人教B版 (2019)选择性必修 第三册第六章 导数及其应用6.1 导数6.1.3 基本初等函数的导数达标测试

6.1.3　基本初等函数的导数

基础过关练

题组一　利用导数公式求函数的导数

1.下列各式中正确的个数是(　　)

①(x7)'=7x6;②(x-1)'=x-2;③;④(;

⑤(cos x)'=-sin x;⑥(cos 2)'=-sin 2.

A.3 B.4 C.5 D.6

2.(2020贵州铜仁第一中学高二期中)已知函数f(x)=sin x,则f'(0)=(　　)

A.0 B.1 C.2 D.

3.(2020安徽阜阳太和第一中学高二期末)已知f(x)=,则f'(8)=(　　)

A.0 B.2  C. D.-1

4.已知函数f(x)=xa(a≠0),若f'(-1)=-4,则a的值为(　　)

A.4 B.-4 C.5 D.-5

5.(2020宁夏石嘴山第三中学高二期末)已知f(x)=ln x,则f'(e)的值为(　　)

A.1 B.-1 

C.e D.

6.已知f(x)=x2,g(x)=ln x,若f'(x)-g'(x)=1,则x=　　　　. 

7.求下列函数的导数.

(1)y=cos ;(4)y=lg x;

(5)y=5x;(6)y=cos.

题组二　导数公式的简单应用

8.(2020重庆一中高二月考)已知函数f(x)=cos x,则曲线y=f(x)在点处的切线的斜率为(　　)

A.0 B.-1 C.1 D.

9.(2020重庆七校高二期末联考)已知函数f(x)=x3,则曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与直线ax-y+1=0垂直,则a的值为(　　)

A.-3 B.- C.3 D.

10.正弦曲线y=sin x上切线的斜率等于的点的坐标为(　　)

A.

B.或

C.(k∈Z)

D.或(k∈Z)

11.已知函数f(x)=x3,则曲线y=f(x)的切线中斜率等于1的切线的条数为(　　)

A.1 B.2

C.3 D.不确定

12.若直线y=x+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则实数b的值为(　　)

A.2 B.ln 2+1

C.ln 2-1 D.ln 2

13.(2020浙江台州高二期中)曲线y=ln x在点M(e,1)处的切线的斜率是　　　　,切线方程为          　. 

14.过原点作曲线y=ex的切线,则切点的坐标为　　　,切线的斜率为　　　　. 

15.求过曲线y=sin x上一点P且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程.

16.设某质点的运动方程是s(t)=sin t.求:

(1)该质点在t=时的速度的大小;

(2)该质点运动的加速度方程.

能力提升练

题组一　利用导数公式求函数的导数

1. (2020湖北华中师大一附中高二期中,)设f0(x)=sin x, f1(x)=f'0(x), f2(x)=f'1(x),……, fn+1(x)=f'n(x),n∈N,则

f2 019(x)=(　　)

A.-sin x B.sin x

C.-cos x D.cos x

2.()已知数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,且满足:a2+

a2 018=π,b1b2 019=2, f(x)=cos x, f'(x)为f(x)的导函数,则f'=(　　)

A.-  B.  C.   D.-

3.(2020江西南昌莲塘第一中学高二期末,)曲线y=xn(n∈N+)在x=2处的导数为12,则n=　　　　. 

题组二　导数公式的综合应用

4.()下列曲线的所有切线中,存在无数对互相垂直的切线的曲线是(　　)

A.f(x)=ex   B.f(x)=x3

C.f(x)=ln x D.f(x)=sin x

5.(2020辽宁沈阳东北育才中学高二期末,)若曲线y=在点(a,)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则a=　　　　. 

6.(2020浙江杭州学军中学高二月考,)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)在点P处的切线垂直,则点P的坐标为　　　　. 

7.(2020福建三明第一中学高二月考,)设正弦曲线y=sin x上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角α的取值范围是　　　　　　　　. 

8.(2019陕西西安长安一中高二期中,)函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中k∈N,若a1=16,则a1+a3+a5的值是　　　　. 

9.()点P是曲线y=ex上任意一点,求点P到直线y=x的最小距离.

10.(2020广东东莞高二上期末,)设曲线y=xn+1(n∈N+)在点(1,1)处的切线与x轴交点的横坐标为xn,令an=lg,求a1+a2+a3+…+a2 019的值.

11.()求证:曲线xy=a2(a≠0)上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数.

12.(2020山东烟台高二期末,)已知直线l: 2x-y+4=0与抛物线y=x2相交于A,B两点,O是坐标原点,试求与直线l平行的抛物线的切线方程,并在位于直线AB下方的一段抛物线上求一点P,使△ABP的面积最大.

答案全解全析

6.1.3　基本初等函数的导数

基础过关练

1.B　(x-1)'=-x-2,(cos 2)'=0,∴②⑥不正确,易知①③④⑤正确,故选B.

2.B　∵函数f(x)=sin x,∴f'(x)=cos x,

∴f'(0)=cos 0=1.

3.C　∵f(x)=,∴f'(x)=,∴f'(8)=.

4.A　∵f(x)=xa,∴f'(x)=axa-1,∴ f'(-1)=a(-1)a-1=-4,∴a=4.

5.D　∵f(x)=ln x,∴f'(x)=,∴f'(e)=.

6.答案　1

解析　∵f(x)=x2,g(x)=ln x,∴f'(x)=2x,g'(x)=, 又f'(x)-g'(x)=1,∴2x-=1,

解得x=1或x=-.∵x>0,∴x=1.

7.解析　(1)∵y=cos ,∴y'=0.

(2)∵y==x-5,∴y'=-5x-6.

(3)∵y=(x>0),∴y'=(x>0).

(4)∵y=lg x,∴y'=.

(5)∵y=5x,∴y'=5xln 5.

(6)∵y=cos=sin x,∴y'=cos x.

8.B　因为f(x)=cos x,所以f'(x)=-sin x,所以f'=-1,

所以曲线f(x)=cos x在点处的切线的斜率为-1.

9.B　由函数f(x)=x3的导数为f'(x)=3x2,可得曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率为3,由切线与直线ax-y+1=0垂直,可得a=-.

10.D　设斜率等于的切线与正弦曲线的切点为P(x0,y0),∵y=sin x,∴y'=cos x,

∴cos x0=,∴x0=2kπ+或x0=2kπ-(k∈Z),当x0=2kπ+(k∈Z)时,y0=,当x0=2kπ-(k∈Z)时,y0=-,∴正弦曲线y=sin x上切线的斜率等于的点的坐标为或2kπ-(k∈Z).

11.B　设切点坐标为(x0,y0),∵f(x)=x3,

∴f'(x)=3x2,∴f'(x0)=3=1,

∴x0=±,∴曲线y=f(x)的切线中斜率等于1的切线有2条.

12. C　∵y=ln x的导数为y'=,∴令,得x=2,∴切点坐标为(2,

ln 2),代入直线y=x+b,得b=ln 2-1.

13.答案　;x-ey=0

解析　由题意得y'=,所以曲线y=ln x在点M(e,1)处的切线的斜率为,所以所求切线的方程为y-1=(x-e),即x-ey=0.

14.答案　(1,e);e

解析　设切点坐标为(x0,y0),易知y'=ex,所以切线的斜率为,则,

又y0=,

所以x0=1,所以切点的坐标为(1,e),切线的斜率为e.

15.解析　易知y'=cos x,所以曲线y=sin x在点P处的切线的斜率k=cos ,则与该切线垂直的直线的斜率为-,

故所求直线方程为y-,即12π-9=0.

16.解析　(1)设质点运动的速度为v(t),

则v(t)=s'(t)=cos t,

∴v=cos ,即质点在t=时的速度的大小为.

(2)设质点运动的加速度为a(t).

∵v(t)=cos t,

∴a(t)=v'(t)=(cos t)'=-sin t.

能力提升练

1.C　由题意,得f1(x)=cos x, f2(x)=-sin x, f3(x)=-cos x, f4(x)=sin x,因此f2 019(x)=f4×504+3(x)=f3(x)=-cos x,故选C.

2.A　根据等差数列的性质有a1+a2 019=a2+a2 018=π,根据等比数列的性质有b2b2 018=b1b2 019=2.∵f(x)=cos x,∴f'(x)=-sin x,∴f'.故选A.

3.答案　3

解析　由y=xn(n∈N+),得y'=nxn-1(n∈N+),又曲线y=xn在x=2处的导数为12,

所以n·2n-1=12,解得n=3.

4.D　若两直线垂直且斜率存在,则其斜率之积为-1.

A中,(ex)'=ex>0;B中,(x3)'=3x2≥0;C中,x>0,即(ln x)'=>0,所以A、B、C均不存在两条切线的斜率之积为-1,故选D.

5.答案　64

解析　∵y=,∴y'=-,

∴曲线在点(a,)处的切线斜率k=-,

∴切线方程为y-(x-a).

令x=0,得y=;令y=0,得x=3a,

∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积

S=·3a·=18,

∴a=64.

6.答案　(1,1)

解析　y=ex的导数为y'=ex,则曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1.

y=(x>0)的导数为y'=- (x>0),设P点坐标为(m,n)(m>0),

则曲线y= (x>0)在点P处的切线的斜率k2=- .

因为两切线垂直,所以k1k2=-1,

所以m=1(负值舍去),所以n=1,则点P的坐标为(1,1).

7.答案　∪

解析　∵y=sin x,∴y'=(sin x)'=cos x,

∴kl=cos x,

∴-1≤kl≤1,即-1≤tan α≤1,又α∈[0,π),∴α∈∪.

8.答案　21

解析　∵y=x2(x>0),∴y'=2x(x>0),∴y=x2(x>0)的图像在点(ak,)处的切线方程为y-=2ak(x-ak).令y=0,则x=ak,

又该切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,

∴ak+1=ak,即数列{ak}是首项a1=16,公比q=的等比数列,

∴a3=4,a5=1,∴a1+a3+a5=21.

9.解析　设P点坐标为(x0,y0),如图,当曲线y=ex在点P(x0,y0)处的切线与直线y=x平行时,点P到直线y=x的距离最小.

则曲线y=ex在点P(x0,y0)处的切线斜率为1,又y'=(ex)'=ex,

所以=1,得x0=0,

代入y=ex,得y0=1,即P点坐标为(0,1).

利用点到直线的距离公式得最小距离为.

10.解析　因为y=xn+1(n∈N+),所以y'=(n+1)xn(n∈N+),所以曲线在点(1,1)处的切线斜率k=n+1,

故曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1).

令y=0,得x=,即xn=,

所以an=lg=lg(n+1)-lg n,

所以a1+a2+a3+…+a2 019

=lg 2-lg 1+lg 3-lg 2+lg 4-lg 3+…+lg 2 020-lg 2 019=lg 2 020-lg 1=1+lg 202.

11.证明　设P(x0,y0)为曲线xy=a2上任意一点.

∵xy=a2(a≠0),∴y=.

∴过点P的切线方程为y-y0=-(x-x0).

令x=0,得y=;令y=0,得x=2x0.

则切线与两坐标轴围成的三角形的面积

S=··|2x0|=2a2.

即曲线xy=a2(a≠0)上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数2a2.

12.解析　∵直线l: 2x-y+4=0与抛物线y=x2相交于A,B两点,

∴|AB|为定值,要使△ABP的面积最大,只要点P到AB的距离最大即可.∵y=x2,∴y'=2x,易知直线l的斜率为2,

设P(x0,y0)为切点,则过点P与AB平行的直线斜率k=2x0=2,∴x0=1,∴y0 =1.

故P点坐标为(1,1),∴所求切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.

故点P(1,1)即为所求点.