人教B版 (2019)选择性必修 第三册第六章 导数及其应用6.1 导数6.1.3 基本初等函数的导数教案及反思

6.1.3　基本初等函数的导数

情境导学

1．导数的概念

一般地，如果函数y＝f(x)在其定义域内的每一点x都可导，则称f(x)可导．此时，对定义域内的每一个值x，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在f(x)的定义域内，f′(x)是一个函数，称其为函数y＝f(x)的导函数．记作f′(x)(或y′，y′x)，

即f′(x)＝y′＝y′x＝ .

思考1：f′(x0)与f′(x)相同吗？

[提示]　不同．f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，而f′(x0)是f′(x)在x＝x0处的导数值．

2．导数公式表

①C′＝0.

②(xα)′＝αxα－1.

③(ax)′＝axln_a.

④(logax)′＝.

⑤(sin x)′＝cos_x.

⑥(cos x)′＝－sin_x.

思考2：函数y＝ex及y＝ln x的导数分别是多少？

[提示]　(ex)′＝ex，(ln x)′＝.

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)函数在一点处的导数f′(x0)是一个常数． (　　)

(2)若y＝，则y′＝×2＝1.  (　　)

(3)若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x． (　　)

(4)若y＝，则y′＝.  (　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×

2．给出下列命题：

①y＝ln 2，则y′＝；

②y＝，则y′＝－；

③y＝2x，则y′＝2xln 2；

④y＝log2x，则y′＝.

其中正确命题的个数为(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

C　[对于①，y′＝0，故①错；显然②③④正确，故选C.]

3．若函数f(x)＝10x，则f′(1)等于(　　)

A. B．10

C．10ln 10   D.

C　[∵f′(x)＝10xln 10，

∴f′(1)＝10ln 10.]

4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线方程为________．

y＝e2(x－1)　[∵y′＝ex，

∴y′|x＝2＝e2，

∴在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，

即y＝e2(x－1)．]

合作探究

【例1】　求下列函数的导数：

(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝3x；(5)y＝log5x.

[思路点拨]　首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式．

[解]　(1)y′＝(x12)′＝12x11.

(2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－.

(3)y′＝()′＝(x)′＝x－.

(4)y′＝(3x)′＝3xln 3.

(5)y′＝(log5x)′＝.

1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．

2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．

3．要特别注意“与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别．

1．若f(x)＝x3，g(x)＝log3x, 则f′(x)－g′(x)＝__________.

3x2－　[∵f′(x)＝3x2，g′(x)＝，

∴f′(x)－g′(x)＝3x2－.]

【例2】　质点的运动方程是s＝sin t.

(1)求质点在t＝时的速度；

(2)求质点运动的加速度．

[思路点拨]　(1)先求s′(t)，再求s′.

(2)加速度是速度v(t)对t的导数，故先求v(t)，再求导．

[解]　(1)v(t)＝s′(t)＝cos t，∴v＝cos ＝.

即质点在t＝时的速度为.

(2)∵v(t)＝cos t，

∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cos t)′＝－sin t.

1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．

2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．

2．(1)求函数f(x)＝在(1,1)处的导数；

(2)求函数f(x)＝cos x在处的导数．

[解]　(1)∵f′(x)＝′＝(x－)′＝－x－＝－，

∴f′(1)＝－＝－.

(2)∵f′(x)＝－sin x，∴f′＝－sin ＝－.

[探究问题]

1．如何求y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线方程？

[提示]　先计算f′(x)，再求f′(x0)，最后利用y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)求解便可．

2．若已知函数y＝f(x)的切线方程y＝kx＋b，如何求切点坐标(x0，y0)?

[提示]　利用求解．

【例3】　已知曲线y＝f(x)＝，y＝g(x)＝，过两曲线交点作两条曲线的切线，求两切线与x轴所围成的三角形的面积．

[思路点拨]　先求交点→再分别求切线方程→计算三角形的面积．

[解]　由得即两曲线的交点坐标为(1,1)．

又f′(x)＝，g′(x)＝－.

∴f′(1)＝，g′(1)＝－1.

∴两切线方程分别为y－1＝(x－1)，即y＝x＋；

y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋2.

其与x轴的交点坐标分别为(－1,0)，(2,0)，

故两切线与x轴所围成的三角形面积为

×1×|2－(－1)|＝.

求曲线方程或切线方程时，应注意的事项

(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程；

(2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率；

(3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点．

3．(一题两空)过原点作曲线y＝ex的切线，则切点坐标为________，切线方程为________．

(1，e)　y＝ex　[设切点坐标为(x0，y0)，则切线的斜率为y′|x＝x0＝ex0，

则ex0＝，

又y0＝ex0，

得x0＝1，∴切点坐标为(1，e)，切线的斜率为e，

切线方程为y－e＝e(x－1)，即y＝ex.]

课堂小结

1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式，解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．

2．有些函数可先化简再应用公式求导．

如求y＝1－2sin2的导数，因为y＝1－2sin2＝cos x，所以y′＝(cos x)′＝－sin x.

3．对于正弦、余弦函数的导数，一定要注意函数名称的变化及函数符号的变化．

1．已知f(x)＝xα(α∈Q＋)，若f′(1)＝，则α等于(　　)

A.  B.  C.  D.

D　[∵f(x)＝xα，

∴f′(x)＝αxα－1，

∴f′(1)＝α＝.]

2．给出下列结论：

①若y＝，则y′＝－；

②若y＝，则y′＝；

③若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.

其中正确的个数是(　　)

A．1  B．2  C．3  D．0

B　[对于①，y′＝(x－3)′＝，正确；

对于②，y′＝x－1＝x－，不正确；

对于③，f′(x)＝3，

故f′(1)＝3，正确．]

3．曲线y＝在点处的切线的斜率为(　　)

A．2  B．－4  C．3  D.

B　[因为y＝，

所以y′＝－，

∴y′|x＝＝－4，故选B.]

4．已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________.

1　[因为f(x)＝x2，g(x)＝ln x，

所以f′(x)＝2x，g′(x)＝且x>0，

f′(x)－g′(x)＝2x－＝1，

即2x2－x－1＝0，

解得x＝1或x＝－(舍去)．故x＝1.]

5．求过曲线f(x)＝cos x上一点P且与曲线在这点的切线垂直的直线方程．

[解]　因为f(x)＝cos x，所以f′(x)＝－sin x，则曲线f(x)＝cos x在点P的切线斜率为

f′＝－sin ＝－，

所以所求直线的斜率为，

所求直线方程为y－＝，

即y＝x－π＋.