数学选择性必修 第三册6.1.3 基本初等函数的导数精练

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专题五 导数与函数的最值
基本知识点
1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值：假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在[a，b]一定能够取得最大值与最小值，若函数在[a，b]内是可导的，则该函数的最值必在极值点或区间端点取得．
2．求可导函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
(1)求f(x)在开区间(a，b)内所有极值点．
(2)计算函数f(x)在极值点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
例题分析
一、求函数的最值
例1 (1)函数y＝x4－4x＋3在区间[－2,3]上的最小值为(　　)
A．72　　　　 B．36 C．12 D．0
(2)函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为(　　)
A．1－e B．－1 C．－e D．0
(3)求函数f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]的最值．
解析　(1)因为y＝x4－4x＋3，所以y′＝4x3－4，令y′＝0，解得x＝1．当x<1时，y′<0，函数单调递减；当x>1时，y′>0，函数单调递增，所以函数y＝x4－4x＋3在x＝1处取得极小值0.而当x＝－2时，y＝27，当x＝3时，y＝72，所以当x＝1时，函数y＝x4－4x＋3取得最小值0，故选D.
(2)f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，得x＝1．
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，当x∈(1，e)时，f′(x)<0，
∴当x＝1时，f(x)有极大值，也是最大值，最大值为f(1)＝－1，故选B.
(3)f′(x)＝－4x3＋4x＝－4x(x＋1)(x－1)，
令f′(x)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1．
当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
x
－3
(－3，－1)
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1,2)
2
f′(x)

＋
0
－
0
＋
0
－

f(x)
－60
↗
极大值4
↘
极小值3
↗
极大值4
↘
－5
∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60；
当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.
答案　(1)D　(2)B (3) 最小值－60；最大值4.
归纳总结：求函数最值的四个步骤：
第一步，求函数的定义域；
第二步，求f′(x)，解方程f′(x)＝0；
第三步，列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表；
第四步，求极值、端点值，其中最大者便是最大值，最小者便是最小值．
(对应训练一)求下列函数的最值．
(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－1,3]；(2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π]．
解析 (1)f(x)＝2x3－12x，∴f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)，
令f′(x)＝0解得x＝－或x＝.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，)

(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
因为f(－1)＝10，f(3)＝18，f()＝－8，所以当x＝时，f(x)取得最小值－8；
当x＝3时，f(x)取得最大值18.
(2)f′(x)＝＋cos x，令f′(x)＝0，又x∈[0,2π]，解得x＝π或x＝π.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
x
0

π

π

2π
f′(x)

＋
0
－
0
＋

f(x)
0
↗
极大值：＋
↘
极小值：π－
↗
π
∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.
(对应训练二)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2,2])，f(x)的最小值为1，则m＝__________.
解析　f′(x)＝－3x2＋6x，x∈[－2,2]．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，
当x∈(－2,0)时，f′(x)<0，
当x∈(0,2)时，f′(x)>0，
∴当x＝0时，f(x)有极小值，也是最小值．∴f(0)＝m＝1．
答案　1
二、已知函数的最值求参数
例2 已知函数f(x)＝ln x＋，若函数f(x)在[1，e]上的最小值是，求a的值．
解析　函数的定义域为[1，e]，f′(x)＝－＝，
令f′(x)＝0，得x＝a，
①当a≤1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[1，e]上是增函数，
f(x)min＝f(1)＝ln 1＋a＝，∴a＝∉(－∞，1]，故舍去．
②当1 函数f(x)在[1，a]上是减函数，在[a，e]上是增函数，
∴f(x)min＝f(a)＝ln a＋＝.∴a＝∈(1，e)，故符合题意．
③当a≥e时，f′(x)≤0，函数f(x)在[1，e]上是减函数，f(x)min＝f(e)＝ln e＋＝，
∴a＝e∉[e，＋∞)，故舍去，综上所述a＝.
归纳总结：解决由函数的最值来确定参数问题的关键是利用函数的单调性确定某些极值就是函数的最值，同时由于系数a的符号对函数的单调性有直接的影响，其最值也受a的符号的影响，因此，需要进行分类讨论．本题是运用最值的定义，从逆向出发，由已知向未知转化，通过待定系数法，布列相应的方程，从而得出参数的值．
(对应训练一)若f(x)＝ax3－6ax2＋b(a>0)，x∈[－1，2]的最大值为3，最小值为－29，求a、b的值．
解析　f′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4，因为x∈[－1，2]，所以x＝0.
因为a>0，所以f(x)，f′(x)随x变化情况如下表：
x
(－1，0)
0
(0，2)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
最大值3
↘
所以当x＝0时，f(x)取最大值，所以b＝3.
又f(2)＝8a－24a＋3＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3>f(2)，
所以当x＝2时，f(x)取最小值，则－16a＋3＝－29，
所以a＝2，所以a＝2，b＝3.
(对应训练二)已知h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k，2]上的最大值是28，求k的取值范围．
解析 h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，h′(x)＝3x2＋6x－9.
令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，
当x变化时h′(x)及h(x)的变化情况如下表．
x
(－∞，－3)
－3
(－3，1)
1
(1，＋∞)
h′(x)
＋
0
－
0
＋
h(x)
↗
28
↘
－4
↗
当x＝－3时，取极大值28；
当x＝1时，取极小值－4.
而h(2)＝3 (对应训练三)已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在[－1,2]上有最大值3，最小值－29，求a，b的值．
解析　依题意，显然a≠0.
因为f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，x∈[－1,2]，
所以令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)．
(1)若a＞0，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
 
＋
0
－
 
f(x)
－7a＋b
↗
极大值
↘
－16a＋b
由上表知，当x＝0时，f(x)取得最大值，所以f(0)＝b＝3.
又f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，故f(－1)＞f(2)，
所以当x＝2时，f(x)取得最小值，即－16a＋3＝－29，a＝2.
(2)若a＜0，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)

－
0
＋

f(x)
－7a＋b
↘
极小值
↗
－16a＋b
所以当x＝0时，f(x)取得最小值，所以f(0)＝b＝－29.
又f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29，故f(2)＞f(－1)．
所以当x＝2时，f(x)取得最大值，
即－16a－29＝3，a＝－2.
综上所述，所求a，b的值为或
三、含参数的最值问题
例3 设函数f(x)＝(x＋1)2＋2klnx.
(1)若k＝－2，求函数的递减区间；
(2)当k>0时，记函数g(x)＝f′(x)，求函数g(x)在区间(0,2]上的最小值．
解析　(1)当k＝－2时，f(x)＝(x＋1)2－4lnx，f′(x)＝2x＋2－(x>0)．
由f′(x)<0，得0 (2)∵g(x)＝f′(x)＝2x＋＋2∴g′(x)＝2－.
∵k>0，x∈(0,2)，∴当k≥4时，g′(x)<0，　g(x)在(0,2]上为减函数．
因此，g(x)有最小值g(2)＝k＋6；
当00，
∴g(x)在(0，]上为减函数，在[，2]上为增函数．
故g(x)有最小值g()＝4＋2.
综上，当0 归纳总结：含参数的最值问题，由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性不同，从而导致最值的变化．因此，需要分类讨论.
(对应训练)已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)在点(1，0)处的切线方程；
(2)求函数f(x)在[1，t]上的最大值．
解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(x)的导数f′(x)＝.
(1)f′(1)＝1，所以切线方程为y＝x－1.
(2)令f′(x)＝＝0，解得x＝e.
当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当1 当t≥e时，f(x)在[1，e]上单调递增，在[e，t]上单调递减，f(x)max＝f(e)＝，
综上，f(x)max＝
四、导数的综合应用
例4 设函数f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12.
(1)求a，b，c的值；
(2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值．
解析　(1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c，∴c＝0.
∵f′(x)＝3ax2＋b的最小值为－12，∴b＝－12.
又直线x－6y－7＝0的斜率为，
∴f′(1)＝3a＋b＝－6，解得a＝2，故a＝2，b＝－12，c＝0.
(2)f(x)＝2x3－12x，f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表，
x
(－∞，－)
－
(－，)

(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)．
∵f(－1)＝10，f(3)＝18，f()＝－8，
∴当x＝时，f(x)取得最小值，为－8.当x＝3时，f(x)取得最大值，为18.
(对应训练)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．
(1)求f(x)的表达式；
(2)求g(x)在区间[1，2]上的最大值与最小值．
解析 (1)因为f′(x)＝3ax2＋2x＋b，所以g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.
因为g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，从而3a＋1＝0，b＝0，
解得a＝－，b＝0，因此f(x)的表达式为f(x)＝－x3＋x2.
(2)由第一问知g(x)＝－x3＋2x，所以g′(x)＝－x2＋2，令g′(x)＝0.
解得x1＝－(舍去)，x2＝，而g(1)＝，g()＝，g(2)＝，
因此g(x)在区间[1，2]上的最大值为g()＝，最小值为g(2)＝.
专题训练
1．函数f(x)＝x3－3x(－1 A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，也无最小值 D．无最大值，但有最小值
解析 f′(x)＝3x2－3＝3(x2－1)．
因为－1 所以f(x)是(－1，1)上的减函数，f(1) 故f(x)在－1 答案 C
2．函数y＝在[0，2]上的最大值是(　　)
A．当x＝1时，y＝ B．当x＝2时，y＝
C．当x＝0时，y＝0 D．当x＝时，y＝
解析 因为y′＝，所以当y′＝0时，x＝1.又因为当00，
当1 答案 A
3．当函数y＝x＋2cos x在上取得最大值时，x的值为(　　)
A．0 B． C． D．
解析 y′＝(x＋2cos x)′＝1－2sin x.
令x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，所以f(x)max＝f.
答案 B
4．若函数f(x)＝asin x＋sin 3x在x＝处有最值，则a等于(　　)
A．2 B．1 C． D．0
解析 因为f(x)在x＝处有最值，所以x＝是函数f(x)的极值点．
又因为f′(x)＝acos x＋cos 3x(x∈R)，所以f′＝acos ＋cos π＝0，解得a＝2.
答案 A
5．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小值时t的值为(　　)
A．1 B. C. D.
解析　因为f(x)的图象始终在g(x)的上方，所以|MN|＝f(x)－g(x)＝x2－ln x，设h(x)＝x2－ln x，则h′(x)＝2x－＝，令h′(x)＝＝0，得x＝，所以h(x)在上单调递减，在上单调递增，所以当x＝时有最小值，故t＝.
答案 D
6．函数f(x)＝x·2x，则下列结论正确的是(　　)
A．当x＝时，f(x)取最大值 B．当x＝时，f(x)取最小值
C．当x＝－时，f(x)取最大值 D．当x＝－时，f(x)取最小值
解析　f′(x)＝2x＋x·(2x)′＝2x＋x·2x·ln 2.令f′(x)＝0，得x＝－.
当x∈时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0，
故函数在x＝－处取极小值，也是最小值．
答案 D
7．函数y＝x＋2cos x在上取最大值时，x的值为(　　)
A．0　　　　 B. C. D.
解析　y′＝1－2sin x，令y′＝0，得sin x＝，
∵x∈，∴x＝. 由y′>0得sin x<，
∴0≤x<；由y′<0得sin x>，∴ ∴原函数在上单调递增，在上单调递减．当x＝0时，y＝2，当x＝时，y＝，当x＝时，y＝＋，∵＋>2>，∴当x＝时取最大值，故应选B.
答案 B
8．若函数f(x)在区间[a，b]上满足f′(x)>0，则f(a)是函数的最________值，f(b)是函数的最________值．
解析 由f′(x)>0知，函数f(x)在区间[a，b]上为增函数，所以f(a)为最小值，f(b)为最大值．
答案 小　大
9．函数f(x)＝sin x＋cos x在x∈时的最大值，最小值分别是________．
解析 f′(x)＝cos x－sin x，
令f′(x)＝0，即tan x＝1，而x∈，所以x＝.
又f＝，f＝－1，f＝1，
所以x∈时，函数的最大值为f＝，最小值为f＝－1.
答案 ，－1
10．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________.
解析 ∵f′(x)＝3x2－3，∴当x＞1或x＜－1时，f′(x)＞0；
当－1＜x＜1时，f′(x)＜0.∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增．
∴f(x)min＝f(1)＝1－3－a＝－2－a＝n.
又∵f(0)＝－a，f(3)＝18－a，∴f(0)＜f(3)．
∴f(x)max＝f(3)＝18－a＝m，∴m－n＝18－a－(－2－a)＝20.
答案 20
11．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为y＝3x＋1.
(1)求a，b的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值．
解析 (1)依题意可知点P(1，f(1))为切点，
代入切线方程y＝3x＋1可得，f(1)＝3×1＋1＝4，
∴f(1)＝1＋a＋b＋5＝4，即a＋b＝－2，
又由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5得，又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
而由切线y＝3x＋1的斜率可知f′(1)＝3，
∴3＋2a＋b＝3，即2a＋b＝0，
由解得∴a＝2，b＝－4.
(2)由(1)知f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，
f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x＝或x＝－2.
当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：
x
－3
(－3，－2)
－2



1
f′(x)

＋
0
－
0
＋

f(x)
8
↗
极大值
↘
极小值
↗
4
∴f(x)的极大值为f(－2)＝13，极小值为f＝，
又f(－3)＝8，f(1)＝4，
∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13.
答案 (1) a＝2，b＝－4 (2) 13
12．已知函数f(x)＝aln x－bx2，a，b∈R，且曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－相切．
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)在[，e]上的最大值．
解析 (1)f′(x)＝－2bx.由曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，
得，即，解得.
(2)由第一问，得f(x)＝ln x－x2，定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝－x＝.
令f′(x)>0，得01，
所以f(x)在(，1)上单调递增，在(1，e)上单调递减，
所以f(x)在[，e]上的最大值为f(1)＝－.
答案 (1) (2) －