人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.1.1 数列的概念练习题

专题　数列的概念

基本知识点

一、数列的分类

二、基本数列的通项公式

(1)数列－1,1，－1,1，…的通项公式是an＝(－1)n.

(2)数列1,2,3,4，…的通项公式是an＝n.

(3)数列1,3,5,7，…的通项公式是an＝2n－1.

(4)数列2,4,6,8，…的通项公式是an＝2n.

(5)数列1,2,4,8，…的通项公式是an＝2n－1.

(6)数列1,4,9,16，…的通项公式是an＝n2.

(7)数列1，，，，…的通项公式是an＝.

例题分析

一、数列的概念及分类

例1　已知下列数列：

①2 011，2 012，2 013，2 014，2 015，2 016；

②1，，，…，，…；

③1，－，，…，，…；

④1，0，－1，…，sin，…；

⑤3，9，27，81，…；

⑥－1，－1，－1，－1.

其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________(填序号)．

(对应训练一)给出以下数列：①1，－1,1，－1，…；②2,4,6,8，…，1 000；③8,8,8,8，…；④0.8,0.82,0.83,0.84，…，0.810.其中，有穷数列为______；无穷数列为______；递增数列为______；递减数列为_____；摆动数列为_____；常数列为______．(填序号)

(对应训练二)下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是(　　)

A．1，，，，…　　 　     B．sin ，sin ，sin ，…

C．－1，－，－，－，…     D．1，，，…，

(对应训练三)给出下列数列：①2010～2017年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82，93，105，118，132，147，163，180；②无穷多个构成数列， ， ， ，…；③－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2，4，－8，16，－32，….

其中，有穷数列是________，无穷数列是_______，递增数列是________，常数列是________，摆动数列是________．

二、由数列的前几项求通项公式

例2　写出数列的一个通项公式，使它的前4项是下列各数：

(1)－1，，－，；(2)，3，，；

(3)0.9，0.99，0.999，0.999 9；(4)3，5，3，5.

(对应训练一)写出下列数列的一个通项公式：

(1)0,3,8,15,24，…；         (2)1，－3,5，－7,9，…；

(3)1，2，3，4，…；    (4)1,11,111,1 111，….

(对应训练二) (1)数列，，，，…的一个通项公式是________．

(2)根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式．

①，，，，…；②－3,7，－15,31，…；③2,6,2,6，….

三、判定数列中项的问题

例3　已知数列{an}的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的2倍．

(1)求这个数列的第4项与第25项；

(2)253和153是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？

(对应训练)已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.

(1)写出数列的第4项和第6项；

(2)－49和68是该数列的项吗？若是，应是第几项？若不是，请说明理由．

四、根据图形规律求通项

例4　图中由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：

通过观察可以发现：第n个图形中，火柴棒的根数为(　　)

A．3n－1      B．3n        C．3n＋1     D．3(n＋1)

 (对应训练)如图(1)是第七届国际数学教育大会(简称ICME­7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(2)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝________.

五、根据增减性求数列中的未知数

例5　已知数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N*)，且{an}单调递增，则k的取值范围是(　　)

A．(－∞，2]       B．(－∞，3)   C．(－∞，2)         D．(－∞，3]

(对应训练)已知{an}是递增数列，且对任意的自然数n(n≥1)，都有an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围为__    __.

六、数列在分段函数中的应用

例6　已知数列的通项公式为an＝则a2a3等于(　　)

A．20        B．28        C．0         D．12

(对应训练)设函数f(x)＝数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是____.

专题训练

1．下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是    (　　)

A．1，，，，…             B．sin ，sin ，sin ，sin ，…

C．－1，－，－，－，…       D．1,2,3,4，…，30

2．若数列{an}满足an＝2n，则数列{an}是(　　)

A．递增数列      B．递减数列       C．常数列        D．摆动数列

3．已知数列{an}的通项公式an＝，则an·an＋1·an＋2等于(　　)

A.          B．       C.         D．

4．下列说法正确的是(　　)

A．数列1,3,5,7与数集{1,3,5,7}是一样的

B．数列1,2,3与数列3,2,1是相同的

C．数列是递增数列

D．数列是摆动数列

5．已知数列{an}的通项公式an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是(　　)

A.         B．5         C．6        D．

6．已知数列－1，，－，…，(－1)n，…，则它的第5项的值为(　　)

A.         B．－        C.       D．－

7．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3(　　)

A．不是数列{an}中的项

B．只是数列{an}的第2项

C．只是数列{an}的第6项

D．是数列{an}的第2项或第6项

8．对任意的a1∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1>an(n∈N*)，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)

9．数列{an}的通项公式an＝，则－3是此数列的第        项．

10．已知数列{an}：2，－6,12，－20,30，－42，…，写出该数列的一个通项公式为        ．

11．数列a，b，a，b，…的一个通项公式是________．

12．已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________．

13．观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式：

(1)，，，________，，，…；

(2)，________，，，，…；

(3)2,1，________，，…；

(4)，，________，，….

14．根据图中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有________个点．

15．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，则数列{an}的最大项是第____项．

16．在数列{an}中，已知a1＝，an＋1－an＝，试写出该数列的前4项，并归纳出它的通项公式．

17．已知数列{an}的通项公式是an＝.

(1)写出该数列的第4项和第7项；

(2)试判断和是否是该数列中的项？若是，求出它是第几项；若不是，说明理由．

18．已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋q(p，q∈R)，且a1＝－，a2＝－.

(1)求{an}的通项公式；

(2)－是{an}中的第几项？

(3)该数列是递增数列还是递减数列？

19．已知数列.

(1)求这个数列的第10项；

(2)是不是该数列中的项，为什么？

(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；

(4)在区间内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由．

20．已知数列an＝试求a1＋a100和a1－a2＋a3－a4＋…＋a99－a100的值．