数学选择性必修 第三册第五章 数列5.2 等差数列5.2.1 等差数列第1课时导学案

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5．2.1
第1课时 等差数列的定义
最新课程标准
1.理解等差数列的概念．(难点)
2．掌握等差数列的通项公式及运用．(重点、难点)
3．掌握等差数列的判定方法．(重点)
[教材要点]
知识点一 等差数列的概念
如果一个数列{an}从第________项起，每一项与它的前一项之差都等于________常数d，那么这个数列{an}就叫做等差数列，这个常数d叫做等差数列的________．
eq \x(状元随笔) 等差数列的定义用符号怎么表示？
[提示] an＋1－an＝d(n≥1，d为常数)．
知识点二 等差数列的通项公式
若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项an＝________.
eq \x(状元随笔) 等差数列的通项公式是什么函数模型？
[提示] d≠0时，一次函数；d＝0时，常值函数．
知识点三 等差数列的单调性
等差数列{an}中，若公差d>0，则数列{an}为________数列；若公差d<0，则数列{an}为________数列．
[基础自测]

1．下列数列中不是等差数列的为( )
A．6,6,6,6,6 B．－2，－1,0,1,2
C．5,8,11,14 D．0,1,3,6,10
2．数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列( )
A．是公差为2的等差数列 B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列 D．是公差为n的等差数列
3．已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝________.
4．若2，a，b，c,9成等差数列，则c－a＝________.
题型一 等差数列的概念
例1 已知数列{an}的通项公式an＝pn2＋qn(p，q∈R，且p，q为常数)．
(1)当p和q满足什么条件时，数列{an}是等差数列？
(2)设cn＝an＋1－an；求证：对任意实数p和q，数列{cn}是等差数列．
eq \x(状元随笔) 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，在数列{bn}中，bn＝3an＋4，试判断{bn}是不是等差数列？
[提示] 可以利用a1和d写出bn的通项公式，也可以直接利用定义判断bn＋1－bn是不是常数．
根据题意，知bn＋1＝3an＋1＋4，则bn＋1－bn＝3an＋1＋4－(3an＋4)＝3(an＋1－an)＝3d(常数)．
由等差数列的定义知，数列{bn}是等差数列．
方法归纳
等差数列的判定方法有以下三种：
1．定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N＋)⇔{an}为等差数列；
2．等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)⇔{an}为等差数列；
3．通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N＋)⇔{an}为等差数列．
但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．
跟踪训练1 数列{an}的通项公式an＝4－3n，则此数列( )
A．是公差为4的等差数列
B．是公差为3的等差数列
C．是公差为－3的等差数列
D．是首项为4的等差数列
题型二 等差数列的通项公式及其应用
eq \x(状元随笔) 在等差数列{an}中，能用a1，d两个基本量表示an，那么能否用{an}中任意一项am和d表示an?
[提示] 由an＝a1＋(n－1)d，①
am＝a1＋(m－1)d，②
两式相减可得：an－am＝(n－m)d，
则an＝am＋(n－m)d.
例2 (1)在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式an；
(2)已知数列{an}为等差数列，a3＝eq \f(5,4)，a7＝－eq \f(7,4)，求a15的值．
eq \x(状元随笔) 设出基本量a1，d.利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式an＝am＋(n －m)d求解．
方法归纳
1．应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋m－1d＝a,a1＋n－1d＝b，))求出a1和d，从而确定通项公式．
2．若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其它项时，则运用am＝an＋(m－n)d较为简捷．
跟踪训练2 －401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？
题型三 等差数列及其应用
例3 某市要在通往新开发的旅游观光风景区的直行大道上安装路灯，安装第1盏后，往后每隔50米安装1盏，试问安装第5盏路灯时距离第1盏路灯有多少米？你能用第1盏灯为起点和两灯间隔距离表示第n盏灯的距离吗？
跟踪训练3 第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算，你能算出2016年8月在巴西里约热内卢举行的奥运会是第几届吗？若已知届数，你能确定相应的年份吗？
教材反思
1．本节课的重点是等差数列的定义、等差中项以及等差数列的通项公式，难点是等差数列的证明．
2．掌握判断一个数列是等差数列的常用方法：
(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列；
(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)⇔{an}是等差数列；
(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列．
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．
3．会灵活运用等差数列的通项公式解决问题．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式．反过来，在a1、d、n、an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另外一个量.
eq \x(温馨提示：请完成课时分层作业三)
5．2 等差数列
5．2.1 等差数列
第1课时 等差数列的定义
新知初探·自主学习
知识点一
2 同一个 公差
知识点二
a1＋(n－1)d
知识点三
递增 递减
[基础自测]
1．解析：A中给出的是常数列，是等差数列，公差为0；
B中给出的数列是等差数列，公差为1；
C中给出的数列是等差数列，公差为3；
D中给出的数列第2项减去第1项等于1，第3项减去第2项等于2，故此数列不是等差数列．
答案：D
2．解析：∵an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，
∴{an}是公差为2的等差数列．
答案：A
3．解析：∵a1＝4，d＝－2，
∴an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n.
答案：6－2n
4．解析：由题意得该等差数列的公差d＝eq \f(9－2,5－1)＝eq \f(7,4)，
所以c－a＝2d＝eq \f(7,2).
答案：eq \f(7,2)
课堂探究·素养提升
例1 解析：(1)解：an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q，要使{an}是等差数列，则2pn＋p＋q应是一个与n无关的常数，所以只有2p＝0，即p＝0.
故当p＝0，q∈R时，数列{an}是等差数列．
(2)证明：∵cn＝an＋1－an＝2pn＋p＋q，
∴cn＋1＝an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q.
而cn＋1－cn＝2p为一个常数，
∴{cn}是等差数列．
跟踪训练1 解析：∵an＋1－an＝4－3(n＋1)－(4－3n)＝－3.
∴{an}是公差为－3的等差数列．
答案：C
例2 解析：(1)法一：∵a4＝7，a10＝25，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋3d＝7，,a1＋9d＝25，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－2，,d＝3.))
∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，
∴通项公式an＝3n－5(n∈N＋)．
法二：∵a4＝7，a10＝25，
∴a10－a4＝6d＝18，∴d＝3，
∴an＝a4＋(n－4)d＝3n－5(n∈N＋)．
(2)法一：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a3＝\f(5,4)，,a7＝－\f(7,4)，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋2d＝\f(5,4)，,a1＋6d＝－\f(7,4)，))
解得a1＝eq \f(11,4)，d＝－eq \f(3,4).
∴a15＝a1＋(15－1)d
＝eq \f(11,4)＋14×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))＝－eq \f(31,4).
法二：由a7＝a3＋(7－3)d，
即－eq \f(7,4)＝eq \f(5,4)＋4d，
解得d＝－eq \f(3,4).
∴a15＝a3＋(15－3)d＝eq \f(5,4)＋12×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))＝－eq \f(31,4).
跟踪训练2 解析：由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，
得这个数列的通项公式为
an＝－5－4(n－1)＝－4n－1.
由题意知，－401＝－4n－1，
得n＝100，即－401是这个数列的第100项．
例3 解析：设第1盏路灯到第1盏路灯的距离记为a1，第2盏路灯到第1盏路灯的距离记为a2，
第n盏路灯到第1盏路灯的距离记为an，
则a1，a2，…，an，…构成一个以a1＝0为首项，以d＝50为公差的一个等差数列．
所以有a1＝0，a2＝a1＋d＝0＋50＝50，
a3＝a2＋d＝a1＋2d＝0＋2×50＝100，
a4＝a3＋d＝a1＋3d＝0＋3×50＝150，
a5＝a4＋d＝a1＋4d＝0＋4×50＝200，
…
an＝a1＋(n－1)d＝50n－50，
所以，第5盏路灯距离第1盏路灯200米，
第n盏路灯距离第1盏路灯(50n－50)米．
跟踪训练3 解析：设第一届的年份为a1，第二届的年份为a2，…，第n届的年份为an，则a1，a2，…，an，…构成一个以a1＝1896为首项，以d＝4为公差的等差数列，其通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝1896＋4(n－1)＝4n＋1892，即an＝4n＋1892，由an＝2016，知4n＋1892＝2016，所以n＝31.
故2016年举行的奥运会为第31届．
已知举办的届数也能求出相应的年份，因为在等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d中，知道其中任何三个量，均可求得第四个量．