人教版24.2.2 直线和圆的位置关系第2课时随堂练习题

24.2.2   直线和圆的位置关系（第2课时）

自主预习

1．经过半径的外端并且           这条半径的直线是圆的切线.

2．圆的切线垂直于                        .

3. 如图所示，AB是⊙O的切线，OB＝2OA，则∠B的度数是           .

3题图                 4题图

4．如图所示，PA是⊙O的切线，切点为A，PA=，∠APO=30°，则⊙O的半径长为       ．

互动训练

知识点一：切线的性质

1．下列四个命题正确的是（    ）

①与圆有公共点的直线是圆的切线，②垂直于圆的半径的直线是圆的切线，③到圆心的距离等于半径的直线是切线，④过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是切线.

A.①②        B. ②③    C.③④    D.①④

2. 矩形的两条邻边长分别为2.5和5，若以较长一边为直径作半圆，则矩形的各边与半圆相切的线段最多有（    ）

A.  0条        B.  1条        C. 2条    D.  3条

3. 如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A，C，∠B=30°，直线BD与⊙O切于点D，则∠ADB的度数是（    ）

A．150°    B．135°    C．120°    D．100°

3题图                4题图             5题图          6题图

4．如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N.若∠MNB＝52°，则∠NOA的度数为(　　)

A．76°          B．56°         C．54°         D．52°

5．如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝20°，BC是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB＝________.

6．如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，CO交⊙O于点D，AD的延长线交BC于点E，若∠C＝35°，求∠A的度数．

知识点二：切线的判定

7. 如图，O为∠PAQ的角平分线上的一点，OB⊥AP于点B，以O为圆心OB为半径作⊙O.求证：AQ与⊙O相切.

7题图

8．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥OA交AB于点C，过B的直线交OC的延长线于点E，

当CE=BE时，直线BE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由。

8题图

9. 如图所示，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在圆上，∠CAB=30°，直线DC是⊙O的切线吗？为什么？

9题图 

10. 已知：OA是⊙O半径，直线l是⊙O的切线，求证：OA⊥直线l（反证法）

10题图 

11.如图所示，AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,过点B作BD⊥CD，垂足为D，连接BC，BC平分∠ABD. 求证：CD为⊙O的切线.

11题图 

课时达标

1．下列直线是圆的切线的是（    ）

A．与圆有公共点的直线                 B．到圆心的距离等于半径的直线

C．垂直于圆的半径的直线               D．过圆直径外端点的直线

2．在半径分别为5cm和3cm的两个同心圆中，如图，大圆的弦AB与小圆相切于点C，则弦AB的长为________cm．

3．如图，AB切⊙0于点B，AB=4 cm，AO=6 cm，则⊙O的半径为     cm．

2题图            3题图             4题图

4．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A=25°，则∠D=______．

5．如图所示，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分∠DAB．

5题图 

6. 如图：已知△ABC中，AB=AC，O是底边BC的中点，AB与⊙O相切于点D，猜测AC与⊙O有怎样的位置关系？

6题图  

7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，点O在AB上，OB＝2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长．

7题图 

8. 如图，在等腰三角形ABC中，AC＝BC，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G.DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E.求证：直线EF是⊙O的切线．

  8题图 

9．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F.

(1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)若CF＝2，DF＝4，求⊙O直径的长．

  9题图  

拓展探究

1．如图，AB是半⊙O的直径，弦AC与AB成30°的角，AC=CD.

（1）求证：CD是半⊙O的切线；

（2）若OA=2，求AC的长.

1题图 

2．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接OA并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D.

(1)求证：PO平分∠APC；

(2)连接DB，若∠C＝30°，求证：DB ∥AC.

2题图

3．如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF.

(1)求证：EF是⊙O的切线；

(2)若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长．

3题图

24.2.2   直线和圆的位置关系（第2课时）

自主预习

1. 垂直于   2．过切点的半径   3．30°    4．2.

互动训练

1. C.  2. D.  3. C. 

4. A. 解析：∵MN是⊙O的切线，∴ON⊥MN，∴∠MNO＝90°，∵∠MNB＝52°，

∴∠BNO＝90°-52°=38°，∵OB=ON, ∴∠B=∠BNO=38°,∴∠NOA=76° . 故选：A.

5. 50°. 解析：∵∠A＝20°，∴∠BOC=40°，

∵BC是⊙O的切线，∴OB⊥BC，∴∠OCB＝50°.

6. 解:∵AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，

∴ BC⊥AB, 又∠C=35°, ∴∠BOC=55°,

又OA=OD，∴ ∠A=∠ADO=27.5°.

7．证明：过点O作OD⊥AQ ,

∵O为∠PAQ的角平分线上的一点，OB⊥AP于点B，

∴∠PAO=∠QAO,  ∠ABO=∠AQO=90°,  OA=OA, 

∴△ABO≌△AQO（AAS）

∴OQ=OB, ∵OQ⊥AQ，

∴AQ与⊙O相切.

  7题图

8．解：直线BE与⊙O相切.

连结OB，

∵OC⊥OA，∴∠AOC=90°，

∴∠A+∠ACO=90°，

∵CE=BE， ∴∠ECB=∠EBC，

∵OA=OB， ∴∠A=∠OBC，

∴∠OBC+∠EBC=90°，

∴BE与⊙O相切.

8题图

9．解：如图所示，连接OC，BC．   

∵AB是⊙O是直径，且∠CAB=30°．

∴∠ACB=90°，CB=0.5AB=OB=OC，

即△BOC为等边三角形，∠OCB=∠OBC=60°．

又BD=OB，∴CB=BD， ∠BCD=∠D=∠ABC=30°，

∠OCD=∠OCB+∠BCD=60°+30°=90°，   

∴OC⊥CD．∴DC是⊙O的切线．

9题图

10. 证明：（反证法）

假设OA⊥直线l不成立，过点O作OP⊥直线l于点P

∴OA为Rt△OPA的斜边．

又∵OP⊥l于P，∴OP的长就是圆心O到切线l的距离，

∴OP的长等于⊙O的半径，即OA=OP，

这与“直角三角形的斜边大于直角边”矛盾．

所以假设OA与l不垂直不成立．

10题图

11.证明:∵BC平分∠ABD，∴∠OBC=∠DBC.

∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB,

∴∠OCB=∠DBC，∴OC∥BD.

∵BD⊥CD， ∴OC⊥CD，

∴CD为⊙O的切线.　

课时达标

1. B.   2. 8.  3. 2. 

4. 40°.解析：连结OC. ∵OA=OC，∴∠DOC=2∠A=50°，

∵DC为⊙O的切线，∴OC⊥DC，∴∠D=90°-50°=40°.

5．证明：如图所示，连接OC，∵CD是⊙O的切线，

∴OC⊥CD．   又AD⊥CD，∴OC∥AD，

∴∠1=∠2．    ∵OC=OA，∴∠1=∠3．

∴∠2=∠3，即AC平分∠DAB．

5题图

6. 解：AC是⊙O的切线，理由如下：

证明：如图过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA

∵AB与⊙O相切于点D，∴AB⊥OD，

∵AB=AC，O是底边BC的中点，

∴AO是∠BAC的平分线，

∴OE=OD，OE是⊙O的半径，

∵AC经过⊙O的半径OE的外端点且垂直于OE，

∴AC是⊙O的切线．

     6题图

7. 解：连接OD，作OF⊥BE于点F.

∴BF＝BE.

∵AC是圆的切线，∴OD⊥AC.

∴∠ODC＝∠C＝∠OFC＝90°.

∴四边形ODCF是矩形．

∵OD＝OB＝FC＝2，BC＝3，

∴BF＝BC－FC＝BC－OD＝3－2＝1.

∴BE＝2BF＝2.

   7题图

8. 证明：如图，连接OD，DC.

∵BC是⊙O的直径，∴∠CDB＝90°.

又∵AC＝BC，∴点D是AB的中点．

又∵点O为BC的中点，∴OD∥AC.

又∵DF⊥AC，∴OD⊥EF，

∴直线EF是⊙O的切线．

8题图 

9. 解：(1)证明：连接OD、CD，

∵AC为⊙O的直径，∴△BCD是直角三角形．

∵E为BC的中点，∴BE＝CE＝DE.

∴∠CDE＝∠DCE.

∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.

∵∠ACB＝90°，∴∠OCD＋∠DCE＝90°.

∴∠ODC＋∠CDE＝90°，即OD⊥DE.

∵OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．

(2)设⊙O的半径为r，∵∠ODF＝90°，

∴OD2＋DF2＝OF2，即r2＋42＝(r＋2)2.

解得r＝3.  ∴⊙O的直径为6.

   9题图

拓展探究

1．（1）证明：连结OC，∵AC=CD ∴ ∠A=∠D=30°,

又OA=OC.∴∠A=∠ACO=30°,  ∴ ∠DOC=60°, 

在△COD中，∠DOC=60°，∠D=30°，

 ∴ ∠OCD=90°,  ∴ CD为半⊙O的切线

（2） 解：∵OC=OA=2, ∠D=30°, ∴OD=2OC=4,

在直角三角形OCD中，由勾股定理得，

CD=2 ∴ AC=CD=2.

2. 证明：(1)连接OB，

∵PA，PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP.

又OA＝OB，∴PO平分∠APC.

(2)∵OA⊥AP，OB⊥BP，

∴∠CAP＝∠OBP＝90°.∵∠C＝30°，

∴∠APC＝90°－∠C＝90°－30°＝60°.

∵PO平分∠APC，

∴∠OPC＝∠APC＝×60°＝30°.

∴∠POB＝90°－∠OPC＝90°－30°＝60°.

又OD＝OB，∴△ODB是等边三角形．∴∠OBD＝60°.

∴∠DBP＝∠OBP－∠OBD＝90°－60°＝30°.

∴∠DBP＝∠C.  ∴ DB∥AC.

        2题图

3. (1)证明：连接FO，则OF为△ABC的中位线，∴OF∥AB.

∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE.

∵OF∥AB，∴OF⊥CE.

∴OF所在直线垂直平分CE.

∴FC＝FE，OE＝OC.

∴∠FEC＝∠FCE，∠OEC＝∠OCE.

∵∠ACB＝90°.  ∴∠OCE＋∠FCE＝90°.

∴∠OEC＋∠FEC＝90°，即∠FEO＝90°.

∴EF⊥OE.又OE为⊙O的半径，

∴EF为⊙O的切线．

(2)解：∵⊙O的半径为3，∴AO＝CO＝EO＝3.

∵∠EAC＝60°，OA＝OE，

∴△AOE是等边三角形．

∴∠EOA＝60°.∴∠COD＝∠EOA＝60°.

∵在Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝3，∴CD＝3.

∵在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，CD＝3，AC＝6，

∴AD＝3.

     3题图