高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.1.1 函数的平均变化率学案设计

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6．1.1 函数的平均变化率
最新课程标准
1.理解函数平均变化率的概念，会求函数的平均变化率．(重点)
2．理解函数平均变化率的几何意义和物理意义．(重点)
3．理解数学中“以直代曲”的思想.
[教材要点]
知识点一 函数的平均变化率
函数的平均变化率的定义
一般地，已知函数y＝f(x)，x1，x2是其定义域内不同的两点，记Δx＝x2－x1，Δy＝y2－y1＝f(x2)－f(x1)＝f(x1＋Δx)－f(x1)，
则当Δx≠0时，商________＝eq \f(Δy,Δx)
称作函数y＝f(x)在区间[x1，x2](或[x2，x1])的平均变化率．
知识点二 函数的平均变化率的几何意义即割线的斜率已知y＝f(x)图像上两点A(x1，f(x1))，B(x1＋Δx，f(x1＋Δx))，过A，B两点割线的斜率是________________，即曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．
知识点三 函数的平均变化率的物理意义即平均速度物体在某段时间内的平均速度即函数的平均变化率．
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)Δx表示x2－x1，是相对于x1的一个增量，Δx的值可正可负，但不可为零．( )
(2)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可负，也可以为零．( )
(3)eq \f(Δy,Δx)表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率．( )
(4)平均速度是刻画某函数在区间[x1，x2]上的变化快慢的物理量．( )
2．已知函数y＝f(x)＝2x2的图像上点P(1,2)及邻近点Q(1＋Δx,2＋Δy)，则割线PQ的斜率为( )
A．4 B．4x
C．4＋2Δx2 D．4＋2Δx
3．如图，函数y＝f(x)在[1,3]上的平均变化率为( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
4．如果质点M按规律s＝3＋t2(s的单位是m，t的单位是s)运动，则在时间段[2,2.1]内质点M的平均速度等于( )
A．3 m/s B．4 m/s
C．4.1 m/s D．0.41 m/s
题型一 求函数的平均变化率
例1 (1)已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则eq \f(Δy,Δx)等于( )
A．4 B．4x
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
(2)已知函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．
eq \x(状元随笔) (1)由Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(1＋Δx)－f(1)可得．
(2)eq \x(求Δx＝x2－x1)→eq \x(求Δy＝fx2－fx1)→eq \x(计算\f(Δy,Δx))
方法归纳
1．求函数平均变化率的三个步骤
第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1；
第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；
第三步，求平均变化率eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx2－fx1,x2－x1).
2．求平均变化率的一个关注点
求点x1附近的平均变化率，可用eq \f(fx1＋Δx－fx1,Δx)的形式．
跟踪训练1 函数y＝x2＋1在[1,1＋Δx]上的平均变化率是( )
A．2 B．2x
C．2＋Δx D．2＋(Δx)2
题型二 求物体在某段时间内的平均速度
例2 质点运动规律s＝eq \f(1,2)gt2，则在时间区间(3,3＋Δt)内的平均速度等于________．(g＝10 m/s2)
方法归纳
求运动物体平均速度的两个步骤
1．求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；
2．求平均速度eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(Δs,Δt)
跟踪训练2 一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移，t表示时间．试求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度．
题型三 平均变化率的几何意义
例3 已知曲线y＝x2－1上两点A(2,3)，B(2＋Δx,3＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是________；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是________．
方法归纳
已知y＝f(x)图像上两点A(x1，f(x1))，B(x1＋Δx，f(x1＋Δx))，过A，B两点割线的斜率是eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx1＋Δx－fx1,Δx)，即曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．
跟踪训练3 已知函数y＝x2－1的图像上一点A(3,8)及邻近一点B(3＋Δx,8＋Δy)，则割线AB的斜率等于( )
A．6 B．6＋Δx
C．6＋(Δx)2 D．6x
eq \x(温馨提示：请完成课时分层作业十一)
第六章 导数及其应用
6．1 导数
6．1.1 函数的平均变化率
新知初探·自主学习
知识点一
eq \f(y2－y1,x2－x1)
知识点二
eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx1＋Δx－fx1,Δx)
[基础自测]
1．答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√
2．解析：eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(21＋Δx2－2×12,Δx)＝4＋2Δx.
答案：D
3．解析：eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f3－f1,3－1)＝－1.
答案：B
4．解析： 平均速度eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(3＋2.12－3＋22,0.1)＝eq \f(0.41,0.1)＝4.1(m/s)，故选C.
答案：C
课堂探究·素养提升
例1 解析：(1)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－1＝2(Δx)2＋4Δx，∴eq \f(Δy,Δx)＝2Δx＋4.
(2)自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为
eq \f(f2－f1,2－1)＝eq \f(2＋\f(1,2)－1＋1,1)＝eq \f(1,2)；
自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为
eq \f(f5－f3,5－3)＝eq \f(5＋\f(1,5)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋\f(1,3))),2)＝eq \f(14,15).
因为eq \f(1,2)答案：(1)C (2)见解析
跟踪训练1 解析：∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋Δx2，
∴eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(2Δx＋Δx2,Δx)＝2＋Δx，故选C.
答案：C
例2 解析：Δs＝eq \f(1,2)g×(3＋Δt)2－eq \f(1,2)g×32＝eq \f(1,2)×10×[6Δt＋(Δt)2]＝30Δt＋5(Δt)2，eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(Δs,Δt)＝30＋5Δt.
答案：30＋5Δt
跟踪训练2 解析：eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(8－31＋Δt2－8－3×12,Δt)＝－6－3Δt.
例3 解析： 当Δx＝1时，割线AB的斜率k1＝eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(2＋Δx2－1－22＋1,Δx)＝eq \f(2＋12－22,1)＝5.
当Δx＝0.1时，割线AB的斜率k2＝eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(2＋0.12－1－22＋1,0.1)＝4.1.
答案：5 4.1
跟踪训练3 解析： 因为Δy＝(3＋Δx)2－1－32＋1＝6Δx＋(Δx)2，所以eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(6Δx＋Δx2,Δx)＝6＋Δx，故选B.
答案：B