3.2.1函数的单调性与最大（小）值

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提示：定义中的x1，x2有以下3个特征
(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；
(2)有大小，通常规定x1(3)属于同一个单调区间．
2.函数的单调性及单调区间
（1）当函数在它的定义域上单调递增（减）时，我们就称它是增（减）函数.
（2）如果函数在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间.
提示 当函数有多个单调区间时，区间之间用“和”或“，”连接，而不能用“∪”连接．
3.常见函数的单调性
题型一：单调性概念的理解
例1：下列命题为正命题的是（ ）.
A.定义在上的函数，如果，当时，有，那么在
上单调递增
如果函数在区间上单调递减，在区间上也单调递减，那么在区间上就一定单调递减
定义在上的函数，若有无穷多对，当时，有，那么在上为增函数
，当，成立，则函数在上不是单调递增的
例2：（1）根据图像写出两个函数的单调区间，以及在单调区间上函数时增函数还是减函数.
（2）如图，分别为函数的图像，试分别写出和的单调递增区间.
例3：下列四个函数中，在上单调递增的是（ ）.
A. B. C. D.
变式训练：
1．(教材P79练习题2改编)下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( )
A．y＝3－x B．y＝x2＋1 C．y＝eq \f(1,x) D．y＝－|x|
2．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是( C )
A．[－4,4] B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[－3,1] D．[－3,4]
题型二：判断或证明函数的单调性
证明或判断函数单调性的方法主要是定义法(在解决选择或填空题时有时可用图象法)，利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是：
例1: 利用单调性的定义，证明函数y＝eq \f(x＋2,x＋1)在(－1，＋∞)上是减函数．
例2：判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明.
变式训练：
证明函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)在x∈(1，＋∞)上是增函数．
试讨论函数的单调性.
题型三 求函数的单调区间
（1）熟悉掌握常见函数的单调性
（2）求函数的单调区间一般步骤：
①先求函数的定义法，在定义域范围内求单调区间；
②根据函数图象（一次函数，二次函数，反比函数，含绝对值等），根据图象求单调区间．
(3)求函数单调区间的注意点
一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接．
例1：求下列函数的单调区间：
（1）； （2）. （3）
变式训练：
1．函数y＝x2－6x＋10在区间(2，4)上是( )
A．递减函数B．递增函数
C．先递减再递增D．先递增再递减
2．函数的单调递增区间为________.
3．函数的单调递增区间为__________.
4．函数f (x)＝1－（ ）
A．在(－1，＋∞)上单调递增 B．在(1，＋∞)上单调递增 C．在(－1，＋∞)上单调递减 D．在(1，＋∞)上单调递减
5．求函数的单调递增区间________.
知识点4：单调函数的运算性质
函数单调性的几种等价形式
（1）若f(x)的定义域为D，A⊆D，B⊆D，f(x)在A和B上都单调递减，未必有f(x)在A∪B上单调递减，如函数y＝eq \f(1,x).
（2）对增函数的判断，当x10或eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0.
对减函数的判断，当x1f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0或eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0.
若函数在区间上具有单调性，则在区间上具有以下性质.
（1）与（C为常数）具有相同的单调性.
（2）若为常数，则当时，与具有相同的单调性；当时，与具有相反的单调性.
（3）若恒为正值或恒为负值，为常数，则当时，与具有相反的单调性；当时，与具有相同的单调性.
（4）若，则与具有相同的单调性.
（5）在的公共单调区间上，有如下结论：
当都是增（减）函数，若两者都恒大于零，则也是增（减）函数；若两者都恒小于零，则是减（增）函数.
例1.（多选）如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的是
A．B．
C．D．
2．已知函数的定义域为，且对定义域内任意实数，，均有，则在上（ ）
A．单调递增B．单调递减
C．先单调递减再单调递增D．先单调递增再单调递减
变式训练：
1．如果函数在上是增函数，那么对于任意的，，下列结论中不正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．
2．下列有关函数单调性的说法，不正确的是（ ）
A．若为增函数，为增函数，则为增函数
B．若为减函数，为减函数，则为减函数
C．若为增函数，为减函数，则为增函数
D．若为减函数，为增函数，则为减函数
课堂练习
一、单选题
1．如图是定义在区间上的函数的图象，则下列关于函数的说法错误的是( )
A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递增
C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上没有单调性
2．定义在R上的函数f(x)对任意两个不等的实数a，b，总有成立，则f(x)必定是（ ）
A．先增后减的函数B．先减后增的函数
C．在R上的增函数D．在R上的减函数
3．设都是的单调增区间，且，，则与的大小关系为( )
A．B．C．D．不能确定
4．函数f（x）=|x2﹣6x+8|的单调递增区间为（ ）
A．[3，+∞）B．（﹣∞，2），（4，+∞）
C．（2，3），（4，+∞）D．（﹣∞，2]，[3，4]
5．下列函数中，在上为增函数的是
A．B．C．D．
6．已知函数f(x)在R上是增函数，则下列说法正确的是( )
A．y＝－f(x)在R上是减函数 B．y＝在R上是减函数
C．y＝[f(x)]2在R上是增函数 D．y＝af(x)(a为实数)在R上是增函数
二、多选题
7．下列函数中，在上为增函数的是（ ）
A． B． C． D． E.
三、填空题
8．函数的单调递增区间为__________.
9．求函数的单调递增区间________.
四、解答题
10．已知函数的图象经过点（1，1），．
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在（0，+）上的单调性并用定义证明；
参考答案
1．C
【详解】
由图象可知，函数在[-5，-3]和[1，4]两个区间单调递增，则A、B选项是正确的；
又因为函数在[-3，1]和[4，5]两个区间上分别单调递减，
但在区间[-3，1]∪[4，5]上没有单调性，则C选项错误；
观察函数图象可知函数在[-5，5]上没有单调性，则D选项正确.故选C.
2．C
【详解】
设，根据题意有，
，
，
即，所以f(x)是在R上的增函数故选:C.
3．D
【详解】
根据单调函数的定义，所取两个自变量必须是同一单调区间内的任意两个自变量，才能由该区间上函数的单调性来比较出函数值的大小，而本题中的不在同一单调区间，故 与 的大小不能确定，故选D.
4．C
【详解】
画出的图象如图：
由图象可知，函数的增区间为，故选C.
5．B【解析】
对于A,函数的图象是抛物线，对称轴是x=2，当x<2时是减函数，x>2时是增函数，∴不满足题意；
对于B,函数，∴当 时，是增函数，x<1时，是减函数，∴满足题意；
对于C,函数，当x<−1，x>−1时，函数是减函数，∴不满足题意；
对于D,函数的图象是抛物线，对称轴是x=−1，当x>−1时是减函数，x<−1时是增函数，∴不满足题意；故选B.
6．A
【详解】
对于选项A,设x1＜x2，因为函数f(x)在R上是增函数，故必有f(x1)＜f(x2)．所以－f(x1)＞－f(x2)，A选项一定成立.
对于选项B,设f(x)=x,是R上的增函数，但是y＝=不是R上的减函数，只是上的减函数，所以选项B错误.
对于选项C, 设f(x)=x,是R上的增函数，但是y＝[f(x)]2=不是R上的增函数，所以选项C错误.
对于选项D, 设f(x)=x,是R上的增函数，但是y＝af(x)=ax不一定是R上的增函数，当 a＜0时，它是减函数，所以选项D错误.故答案为A
7．CDE
【详解】
在A中，当时，在上为减函数；
在B中，当时，在上既不是增函数，
也不是减函数；
在C中，当时，在上是增函数；
在D中，当时，在上是增函数；
在E中，当时，在上为增函数.
故选:CDE.
8．
【详解】
由题意可知，，
当时，，单调递增区间为；
当时，，此时函数恒为减函数，
综上所述，函数的单调递增区间为，
故答案为：.
9．和
【详解】
，
作出函数图象如图所示.
函数的单调递增区间是和.
故答案为:和.
10．（1）.（2）见解析.
【分析】
（1）根据条件列方程组，解得a,b，即得解析式，（2）根据单调性定义先作差，再因式分解，根据各因子符号确定差的符号，最后根据定义确定单调性.
【详解】
（1）由 f(x)的图象过A、B，则，解得．
∴.
（2）证明：设任意x1，x2∈，且x1 ∴
.
由x1，x2∈，得x1x2>0，x1x2+2>0．
由x1∴，即．
∴函数在上为减函
题型四：函数单调性的应用
考点一：利用函数的单调性比较大小
思路：利用函数的单调性及自变量的大小可以比较两个函数值的大小，
已知函数在定义域的某个区间上是递增的，若对区间内任意两个值，且x1f(x2)；
例1．已知函数在区间上是增函数，那么下列不等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
例2．若函数f(x)是R上的增函数，对实数a，b，若a＋b>0，则有( )
A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)B．f(a)＋f(b)C．f(a)－f(b)>f(－a)－f(－b)D．f(a)－f(b)例3．若f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，则下列说法中正确的是( )
A．f(x)>f(0) B．f(x2)>f(0)
C．f(3a＋1)变式训练：
1．已知函数是上的增函数，那么（ ）
A．B．
C．D．
2．若函数是上的减函数，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C．D．
3．设都是的单调增区间，且，，则与的大小关系为( )
A．B．C．D．不能确定
4．已知函数，设，，，，则
A．B．
C．D．，，的大小关系不能确定
考点二：利用函数的单调性解不等式
若在给定区间上是递增的，当f(x1)>f(x2)，则有；
若在给定区间上是递减的，当f(x1)>f(x2)，则有；
例1.已知是定义在区间[-1,1]上的增函数，且，则的取值范围为
2.已知函数的定义域为，且在上是增函数，，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．若函数在上是减函数，且，则的取值范围是
A． B．
C．D．
4．已知函数，若，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
变式训练：
1．函数在R上为增函数，且，则实数m的取值范围是
A．B．
C．D．
2．函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,且f(2m)>f(-m+9),则实数m的取值范围是
A．(-∞,3)B．(0,3)
C．(3,+∞)D．(3,9)
3．已知函数的定义域为,对任意的 都有且则的解集为( )
A．B．C．D．
4．定义在R上的函数，对任意的（），都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数f (x)＝，若f (2a2－5a＋4)A．∪(2,＋∞)B．[2,6)
C．∪[2,6)D．(0,6)
考点三：利用函数的单调性求参数的取值范围
利用常见函数的单调性区间求取值范围
利用单调性的定义转化为恒成立来求。
例1．如果函数在区间上单调递减，那么实数的取值范围是（ ）
2．已知函数，若对任意，，且，都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数f(x)=，在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．[3，4]B．[3，5]C．(3，4]D．
4．函数满足对任意都有，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式训练：
1．函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4)上递减，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．函数在上单调，则实数a的取值范围（ ）
A． B． C．D．
3．函数，对，且恒有，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
6．若是定义在(-∞,+∞)上的减函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
课后练习题
1．若函数在上单减，则k的取值范围为__________.
2．已知函数是定义在上的减函数，且，则实数的取值范围为______．
3．函数的单调递减区间为
A．B．C．D．
4．已知函数在区间上是增函数，那么下列不等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知函数f(x)的定义域为R，且对任意两个不相等的实数a，b都有，则不等式的解集为（ ）
A．(3，+∞)B．C．(-∞，2)D．(2，+∞)
6．若函数的单调递减区间是，，则实数的值为___________.
7．函数在区间上是增函数，则区间是（ ）
A．B．C．D．
8．若函数在R上为增函数，则实数b的取值范围为________.
9．如果函数在区间上是增函数，而函数在区间上是减函数，那么称函数在区间上为“缓增函数”，区间为的“缓增区间”.若函数是区间上的“缓增函数”，则的“缓增区间”为（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数是上的增函数，，是其图象上的两点，那么的解集的补集是（ ）
A． B． C．D．
11．若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围
A．B．C．D．
12．已知函数的图象对称轴方程为直线，则下列关系式正确的是
A． B． C．D．
13．若函数满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
14．有下列几个命题：
①函数y=2x2+x+1在(0，+∞)上不是增函数； ②函数y=在(-∞，-1)∪(-1，+∞)上是减函数；
③函数y=的单调区间是[-2，+∞)；
④已知f(x)在R上是增函数，若a+b>0，则有f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).
正确命题的序号是__________
15．已知二次函数满足，且，对任意，成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
16．已知，若，则的大小关系是
A． B．
C． D．
参考答案
1．【详解】
因为函数在上单减，所以，得，所以k的取值范围为.
故答案为：
2．【详解】因为函数是定义在上的减函数，且，
所以，故.故答案为：.
3．D
【详解】由题意，，可得或，
函数的定义域为，
令，则外层函数在上单调递增，
内层函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，函数的单调递减区间为.故选：D.
4．D
【详解】由函数在区间上是增函数得，
.故选:D.
5．A【详解】
不妨设，因为，所以，
故是上的增函数，原不等式等价于，解得．故选：A
6．4
【详解】解：当时，，此时函数为增函数，
当时，，此时函数为减函数，
则函数的单调递减区间为，，
函数的单调递减区间是，，，故答案为：4
7．B【详解】
作出函数的草图如图所示．
由图易知原函数在上单调递增．故选：B．
8．
【详解】
在为增函数；∴，解得；∴实数的取值范围是，故答案为.
9．D
【详解】
由二次函数的基本性质可知，函数的单调递增区间为.
设，则函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，下面来证明这一结论.
任取、且，即，
，
，则，，所以，，
所以，函数在区间上为增函数，同理可证函数在区间上为减函数.因此，的“缓增区间”为.故选：D.
10．D
【详解】不等式可变形为，
∵，是函数图象上的两点，∴，，
∴等价于不等式，又∵函数是上的增函数，
∴等价于，解得，
∴不等式的解集，∴其补集．故选：D．
D
12．C
【详解】
根据二次函数的图象的开口向上，对称轴为，所以在上递减，
， 故选C．
13．C
【详解】
因为函数满足对任意的实数，都有成立，所以函数在上是增函数，
所以在与上均为增函数，即解得.
所以实数的取值范围是.故选C.
14．④
【详解】
①：，对称轴为：，所以该函数的增区间为，显然该函数在(0，+∞)上单调递增，故本命题不正确；
②：设，，显然，但是，不符合减函数的性质，故本命题不正确；
③：函数的定义域为：，显然本命题不正确；
④：由a+b>0，可得，因为f(x)在R上是增函数，所以，
由a+b>0，可得，因为f(x)在R上是增函数，所以，因此f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).故答案为：④
15．A【详解】
设二次函数
则
又
解得
函数在上单调递增令
当时，满足题意当时
解得综上，的取值范围为，故选：A
16．C
【详解】
试题分析：由题意可得，而，∴在上单调递减，∴，选C.
第二课时：函数的最值
知识点1：函数的最大（小）值
2.利用函数单调性求最值的常用结论
（1）如果函数在区间上单调递增，那么函数，在处有最小值，最大值为。
（2）如果函数在区间上单调递减，那么函数，在处有最大值，最小值为。
（3）如果函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，那么函数，在处有最大值，如图（1）所示：
（4）如果函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，那么函数，在处有最小值，如图（2）所示：
题型一：函数最值的概念及求最值
如图为函数的图像，指出它的最大值、最小值.
例2 （1）函数在区间[1，5]上的最大值为 ，最小值为 ；
（2）函数的最大值为 .
例3：已知函数则函数的最大值、最小值分别为 .
变式训练：
1．函数f(x)的部分图象如图所示,则此函数在[-2,2]上的最小值、最大值分别是
A．-1,3B．0,2C．-1,2D．3,2
2．若函数，的图象如图所示，则该函数的最大值、最小值分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
3．已知二次函数f（x）＝2x2﹣4x，则f（x）在[﹣1，]上的最大值为_____．
4．设函数在区间上的最大值和最小值分别为,，则
A．B．
C．D．
5．已知函数，，若的最小值为，则实数m的值为
A．B．C．3D．或3
6．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．对于每个实数，设取，，三个函数值中的最小值，则（ ）
A．无最大值，无最小值B．有最大值，最小值
C．有最大值，无最小值D．有最大值，无最小值
题型二：二次函数的最值问题
1.定轴定区间
例1：已知函数，当自变量在下列范围取值时，求函数的最大值和最小值：
（1）R； （2）[0,3] （3）[-1,1].
2.动轴定区间
例1：已知函数，求函数的最小值.
3.定轴动区间
例2：已知函数的最小值为，求的函数表达式.
变式训练：
1．设函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A．B．C．D．
2．设是方程的两个实根，则的最小值为（ ）
A．2B．0C．16D．
3．函数在区间上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知函数，.
（1）若函数是区间上的单调函数，求实数的取值范围；
（2）求函数在区间上的最小值.
5．已知二次函数满足且
（1）求的解析式；
（2）若，试求的最小值.
课后巩固
1．函数f(x)在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大、最小值分别为( )
A．3，0B．3，1C．3，无最小值D．3，－2
2．函数的最大值是（ ）
A．B．0C．4D．2
3．已知在区间上为单调递增函数，则实数a的取值范围是
A．B．C．D．
4．函数的最大值为M，最小值为N，则的值为（ ）
A．B．1C．D．2
5．已知函数，其定义域是，则下列说法正确的是
A．有最大值，无最小值
B．有最大值，最小值
C．有最大值，无最小值
D．无最大值，最小值
6．若函数的定义域和值域都是，则（ ）
A．1B．3C．2D．1或3
7．已知，则的值域是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数在区间上的最大值等于8，则函数的值域为______．
9．设函数的定义域为，以下三种说法：①若存在常数，使得对任意，有，则是的最大值；②若存在，使得对任意，有，则是的最大值；③若存在，使得对任意，且，有，则是的最大值.其中正确说法的个数为
A．0B．1C．2D．3
10．已知函数，设，，，，则
A．B．
C．D．，，的大小关系不能确定
11．定义域为R的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为
A．B．C．D．
二、多选题
12．已知函数，关于的最大（小）值有如下结论，其中正确的是（ ）
A．在区间上的最小值为1
B．在区间上既有最小值，又有最大值
C．在区间上有最小值2，最大值5
D．当时，在区间上的最小值为，当时，在区间上的最小值为1
E.在区间上的最大值为
四、解答题
13．已知函数.
（1）若，求在区间上的最小值；
（2）若在区间上有最大值3，求实数a的值.
14．已知我国华为公司生产某款手机的年固定成本为万元，每生产万只还需另投入万元.设公司一年内共生产该款手机万只并全部销售完，每万只的销售收入为万元，且.
(Ⅰ)写出年利润(万元）关于年产量(万只）的函数的解析式；
(Ⅱ)当年产量为多少万只时，公司在该款手机的生产中获得的利润最大？并求出最大利润.
15．已知二次函数的最小值为1，.
（1）求的解析式；
（2）若在区间上不单调，求的取值范围；
（3）若，试求的最小值.
函数
单调性
一次函数
时，在R上单调递增；
时，在R上单调递减.
反比例函数
时，单调递减区间是和；
时，单调递增区间是和.
二次函数
时，单调递减区间是，单调增区间是
时，单调递减区间是，单调增区间是.
的增区间是和，减区间是和.
函数
单调性
一次函数
时，在R上单调递增；
时，在R上单调递减.
反比例函数
时，单调递减区间是和；
时，单调递增区间是和.
二次函数
时，单调递减区间是，单调增区间是
时，单调递减区间是，单调增区间是.
的增区间是和，减区间是和.
增
增
增
不能确定单调性
增
减
不能确定单调性
增
减
减
减
不能确定单调性
减
增
不能确定单调性
减
名称
定义
几何意义
函数的最大 值
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数M满足：
，都有
，使得
那么，我们称M是函数的最大值
函数的最大值对应图像最高点的纵坐标.
函数的最小 值
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
（1），都有
（2），使得
那么，我们称是函数的最大值
函数的最小值对应图像最低点的纵坐标.
参考答案
1．C
【详解】
观察图象可以知道，图象的最高点坐标是(0，3)，从而其最大值是3；另外从图象看，无最低点，即该函数不存在最小值．故选C.
2．C
【详解】函数，当时，函数取得最大值4.故选：C
3．B
【详解】的对称轴为，
又的图象是开口向上的抛物线，在上递增，所以，故选B．
4．C
【详解】
由有意义，得，解得，因此的定义域为.
又函数在上单调递减，，
，因此.故选：C
5．A
【详解】
因为函数，所以在上单调递减，则在处取得最大值，最大值为，取不到函数值，即最小值取不到.故选A.
6．B
【详解】
∵函数的定义域和值域都是，且函数在上为增函数，∴，即.又∵，∴，解得，
故选B.
7．B
【详解】
在同一平面直角坐标系中，作出函数，，的图象，由
知，对任意，取三个函数值中最小的，因此的图象如图所示（实线部分），所以可得的值域为.
故选：B
8．
【详解】
二次函数的对称轴为，故，所以且，对称轴为，故所求值域为，填．
9．C【详解】
对任意，有，但2不是的最大值；①错误
由函数最大值的概念知②③正确，选C.
10．A【详解】
由题意构造函数g(x)=xf(x)= ,因为二次函数g(x)的对称轴为，
所以当x>0时可知函数g(x)单调递增，由，可得，故选A.
11．A
试题分析：设，则，则，又，∴，∴当时，取到最小值为.
考点：1、函数的解析式；2、二次函数的最值.
12．BCD
【详解】
函数的图象开口向上，对称轴为直线.
在选项A中，因为在区间上单调递减，所以在区间上的最小值为，A错误；
在选项B中，因为在区间上单调递减，在上单调递增，所以在区间上的最小值为，又因为，，，所以在区间上的最大值为，B正确；
在选项C中，因为在区间上单调递增，所以在区间上的最小值为，最大值为，C正确；
在选项D中，当时，在区间上是减函数，的最小值为，当时，由图象知在区间上的最小值为1，D正确；
在选项E中，当时，在区间上的最大值为2，当时，由图象知在区间上的最大值为，E错误.
故选：BCD
13．（1）（2）或
【详解】
解析（1）若，则，函数图象开口向下，图象的对称轴为直线，函数在区间上单调递增，
又，.
（2）易知函数图象的对称轴为直线，①当时，函数在区间上单调递减，则，解得；
②当时，函数在区间上单调递增在区间上单调递减，则，解得或，均不符合题意；
③当时，函数在区间上单调递增，则，解得综上所述，或.
14．(Ⅰ) ；（Ⅱ）见解析.
【详解】
试题分析：（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；
（2）分段求出函数的最大值，比较可得结论．
试题解析：（1）当时，，
当时，，
所以.
（2）①当时，，所以；
②当时，，由于，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最大值为，综合①②可知，当时，取得最大值为.
15．（1）；（2）；（3）当时，；当时，；当时，.
【详解】
（1）由已知∵是二次函数，且，∴对称轴为.又最小值为1，设，
又，∴.∴.
（2）要使在区间上不单调，则，
∴.
（3）由（1）知，的对称轴为，
若，则在上是增函数，.
若，即，则在上是减函数，.
若，即，则.综之，当时，；
当时，；当时，.
第三课时：复合函数及抽象函数的单调性
知识点一：复合函数的单调性
复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。
复合函数形式：，令：，则转化为其中叫作中间变量.叫作内层函数，叫作外层函数.
求复合函数单调性的步骤：
确定函数的定义域
将复合函数分解成两个基本函数 分解成
分别确定这两个函数在定义域的单调性
（4）再利用复合函数的”同增异减”来确定复合函数的单调性。
在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”
例1：已知函数在定义域上单调递减，求的单调递减区间.
变式训练：
若函数的单调增区间为，则函数的单调增区间为
求函数的单调性
已知函数在定义域上单调递减，求函数单调递减区间
知识点二：抽象函数的单调性
一类：一次函数型 函数满足： 或
例1 .函数f(x)对任意x､y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时, <0, f(3)=-2.
(1)判断并证明f(x)在区间(-∞,+∞)上的单调性;
(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
2.已知函数的定义域为R，对任意实数都有，且，
当时, >0.
(1)求；
(2) 判断函数的单调性，并证明.
二类：对数函数型 函数满足： 或
例1 .定义在，上的函数，满足 ，且当 时，.
（1）.求的值；
（2）.求证:；
（3）.求证:在上是增函数；
（4）.若，解不等式 .
三类：指数函数型 函数满足： 或
例1 .定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，
求证：f(0)=1；
求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；
（3）证明：f(x)是R上的增函数；
（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。
变式训练
1．已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)是R上的单调减函数．
(2)求f(x)在[－3,3]上的最小值．
2．已知定义在上的函数对任意，恒有， 且当时，，.
（1）判断在上的单调性并加以证明；
（2）若，求的取值范围.
3．设是定义在R上的函数,对任意的,恒有，且当时, .
(1)求的值;
(2)求证:对任意,恒有.
(3)求证:在R上是减函数.
基础巩固：
设都是的单调递增区间，且，则的大小关系为（ ）
B. C. D.不能确定
2.函数的单调递减区间为（ ）
A. B. C. D.
3.若函数的定义域为R，且在上单调递减，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
4.若与在区间[1,2]上都是单调递减，则取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.函数 的最大值为 .
6.已知二次函数的图像关于y轴对称，且在上单调递增，则的大小关系为 .
7.二次函数在上有最大值3，最小值1，则实数的取值范围是 .
8.已知函数
（1）用定义证明在区间上单调递增；
（2）求该函数在[2,4]上的最大值与最小值.
能力提升
9.（多选题）定义在R上的函数的图像如图所示，它在定义域上是减函数，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C.若，则 D.若，则
10.已知定义在上的函数满足满足：对任意正实数都有，且当时恒有，则下列结论正确的是（ ）
A.在上是减函数 B.在上是增函数
C.在上单调递减，在上单调递增
D.在上单调递增，在上单调递减
11.函数的单调递减区间为（ ）
A. B.（0,1） C.（1,2） D.（0,2）
12.已知定义在R上的增函数满足对任意，都有，且，，若，则的取值范围是（ ）
A. B.（-1,1） C.（0,2） D.（1,3）
13.已知函数，若有最小值-2，则的最大值为 .
14.已知函数，且在R上单调递减，则实数的取值范围为 .
15.将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则S最小值是 .
16.为实数，函数在区间[0,1]上的最大值记为.当= 时，的值最小.
17.已知函数对任意的，总有，且当时，，且当时，.
（1）求证：是R的减函数；
（2）求在[-3,3]上的最大值及最小值.
18.定义在上的函数，满足，且当时，.
（1）求的值；
（2）求证：
（3）求证：在上是增函数；
（4）若，解不等式
（5）比较与的大小.
答案：
D
B
B
D
2
[2,4]
（1）用定义证明即可；（2）
AD
A
C
B
1
[2,3]
（1）略 （2）-2
（1）0；（2）.（3）任取，且，则.由（2）得，即.故在上是增函数.（4）；（5）.
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增