人教B版 (2019)选择性必修 第三册第五章 数列5.2 等差数列5.2.1 等差数列第2课时导学案

第2课时　等差数列的性质

最新课程标准

    1.掌握等差数列中两项及多项之间的关系．(重点、易错点)

2．能灵活运用等差数列的性质解决问题．(难点)

[教材要点]

知识点一　等差数列的图像

等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是一固定常数；当d≠0时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以________为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．

知识点二　等差中项

如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的________，且A＝.

　任意两数都有等差中项吗？

[提示]　是．

知识点三　等差数列的性质

(1){an}是等差数列，若正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝________.

①特别地，当p＋q＝2s(p，q，s∈N＋)时，2as＝ap＋aq.

②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的________，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….

(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为________数列．

(3)若{an}是公差为d的等差数列，则

①{c＋an}(c为任一常数)是公差为________的等差数列；

②{can}(c为任一常数)是公差为________的等差数列；

③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为________的等差数列．

(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为________的等差数列．

(5){an}的公差为d，则d>0⇔{an}为________数列；

d<0⇔{an}为________数列；d＝0⇔{an}为常数列．

　能用am和d表示an吗？如何表示？

[提示]　能．an＝am＋(n－m)d.

[基础自测]

　　1．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝(　　)

A．12　　  B．16

C．20　　  D．24

2．在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝33，则a3＋a5＝(　　)

A．36　　  B．37

C．38　　  D．39

3．在等差数列 {an}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.

4．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于(　　)

A．0  B．37

C．100  D．－37

题型一　等差中项及其应用

例1　在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．

方法归纳

三个数a，b，c成等差数列的条件是b＝(或2b＝a＋c)，可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)．

跟踪训练1　已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为(　　)

A.　　　　　　　　　　B.

C.　　  D.

题型二　等差数列通项公式的推广

例2　(1)已知等差数列{an}中，a3＝9，a9＝3，则公差d的值为(　　)

A．－　  B.

C．－1  D．1

(2)已知数列{an}中，a3＝，a7＝，且是等差数列，则a5＝(　　)

A.  B.

C.  D.

方法归纳

1．利用等差数列的通项公式列关于a1和d的方程组，求出a1和d，进而解决问题是处理等差数列问题的最基本方法．

2．巧妙地利用等差数列的性质，可以大大简化解题过程．

3．通项公式的变形形式an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)，它又可变形为d＝，应注意把握，并学会应用．

跟踪训练2　(1)已知等差数列{an}中，a4＝8，a8＝4，则数列{an}的通项公式为________；

(2)若x≠y，且两个数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各成等差数列，那么等于________．

题型三　等差数列的性质

1. 数列1,2,3,4,5,6,7,8，…是等差数列吗？1,3,5，7，…是等差数列吗？2,4,6,8，…是等差数列吗，它们有什么关系？这说明了什么？

[提示]　这三个数列均是等差数列，后两个数列是从第一个数列中每隔相同的项数抽取一项，按原来顺序组成的新数列，这说明从一个等差数列中每隔相同的项数取一项，按原来的顺序排列，还是一个等差数列．

2．在等差数列{an}中，若an＝3n＋1.那么a1＋a5＝a2＋a4吗？a2＋a5＝a3＋a4成立吗？由此你能得到什么结论？该结论对任意等差数列都适用吗？为什么？

[提示]　由an＝3n＋1可知a1＋a5＝a2＋a4与a2＋a5＝a3＋a4均成立，由此有若s，t，p，q∈N＋且s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq.

对于任意等差数列{an}，设其公差为d.

则as＋at＝a1＋(s－1)d＋a1＋(t－1)d

＝2a1＋(s＋t－2)d，

ap＋aq＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d

＝2a1＋(p＋q－2)d，

因s＋t＝p＋q，故as＋at＝ap＋aq对任意等差数列都适用．

3．在等差数列{an}中，2an＝an＋1＋an－1(n≥2)成立吗？2an＝an＋k＋an－k(n>k>0)是否成立？

[提示]　在2的结论中令s＝t，p＝n＋1，q＝n－1，可知2an＝an＋1＋an－1成立；s＝t，p＝n＋k，q＝n－k，可知2an＝an＋k＋an－k也成立．

例3　(1)等差数列{an}，若a1＋a17为一确定常数，则下列各式也为确定常数的是(　　)

A．a2＋a15  B．a2·a15

C．a2＋a9＋a16  D．a2·a9·a16

(2)设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.

方法归纳

1．等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．

2．应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项数之间的关系，但要注意性质运用的条件，如若s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq(s，t，p，q∈N＋)，需要当序号之和相等、项数相同时才成立．

跟踪训练3　在公差为d的等差数列{an}中．

(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；

(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求d.

　解答本题可以直接转化为基本量的运算，求出a1和d后再解决其他问题，也可以利用等差数列的性质来解决．

题型四　灵活设元解等差数列

例4　已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．

方法归纳

1．当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程组求出a1和d，即可确定数列．

2．当已知数列有2n项时，可设为a－(2n－1)d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋(2n－1)d，此时公差为2d.

3．当已知数列有2n＋1项时，可设为a－nd，a－(n－1)d，…，a－d，a，a＋d，…，a＋(n－1)d，a＋nd，此时公差为d.

跟踪训练4　三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．

教材反思

1．本节课的重点是等差数列性质的应用．

2．要重点掌握等差数列的如下性质：

(1)在等差数列{an}中，当s≠t时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为as＝at＋(s－t)d.

(2)等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．

(3)等差数列{an}中，若s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq(s，t，p，q∈N＋)，特别地，若2s＝p＋q，则2as＝ap＋aq.

3．等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1、d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．

第2课时　等差数列的性质

新知初探·自主学习

知识点一

d

知识点二

等差中项

知识点三

(1)ap＋aq　和　(2)等差　(3)d　cd　2d　(4)pd1＋qd2　(5)递增　递减

[基础自测]

1．解析：在等差数列中，由性质可得a2＋a10＝a4＋a8＝16.

答案：B

2．解析：a3＋a5＝a2＋a6＝5＋33＝38.

答案：C

3．解析：因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450.

所以a5＝90，

a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.

答案：180

4．解析：设{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，所以{an＋bn}为等差数列．又a1＋b1＝a2＋b2＝100，所以{an＋bn}为常数列，所以a37＋b37＝100.

答案：C

课堂探究·素养提升

例1　解析：∵－1，a，b，c,7成等差数列，

∴b是－1与7的等差中项，∴b＝＝3.

又a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1.

又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5.

∴该数列为－1,1,3,5,7.

跟踪训练1　解析：因为a＋b＝＋

＝＝＝2，

所以a，b的等差中项为.

答案：A

例2　解析：(1)∵a3＝9，a9＝3，又a9－a3＝6d，

∴3－9＝6d，即d＝－1.

(2)设等差数列的公差为d，则＝＋4d，∴＝＋4d，解得d＝2.

∴＝＋2d＝10，解得a5＝.

答案：(1)C　(2)B

跟踪训练2　解析：(1)设{an}的公差为d，则a8－a4＝4d，∴d＝－1.∴an＝a8＋(n－8)d＝4＋(n－8)×(－1)＝12－n.

(2)∵数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y均为等差数列，

∴∴＝1，

即＝，故＝.

答案：(1)an＝12－n　(2)

例3　解析：(1)因为a1＋a17为一确定常数，又a1＋a17＝a2＋a16＝2a9，所以a2＋a16＋a9为一确定常数，故选C.

(2)法一：设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.

法二：∵数列{an}，{bn}都是等差数列，

∴数列{an＋bn}也构成等差数列，

∴2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，

∴2×21＝7＋a5＋b5，∴a5＋b5＝35.

答案：(1)C　(2)35

跟踪训练3　解析：法一：(1)化成a1和d的方程如下：

(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，

即4(a1＋12d)＝48.

∴4a13＝48.∴a13＝12.

(2)化成a1和d的方程如下：

解得或

∴d＝3或－3.

法二：(1)根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，及a2＋a24＝a3＋a23＝2a13.

得4a13＝48，∴a13＝12.

(2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34，及a3＋a4＝a2＋a5得

2(a2＋a5)＝34，

即a2＋a5＝17.

解得或

∴d＝＝＝3或d＝＝＝－3.

例4　解析：法一：设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意，得

解得或

∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.

法二：设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意，得

化简，得

解得或

∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.

法三：设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根据题意，得

化简，得解得

∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.

跟踪训练4　解析：设这三个数依次为a－d，a，a＋d，

则解得.

∴这三个数为4,3,2.