人教B版 (2019)选择性必修 第三册第六章 导数及其应用6.1 导数6.1.4 求导法则及其应用课时练习

【基础】6.1.4 求导法则及其应用-2随堂练习

一．填空题

1．

函数在处的切线方程为______.

2．

已知一物体的运动方程是，则此物体在t=1和t=4时的瞬时速度分别为________.

3．

“S”型函数是统计分析？生态学？人工智能等领域常见的函数模型，其图象形似英文字母“S”，所以其图象也被称为“S”型曲线.某校生物兴趣小组在0.5毫升培养液中放入5个大草履虫，每隔一段时间统计一次大草履虫的数量，经过反复试验得到大草履虫的数量(单位：个)与时间(单位：小时)的关系近似为一个“S”型函数.已知函数.的部分图象如图所示，为的导函数.

给出下列四个结论：

①对任意，存在，使得；

②对任意，存在，使得；

③对任意，存在，使得；

④对任意，存在，使得.

其中所有正确结论的序号是___________.

4．

已知函数，曲线上总存在两点，，使曲线在M，N两点处的切线互相平行，则的取值范围为________．

5．

函数的图象在处的切线方程为___________.

6．

已知曲线在处的切线方程为，则________．

7．

若函数，则f(x)在点(0，f(0))处切线的倾斜角为___________.

8．

我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设，则________，其在点处的切线方程为________．

9．

曲线的一条切线的斜率为，则切点坐标为________.

10．

已知函数，若过原点的直线与曲线有三个交点，则直线的斜率的取值范围为___________.

11．

在平面直角坐标系中，是曲线上的一个动点，则点到直线的距离的最小值是____________.

12．

已知曲线f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1在点(1，f（1）)处的切线斜率为3，且是y＝f(x)的极值点，则a＋b＝________．

13．

设点P在曲线上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为_____.

14．

已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是___________.

15．

若曲线与曲线在公共点处有相同的切线，则该切线的方程为___________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】

解：函数的导数为，

则函数在处的切线斜率为，

切点为，

则切线的方程为.

故答案为：.

2．【答案】6，6

【解析】

解：t=1时，

t=4时，

故答案为：6，6

3．【答案】①②

【解析】

根据函数的图象可得导函数的图象（如图所示），

设导数在取最大值，结合的图象可知，

且当时，为增函数，在上为减函数，

对于①，任意，取，则有，故①成立.

对于②，设，由图象的性质可平移直线至处，

此时平移后的直线与图象相切，且，取，

故，故②正确.

对于③，取如图所示的，设，，过作横轴的平行线，

交的图象于，由函数的图象特征可得，

取，则，故③不成立.

对于④，取（为①中最大值点），

则过的切线“穿过”曲线，曲线上不存在与该切线平行的割线，

否则与导数存在唯一的最大值点矛盾，故④错误.

故答案为：①②.

4．【答案】

【解析】

由题设知：，且，

∵曲线上两点，的切线平行，

∴且，即，有，

∴要曲线上总存在M，N两点，使它们所在的切线互相平行，则即可，而当且仅当时等号成立，

∴.

故答案为：.

5．【答案】

【解析】

函数的导数为，

所以在处的切线斜率为，切点为，

所以函数在处的切线方程为，

即.

故答案为：.

6．【答案】

【解析】

， ，

，

曲线在处的切线方程为 ，

则，解得 ，

.

故答案为：

7．【答案】

【解析】

解：由，得，

令 ，则，得

令，则，得

则f(x)在点(0，f(0))处切线的斜率为﹣1，

所以所求倾斜角为，

故答案为：.

8．【答案】       

【解析】

，故，则.

故曲线在点处的切线方程为.

故答案为：；.

9．【答案】

【解析】

设切点坐标为，

，

解得，.切点为.

故答案为：.

10．【答案】

【解析】

由可得，

所以当或时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增

当时，；当时，

所以函数的图象如下：

设过点与曲线相切的直线的斜率为，切点为

则，所以，

即，解得，

当时，；当时，；

如图，切线的斜率为，切线的斜率为

则当时，直线l与曲线有三个交点

故答案为：.

11．【答案】

【解析】

设，则，

令，即，解得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

如图，画出函数大致图象以及直线，

当直线的平行直线与曲线相切时，切点P到直线的距离最小.

设切点，切线斜率为，

由，解得，即点.

则点到直线的距离.

故答案为：.

12．【答案】－2

【解析】

依题意得，

又因为在点(1，f（1）)处的切线斜率为3，所以

由于是y＝f(x)的极值点，所以

解得，则

故答案为：

13．【答案】

【解析】

令．分别向上平移一个单位可得．，而与关于对称，

∴当两条曲线在P．Q处的切线均与平行时，P．Q关于对称，|PQ|有最小，对应曲线平移到．后，P．Q关于对称即可，

∴令，则，

∴有，则，即，

∴到的距离，

∴.

故答案为：.

14．【答案】

【解析】

由题知，当时，，即

则，，又

则在点的切线方程为：，

即

故答案为：

15．【答案】

【解析】

设公共点为，

由，（），则，

，则，

所以，解得，

所以， ，

所以切线的方程为，

即.

故答案为：