1,0 两点（如图 1），顶点为 M．
（1）a，b 的值．
（2）设抛物线与 y 轴的交点为 Q（如图 1），直线 y=−2x+9 与直线 OM 交于点 D．现将抛物线平移，保持顶点在直线 OD 上．当抛物线的顶点平移到 D 点时，Q 点移至 N 点，求抛物线上的两点 M，Q 间所夹的曲线 MQ 扫过的区域的面积，
（3）设直线 y=−2x+9 与 y 轴交于点 C，与直线 OM 交于点 D（如图 2）．现将抛物线平移，保持顶点在直线 OD 上．若平移的抛物线与射线 CD（含端点 C）没有公共点时，试探求其顶点的横坐标的取值范围．
答案
第一部分
1. A【解析】若 a，b 互为相反数，则 a+b=0，A项正确
2. D【解析】55000000=5.5×107．
3. C
4. D【解析】由图得，x>2．
5. B
【解析】∵x=2,y=1 是二元一次方程 kx−y=3 的解，
∴ 代入得：2k−1=3，
解得：k=2．
6. C【解析】众数是：5，
中位数：5，
平均数：5+2+6+9+5+36=5．
7. C【解析】如图所示：图 2 的左视图为：
8. A【解析】∵ 四边形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA，
∴ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD．
9. B【解析】∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB=m∘，
∵AC∥OB，
∴∠CAB=∠B=m∘，
∴∠BOC=2∠CAB=2m∘．
10. A
【解析】∵ 二次函数图象的顶点坐标为 2,−1，此函数图象与 x 轴相交于 P，Q 两点，且 PQ=6，
∴ 该函数图象开口向上，对称轴为直线 x=2，与 x 轴的交点坐标为 −1,0，5,0，已知图形通过 2,−1，−1,0，5,0 三点，如图，
由图象可知：c=d<0，b=0，a>0．
11. D【解析】∵BD∥x 轴，
∴∠EDB=90∘，
∵cs∠BED=EDEB=35，
∴ 设 DE=3a，BE=5a，
∴BD=BE2−DE2=5a2−3a2=4a，
∵ 点 B 的横坐标为 5，
∴4a=5，则 a=54，
∴DE=154，
设 AC=b，则 CD=3b，
∵AC∥BD，
∴ACEC=BDED=4a3a=43，
∴EC=34b，
∴ED=3b+34b=15b4，
∴15b4=154，则 b=1，
∴AC=1，CD=3，
设 B 点的纵坐标为 n，
∴OD=n，则 OC=3+n，
∵A1,3+n，B5,n，
∴A，B 是反比例函数 y=kxk>0,x>0 图象上的两点，
∴k=1×3+n=5n，解得 k=154．
12. A【解析】由图 2 所示，动点运动过程分为三个阶段：
（1）OE 段，函数图象为抛物线，运动图形如答图 1−1 所示．
此时点 P 在线段 AB 上、点 Q 在线段 BC 上运动．
△BPQ 为等边三角形，其边长 BP=BQ=t，高 h=32t，
∴S=12BQ⋅h=12t⋅32t=34t2．
由函数图象可知，当 t=4 秒时，S=43，故①正确．
（2）EF 段，函数图象为直线，运动图形如答图 1−2 所示．
此时点 P 在线段 AD 上、点 Q 在线段 BC 上运动．
由函数图象可知，此阶段运动时间为 4 s，
∴AD=1×4=4，故②正确．
设直线 EF 的解析式为：S=kt+b，
将 E4,43，F8,83 代入得：4k+b=43,8k+b=83, 解得 k=3,b=0,
∴S=3t，故③错误．
（3）FG 段，函数图象为直线，运动图形如答图 1−3 所示．
此时点 P，Q 均在线段 CD 上运动．
设梯形高为 h，则 S梯形ABCD=12AD+BC⋅h=124+8⋅h=6h；
当 t=9 s 时，DP=1，则 CP=3，
∴S△BCP=34S△BCD=34×12×8×h=3h，
∴S△BCP=12S梯形ABCD，即 BP 平分梯形 ABCD 的面积，故④正确．
综上所述，错误的结论只有③一个．
第二部分
13. 3
【解析】AB=3，设 C 到 AB 的距离是 a，则 12×3a=3，解得 a=2，则 C 在到 AB 的距离是 2，且与 AB 平行的直线上，则在第四象限满足条件的格点有 3 个．
14. ba−12
【解析】a2b−2ab+b=ba2−2a+1=ba−12．
15. 40
【解析】设该班有 x 个同学，则每个同学需交换 x−1 件小礼物，
依题意，得：xx−1=1560，
解得：x1=40，x2=−39（不合题意，舍去）．
16. 1
【解析】∵△ABC 的等边三角形，点 O 是 AC 的中点，
∴OC=12AC，∠ABD=30∘，
∵△ABC 和 △ADE 均为等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60∘，
∴∠BAD=∠CAE，且 AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACESAS，
∴∠ACE=30∘=∠ABD，
当 OE⊥EC 时，OE 的长度最小，
∵∠OEC=90∘，∠ACE=30∘，
∴OE 最小值 =12OC=14AB=1．
第三部分
17. −13+2cs30∘−−3−π−20170=−13+2×32−3−1=−43.
18. 原式=3x+1−x2−1x+1⋅x+1x+22=2+x2−xx+1⋅x+1x+22=2−xx+2.
19. 过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，延长 AD 交地面于点 E，
∵sin∠ABD=ADAB，
∴AD=92×0.94≈86.48，
∵DE=6，
∴AE=AD+DE=92.5，
∴ 把手 A 离地面的高度为 92.5 cm．
20. （1） 从这五名翻译中随机挑选一名会翻译英语的概率 =45．
（2） 只会翻译西班牙语用 A 表示，三名只会翻译英语的用 B 表示，一名两种语言都会翻译用 C 表示，画树状图为：
共有 20 种等可能的结果数，其中该组能够翻译上述两种语言的结果数为 14，
所以该组能够翻译上述两种语言的概率 =1420=710．
21. （1） 菱形．
（2） 作 OE⊥AD 与 E，OF⊥AB 与 F，CG⊥BC 与 G，OH⊥CD 与 H，
∵∠AEO=∠AFO=90∘，
∴O 是四边形 ABCD 的内心．
∴∠EAO=∠FAO．
在 Rt△AEO 和 Rt△AFO 中，
AO=AO,OE=OF.
∴Rt△AEO≌Rt△AFOHL．
∴AE=AF，
同理：BF=BG，CG=CH，DH=DE，
∴AE+DE+BG+CG=AF+BF+CH+DH．
即：AD+BC=AB+CD．
（3） 有无数条．作 △ABC 的内切圆圆 O，切 AC，BC 于 M，N，在弧 MN 上取一点 F，作过 F 点作圆 O 的切线，交 AB 于 E，交 AC 于 D，沿 DE 剪裁．
（4） 作 CG⊥AB 与点 G，
由勾股定理得：AB=AC2+BC2=32+42=5．
∴CG=AC⋅BCAB=3×45=2.4．
设 △ABC 的内切圆的半径为 r，
则 r=12AC+BC−AB=123+4−5=1．
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB．
∴DEAB=CG−2rCG，
∴DE5=2.4−22.4．
∴DE=56．
22. （1） 连接 OE，
因为 EF 是圆的切线，
所以 OE⊥FE，
所以 ∠F+∠FOE=90∘，
所以 AB 为直径，
所以 ∠C=90∘，
所以 ∠ABC+∠CAB=90∘，
因为 OE=OB，
所以 ∠OEB=∠OBE，
因为 BE 是 ∠B 的平分线，
所以 ∠OBE=∠CBE，
因为 ∠FOE=∠OEB+∠OBE，
所以 ∠EOF=∠ABC，
所以 ∠F=∠CAB，
所以 EF∥AC．
（2） 连接 OC，OE，
因为 OP⊥AO 交 BE 于点 P，
所以 ∠OPB+∠OBE=90∘，
因为 ∠OEB+∠MEB=90∘，
所以 ∠OPB=∠MEB
又因为 ∠OPB=∠EPM，
所以 ∠MEP=∠MPE，
所以 MP=ME，
所以 △PME 是等腰三角形．
（3） 连接 OE，
因为 ∠F=∠CAB，
所以 sin∠F=sin∠CAB=35，
因为 EG⊥AB 于 H 点，
所以 AE=AG，
所以 ∠AEG=∠ABE，
因为 ∠ABE=∠EAC，
所以 ∠EAC=∠AEG，
所以 AQ=EQ=5，
因为 QH=3，AH=4，
所以 EH=EQ+QH=8，
设 OE=x，则 OH=AO−AH=x−4，
在 Rt△EHO 中，x2=82+x−42，
解得：x=10，
所以 OE=10，
因为 BE 是 ∠B 的平分线，
所以 CE=AE，
所以 OE⊥AC，
所以 ∠CAB+∠AOD=90∘，
因为 ∠EOM+∠AOD=90∘，
所以 ∠EOM=∠CAB，
所以 sin∠EOM=35，
所以 tan∠EOM=EMOE=34，
所以 ME=152，
所以 PM=ME=152．
23. （1） 将 A−3,0，B−1,0 代入抛物线 y=ax2+bx+3 中，
得：9a−3b+3=0,a−b+3=0, 解得：a=1，b=4．
（2） 连接 MQ，OD，DN，
由图形平移的性质知：QN∥MN 且 QN=MN，
即四边形 MQND 是平行四边形，
由（1）知，抛物线的解析式：y=x2+4x+3=x+22−1，
则点 M−2,−1，Q0,3，
则直线 OM:y=12x，联立直线 y=−2x+9，
得：y=12x,y=−2x+9, 解得 x=185,y=95, 则 D185,95，
曲线 MQ 扫过的区域的面积：
S=S平行四边形MQND=2S△MQD=2×12×OQ×xM−xD=3×−2−185=845.
（3） 由于抛物线的顶点始终在 y=12x 上，可设其坐标为 h,h2，
设平移后的抛物线解析式为 y=x−h2+12h，
①当平移后抛物线对称轴右侧部分经过点 C0,9 时，
有：h2+12h=9，解得：h=−1−1454（依题意，舍去正值）．
②当平移后的抛物线与直线 y=−2x+9 只有一个交点时，
依题意：y=−2x+9,y=x−h2+12h,
消去 y，得：x2−2h−2x+h2+12h−9=0，
则：Δ=2h−22−4h2+12h−9=−10h+40=0，解得：h=4，
结合图形，
当平移的抛物线与射线 CD（含端点 C）没有公共点时，h<−1−1454 或 h>4．