高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册第五章 数列5.2 等差数列5.2.1 等差数列学案设计

第2课时　等差数列的性质

必备知识·素养奠基

1.等差中项:如果x,A,y是等差数列,那么称A是x与y的等差中项,且A=.

2.等差数列中项与序号的关系

(1)两项关系

an=am+(n-m)d(m,n∈N+).

(2)多项关系

若s+t=p+q(p,q,s,t∈N+),

则as+at=ap+aq.

特别地,若2s=p+q,则2as=ap+aq.

如何证明若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am+an=ap+aq?

提示:因为am=a1+(m-1)d,an=a1+(n-1)d.

所以am+an=2a1+(m+n-2)d.

同理,ap+aq=2a1+(p+q-2)d,因为m+n=p+q,所以am+an=ap+aq.

3.等差数列的项的对称性

4.由等差数列构成的新等差数列

(1)条件

{an},{bn}分别是公差为d1,d2的等差数列.

(2)结论

5.等差数列的单调性

等差数列{an}的公差为d,

(1)当d>0时,数列{an}为递增数列.

(2)当d<0时,数列{an}为递减数列.

(3)当d=0时,数列{an}为常数列.

1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)

(1)若{an}是等差数列,则{|an|}也是等差数列. (　　)

(2)若数列{an}是等差数列,则a1,a3,a5,a7,a9也是等差数列. (　　)

(3)在等差数列{an}中,若am+an=ap+aq ,则m+n=p+q也能成立(m,n,p,q∈N+ ). (　　)

(4)在等差数列{an}中,若m+n=r,m,n,r∈N+,则am+an=ar. (　　)

提示:(1)×.如-2,-1,0,1,2是等差数列,但其绝对值就不是等差数列.

(2)√.若等差数列{an}公差为d,则a1,a3,a5,a7,a9也是等差数列,且其公差为2d.

(3)×.若数列{an}是常数列,则m+n=p+q不一定成立.

(4)×.如等差数列1,3,5,7,9中,a1+a2≠a3.

2.在等差数列{an}中,已知a1=1,a3+a5=8,则a7= (　　)

A.5   B.6   C.7    D.8

【解析】选C.由题意,根据等差中项的性质,有a1+a7=a3+a5.所以a7=a3+a5-a1=8-1=7.

3.若2,a,b,c,9成等差数列,则c-a=________. 

【解析】设公差为d,则9=2+4d,

所以d=.所以c-a=2d=.

答案:

关键能力·素养形成

类型一　等差中项的应用

【典例】1.已知a=,b=,则a,b的等差中项为 (　　)

A.    B.    C.    D.

2.{an}是等差数列,a1与a2的等差中项为1,a2与a3的等差中项为2,则公差

d= (　　)

A.2    B.    C.1     D.

3.已知,,成等差数列,证明,,成等差数列.

【思维·引】1.a,b的等差中项为(a+b).

2.根据等差中项的定义列出两个等量关系,两式相减即可求出公差.

3.由于所求证的是三个数成等差数列,所以可用等差中项来证明.

【解析】1.选A.a,b的等差中项为×=×(-++)=.

2.选C.因为{an}是等差数列,a1与a2的等差中项为1,a2,a3的等差中项为2,所以a1+a2=2,a2+a3=4,两式相减得a3-a1=2d=4-2,解得d=1.

3.因为,,成等差数列,所以=+,

化简得2ac=b(a+c),

又+==

====2·,

所以,,成等差数列.

【内化·悟】

三数a,b,c成等差数列的条件是什么?可用来解决什么问题?

提示:条件是b=(或2b=a+c),可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题.

【类题·通】

1.等差中项的应用策略

(1)涉及等差数列中相邻三项问题可用等差中项求解.

(2)在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项,即2an=an-1+an+1;实际上,等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项,即2an=an-m+an+m(m,n∈N+,m<n).

2.等差中项法判定等差数列

若数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2),则可判定数列{an}是等差数列.

【习练·破】

1.一个等差数列的前4项是a,x,b,2x,则等于 (　　)

A.     B.     C.     D.

【解析】选C.所以a=,b=x.所以=.

2.已知,,成等差数列,试证:a2,b2,c2也成等差数列.

【证明】由已知,,成等差数列,

可得=+,所以=,

所以(2b+a+c)(c+a)=2(b+c)(a+b),

所以a2+c2=2b2,所以a2,b2,c2也成等差数列.

【加练·固】

已知b是a,c的等差中项,且lg(a+1),lg(b-1),lg(c-1)成等差数列,同时a+b+c=15,求a,b,c的值.

【解析】因为2b=a+c,a+b+c=15,所以3b=15,b=5.设等差数列a,b,c的公差为d,则a=5-d,c=5+d.由2lg(b-1)=lg(a+1)+lg(c-1)知:

2lg4=lg(6-d)+lg(4+d).

从而16=(6-d)(4+d),

即d2-2d-8=0.所以d=4或d=-2.

所以a,b,c三个数分别为1,5,9或7,5,3.

类型二　等差数列性质的应用

【典例】1.在等差数列{an}中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于 (　　)

A.40    B.42    C.43    D.45

2.已知{an},{bn}是两个等差数列,其中a1=3,b1=-3,且a20-b20=6,那么a10-b10的值为 (　　)

A.-6    B.6    C.0    D.10

3.若{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.

【思维·引】1.由已知条件可以求首项和公差,注意到a4+a6=2a5,可迅速求值;

2.关键是注意到{an-bn}也是等差数列,

3.思路一:直接列出关于首项、公差的方程组求解;

思路二:根据a15,a30,a45,a60,a75为等差数列求解;

思路三:利用性质an=am+(n-m)d(m,n∈N+)求解.

【解析】1.选B.由

即得d=3.

所以a5=2+4×3=14,

所以a4+a5+a6=3a5=42.

2.选B.由于{an},{bn}都是等差数列,

所以{an-bn}也是等差数列,

而a1-b1=6,a20-b20=6,

所以{an-bn}是常数列,故a10-b10=6.

3.方法一:设等差数列{an}的公差为d,

因为a15=a1+14d,a60=a1+59d,

所以

解得

所以a75=a1+74d=+74×=24.

方法二:因为{an}为等差数列,

所以a15,a30,a45,a60,a75也为等差数列.

设其公差为d,则a15为首项,a60为第4项,

所以a60=a15+3d,即20=8+3d,解得d=4.

所以a75=a60+d=20+4=24.

方法三:因为a60=a15+(60-15)d,

所以d==.

所以a75=a60+(75-60)d=20+15×=24.

【内化·悟】

对于新构成的等差数列,解题时要注意什么问题?

提示:要注意判断新构成的等差数列的首项和公差.

【类题·通】

等差数列运算的两条常用思路

(1)根据已知条件,列出关于a1,d的方程(组),确定a1,d,然后求其他量.

(2)利用性质巧解,观察等差数列中项的序号,若满足m+n=p+q =2r(m,n,p,q ,r∈N+),则am+an=ap+aq=2ar.

特别提醒:递增等差数列d>0,递减等差数列d<0,解题时要注意数列的单调性对d取值的限制.

【习练·破】

1.在等差数列{an}中,a1+a4+a7=58,a2+a5+a8=44,则a3+a6+a9的值为 (　　)

A.30    B.27    C.24    D.21

【解析】选A.设b1=a1+a4+a7=58,b2=a2+a5+a8=44,b3=a3+a6+a9.因为{an}是等差数列,所以b1,b2,b3也是等差数列,得b1+b3=2b2,所以b3=2b2-b1=2×44-58=30,即a3+a6+a9=30.

2.已知数列{bn}为等差数列,若b3=-2,b10=12,则b8=________. 

【解析】方法一:因为{bn}为等差数列,

所以可设其公差为d,则d===2,

所以bn=b3+(n-3)d=2n-8.所以b8=2×8-8=8.

方法二:由==d,

得b8=×5+b3=2×5+(-2)=8.

答案:8

【加练·固】

在等差数列{an}中,a1+a3+a5=-12,且a1·a3·a5=80. 求通项an.

【解析】因为a1+a5=2a3,所以

⇒

解得a1=-10,a5=2或a1=2,a5=-10,

因为d=,所以d=3或-3,

所以an=-10+3(n-1)=3n-13,

或an=2-3(n-1)=-3n+5.

类型三　等差数列中对称设项法的应用

【典例】设三个数成单调递减的等差数列,三个数的和为12,三个数的积为48,求这三个数.

【思维·引】三个数成等差数列,可设这三个数为a+d,a,a-d.

【解析】设这三数为a+d,a,a-d,

则a-d+a+a+d=12,①

(a-d)·a·(a+d)=48,②,

由①②解得:a=4,d=2(d=-2舍去),

所以这三个数为6,4,2.

【素养·探】

在解等差数列中对称设项法的应用有关的问题时,经常利用核心素养中的数学运算,通过研究等差数列的各项之间的关系,巧设未知数,解方程组求解.

将本例的条件“递减”改为“递增”,“三个数的和为12,三个数的积为48”改为“三个数的和为21,三个数的积为231”,试求这三个数.

【解析】设这三个数分别为a-d,a,a+d,

由题意,得

即　解得

因为等差数列是递增数列,所以d=4.

所以这三个数为3,7,11.

【类题·通】

设等差数列的三个技巧

(1)对于连续奇数项的等差数列,可设为:…,x-d,x,x+d,…,此时公差为d.

(2)对于连续偶数项的等差数列,通常可设为:…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,此时公差为2d.

(3)等差数列的通项可设为an=pn+q.

【习练·破】

已知四个数依次成等差数列且是递增数列,四个数的平方和为94,首尾两数之积比中间两数之积少18,求此等差数列.

【解析】设四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,

则

又递增数列d>0,所以解得a=±,d=,

此等差数列为-1,2,5,8或-8,-5,-2,1.

类型四　等差数列的应用

角度1　与其他知识的综合应用

【典例】(2020·濮阳高二检测)已知各项都为正数的等差数列{an}中,a5=3,则a3a7的最大值为________. 

【思维·引】利用等差数列的性质、均值不等式取最值.

【解析】依题意,等差数列{an}各项都为正数,

所以a3>0,a7>0,所以a3a7≤=(a5)2=9.

当且仅当a3=a7=3时等号成立.

答案:9

角度2　实际应用

【典例】(2020·潍坊高二检测)《周髀算经》中有一个问题,从冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列,若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺,芒种的日影子长为4.5尺,则冬至的日影子长为              (　　)

A.12.5尺

B.10.5尺

C.15.5尺

D.9.5尺

【思维·引】将条件用首项a1,公差d表示,求出a1后即可.

【解析】选C.设此等差数列{an}的公差为d,则a1+a4+a7=3a1+9d=37.5,a1+11d=4.5,解得d=-1,a1=15.5.

【内化·悟】

解决数列实际应用问题,要关注哪些问题?

提示:(1)认真领会题意,根据题目条件,寻找有用的信息.若一组数按次序“定量”增加或减少时,则这组数成等差数列.

(2)合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键,在解题过程中,一定要分清首项、项数等关键的问题.

【类题·通】

1.解决数列综合问题的方法策略

(1)结合等差数列的性质或利用等差中项.

(2)利用通项公式,得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式.

(3)利用函数或不等式的有关方法解决.

2.解决等差数列实际应用问题的步骤

特别提醒:在利用数列方法解决实际问题时,一定要弄清首项、项数等关键问题.

【习练·破】

1.若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a≠b)的4个根可组成首项为的等差数列,则a+b的值为              (　　)

A.38    B.    C.    D.

【解析】选D.判断各个根对应数列的项数.因为每个方程的两个根的和都为1,故必有一个方程的根为和,不妨设方程x2-x+a=0的根为和.为等差数列的首项,为等差数列4项中的某一项,由x2-x+b=0的两根和为1,且两根为等差数列中的后3项中的两项,知只有为第4项,才能满足中间两项之和为1的条件,所以四根的排列顺序为,,,,所以a+b=×+×=.

2.古代中国数学辉煌灿烂,在《张邱建算经》中记载:“今有十等人,大官甲等十人官赐金,以等次差降之.上三人先入,得金四斤持出;下四人后入,得金三斤持出;中央三人未到者,亦依等次更给.问:各得金几何及未到三人复应得金几何?”则该问题中未到三人共得金________斤. 

【解析】设十人得金按等级依次设为a1,a2,…,a10,

则a1,a2,…,a10成等差数列,

且设等差数列a1,a2,…,a10的公差为d,

则　解得d=-,

所以a4+a5+a6=(a1+a2+a3)+9d=.

答案:

【加练·固】

方程f(x)=x的根称为函数f(x)的不动点,若函数f(x)=有唯一不动点,且x1=1 000,xn+1=,n=1,2,3,…,则x2 004等于              (　　)

A.2 004　　  　B.　　  　C.　　  　D.2 003

【解析】选B.令f(x)=x,则=x,

因为ax2+(2a-1)x=0有唯一不动点,

则2a-1=0,即a=,

所以f(x)=,

　xn+1====xn+,

　即xn+1-xn=(常数).

所以{xn}是首项为1 000,公差为的等差数列.

所以x2 004=1 000+2 003×=.

课堂检测·素养达标

1.已知2,b的等差中项为5,则b为 (　　)

A.    B.6    C.8    D.10

【解析】选C.因为2,b的等差中项为5,所以=5,所以2+b=10,所以b=8.

2.由公差d≠0的等差数列a1,a2,…,an组成一个新的数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…下列说法正确的是              (　　)

A.新数列不是等差数列

B.新数列是公差为d的等差数列

C.新数列是公差为2d的等差数列

D.新数列是公差为3d的等差数列

【解析】选C.因为(an+1+an+3)-(an+an+2)=(an+1-an)+(an+3-an+2)=2d,所以数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…是公差为2d的等差数列.

3.已知{an}为等差数列,a3+a8=22,a6=7,则a5=________. 

【解析】因为等差数列{an}中,a3+a8=a6+a5,

所以a5=(a3+a8)-a6=22-7=15.

答案:15

4.已知直角三角形的三条边的长度成等差数列,则它们长度的比等于________. 

【解析】设这个直角三角形的三边长分别为a-d,a,a+d,根据勾股定理,得(a-d)2+a2=(a+d)2,解得a=4d,于是这个直角三角形的三边长分别是3d,4d,5d,即这个直角三角形的三边长的比是3∶4∶5或5∶4∶3.

答案:3∶4∶5或5∶4∶3

【新情境·新思维】

如果有穷数列a1,a2,…,am(m为正整数)满足条件:a1=am,a2=am-1,…,am=a1,那么称其为“对称”数列.例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列.已知在21项的“对称”数列{cn}中,c11,c12,…,c21是以1为首项,2为公差的等差数列,则c2=________. 

【解析】因为c11,c12,…,c21是以1为首项,2为公差的等差数列,所以c20=c11+9d=1+9×2=19.

又{cn}为21项的对称数列,所以c2=c20=19.

答案:19