高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册第五章 数列5.1 数列基础5.1.1 数列的概念示范课课件ppt

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1.理解数列的概念,掌握数列的几种分类;2.理解数列通项公式的概念及意义;3.了解数列是一种特殊的函数;4.能用通项公式求数列的项,能够根据数列的已知项,求数列的一个通项公式.
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1.数列的概念按照　　　　　　　　排列的一列数称为数列.数列中的每一个数都称为这个数列的　　　　　,各项依次称为这个数列的第1项(或　　　　　),第2项……组成数列的数的个数称为数列的　　　　　. 
2.数列按项的个数分类
其最后一项一般也称为这个数列的末项
名师点睛数列中的项与集合中的元素的对比(1)确定性:一个数是或不是某一数列中的项是确定的,集合中的元素也具有确定性.(2)可重复性:数列中的数可以重复,而集合中的元素不能重复出现.(3)有序性:一个数列不仅与组成数列的数有关,而且与这些数的排列顺序有关,而集合中的元素没有顺序.(4)数列中的每一项都是数,而集合中的元素还可以是其他事物.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)数列4,7,3,4的首项是4.(　　)(2)数列1,2,3,…是无穷数列.(　　)2.下列说法正确的是(　　)A.数列2,3,4与数列4,3,2是同一个数列B.数列1,2,3与数列1,2,3,…是同一个数列
D.2,1,2,1是数列
解析 A中,排列顺序不同,不是同一个数列;B中,数列的项数不同,不是同一个数列;C中是数列.故选D.
3.[人教A版教材习题改编]写出下列数列的前10项.(1)所有正偶数的平方按从小到大的顺序排列成的数列;(2)所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列.
解(1)4,16,36,64,100,144,196,256,324,400.
1.数列的通项因为数列从首项起,每一项都与正整数对应,所以数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…,其中an表示数列的第n项(也称n为an的序号,其中n为正整数,即n∈N+),称为数列的通项.此时,一般将整个数列简记为　　　　　. 2.数列的通项公式一般地,如果数列的第n项an与n(n∈N+)之间的关系可以用　　　　来表示,其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式,则称上述关系式为这个数列的一个通项公式. 
3.对数列通项公式的两点说明(1)并非所有的数列都有通项公式;(2)数列的通项公式在形式上不一定是唯一的.
名师点睛数列的通项公式an=f(n)体现了数列中项与序号之间的对应关系,一旦知道了数列的通项公式,便可写出数列中的任意一项,从而确定数列的取值特点.
过关自诊[北师大版教材例题]写出下面各数列的一个通项公式.(1)3,5,7,9,…;(2)1,2,4,8,…;(3)9,99,999,9 999,….
解(1)观察知,这个数列的前4项都是序号的2倍加1,所以它的一个通项公式为an=2n+1.(2)这个数列的前4项可以写成20,21,22,23,所以它的一个通项公式为an=2n-1.(3)这个数列的前4项可以写成10-1,100-1,1 000-1,10 000-1,所以它的一个通项公式为an=10n-1.
1.数列的本质数列{an}可以看成定义域为正整数集的子集的函数,数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值,而数列的通项公式也就是相应函数的解析式.
2.数列按函数特性分类
名师点睛数列是一种特殊的函数,因此,我们可以借用函数的研究方法来研究数列,但也要时刻注意两者之间的区别:一般函数的定义域为连续的区间,而数列的定义域则为离散的正整数集的子集.
过关自诊1.(多选题)下列结论中正确的是(　 　)A.数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3,…,n})上的函数B.数列若用图象表示,则从图象上看是一群孤立的点C.数列的项数是无限大的D.若数列{an}的通项an=2n+1,则数列{an}是递增数列
解析 由数列的定义知,数列是特殊的函数,其定义域是正整数集或它的有限子集{1,2,3,…,n},选项A,B正确;由于数列有有穷数列与无穷数列之分,即数列的项数可以是任意正整数,C不正确;对于an=2n+1,得到an+1>an,所以数列{an}是递增数列,D正确.故选ABD.
2.已知下列数列:①-1,0,1,2,3,4,…,n; ②1,-1,1,-1,…;
④6,6,6,6,6.其中递增数列为　　　　　,递减数列为　　　　　,常数列为　　　　　,有穷数列为　　　　　,无穷数列为　　　　　.(填序号) 
探究点一　数列的概念及分类
【例1】 已知下列数列:①2 015,2 016,2 017,2 018,2 019,2 020;
⑤2,4,8,16,32,…;⑥-1,-1,-1,-1.其中,有穷数列为　　　　,无穷数列为　　　　,递增数列为　　　　,递减数列为　　　　,常数列为　　　　,摆动数列为　　　　.(填序号) 
解析 ①为有穷数列且为递增数列;②为无穷数列且为递减数列;③为无穷数列且为摆动数列;④为无穷数列且为摆动数列;⑤为无穷数列且为递增数列;⑥为有穷数列且为常数列.
规律方法　判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣数列的概念及特点.对于递增、递减、摆动和常数列要从项的变化趋势来分析,而有穷和无穷数列则要看项数.
变式训练1给出下列数列:①2016~2023年某省高中生人数(单位:万人)组成数列82,93,105,118,132,147,163,180;
③-2的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……组成数列-2,4,-8,16,-32,….其中,有穷数列为　　　　　,无穷数列为　　　　　,递增数列为　　　　　,常数列为　　　　　,摆动数列为　　　　　.(填序号) 
解析 ①为有穷数列且为递增数列;②③为无穷数列,其中②为常数列,③为摆动数列.
探究点二　数列的通项公式
角度1.观察法求通项公式【例2】 写出无穷数列{an}的一个通项公式,使它的前4项是下列各数:
(4)3,5,3,5.
(3)0.9,0.99,0.999,0.999 9;
解 数列的前4项中奇数项为3,偶数项为5,所以数列的一个通项公式为 此数列还可以这样考虑,3与5的算术平均值为4,4+1=5,4-1=3,因此数列的另一个通项公式为an=4+(-1)n.
规律方法　1.根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住以下几方面的特征:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③拆项后的特征;④各项符号特征等.2.观察、分析数列中各项的特点是最重要的,观察出项与序号之间的关系,利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换使问题得到解决,对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.
变式训练2[人教A版教材例题改编]根据下列数列的前4项,写出数列的一个通项公式:
(2)2,0,2,0,…;
解 这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数,并且奇数项为正,偶数项为负,所以它的一个通项公式为
解 这个数列前4项的奇数项是2,偶数项是0,所以它的一个通项公式为an=(-1)n+1+1.
(4)1,11,111,1 111,….
解 此数列中,带分数的整数部分为1,2,3,4,…,恰好是序号n,分数部分与序
角度2.数列通项公式的应用【例3】 已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n.(1)写出此数列的第4项和第6项.(2)-49是不是该数列中的项?如果是,求出是第几项;如果不是,说明理由.68是不是该数列中的项呢?
解(1)a4=3×42-28×4=-64,a6=3×62-28×6=-60.
变式探究若本例中的条件不变,(1)试写出该数列的第3项和第8项.(2)20是不是该数列中的项?如果是,求出是第几项;如果不是,请说明理由.
解(1)因为an=3n2-28n,所以a3=3×32-28×3=-57,a8=3×82-28×8=-32.
所以20是该数列的第10项.
规律方法　数列通项公式的应用技巧(1)由通项公式写出数列的指定项,主要是对n进行取值,然后代入通项公式,相当于函数中,已知函数解析式和自变量的值求函数值.(2)判断一个数是不是某数列中的项,其方法是令通项公式等于这个数得到一个方程,求该方程的根,根据方程有无正整数根便可确定这个数是不是该数列中的项.(3)在用函数的有关知识解决数列问题时,要注意它的定义域为正整数集的子集这一约束条件.
探究点三　数列与函数的关系
【例4】 [人教A版教材习题]已知函数f(x)= (x∈R),设数列{an}的通项公式为an=f(n)(n∈N+).(1)求证:an≥ .(2){an}是递增数列还是递减数列?为什么?
规律方法　判断数列是递增数列还是递减数列的方法(1)作差比较法①若an+1-an>0恒成立,则数列{an}是递增数列;②若an+1-an<0恒成立,则数列{an}是递减数列;③若an+1-an=0恒成立,则数列{an}是常数列.(2)作商比较法
变式训练3已知数列{an}的通项公式是 ,该数列有没有最大项?若有,求出其最大项和最大项的序号;若没有,请说明理由.
n∈N+时,an+1-an>0,即an+1>an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n>9且n∈N+时,an+1-an<0,即an+1a11>a12>…,
2.若数列{an}是递增数列,则数列{an}的通项公式可以是(　　)
C.an=2-nD.an=(-n)n
B.an=n2-3n
正确;对于B,因为a1=-2=a2,所以数列{n2-3n}不是递增数列,故B错误;对于C,因为y=2-x为R上的减函数,所以数列{2-n}为递减数列,故C错误;对于D,数列{(-n)n}为摆动数列,故D错误.故选A.
3.数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的通项公式可以为(　　)
4.已知数列{an}中,an=-2n2+31n+9(n∈N+),则{an}中的最大项为　　　. 
∴数列{an}中的最大项为129.
5.[2023江苏连云港高二阶段练习]观察数列的特点,用一个适当的数填
解析 由于数列的前几项中根号下的数都是由小到大的奇数,所以需要填空的数为 =3.